Моделирование систем управления

Южно Уральский Государственный Университет

Кафедра “Автоматики и телемеханики”

К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

По теме “Моделирование систем управления”

Вариант № 17

Выполнила: Киселева Е.В.

Группа 421

Проверил: Стародубцев Г.Е.

Миасс, 1999 г.

Задание на курсовое проектирование

1. Провести полный факторный эксперимент вида 3^3 с моделью BLACK BOX

2. Методом регрессионного анализа получить аналитическую зависимость

y=f(x1,x2,t)

3. Составить модель полученного уравнения регрессии.

4. Провести оценку адекватности уравнения регрессии заданной модели по

критерию Фишера для (=0,05 , рассчитать среднее абсолютное отклонение

координат аналитической модели от заданной.

5. Провести оценку значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента

для (=0,05

6. Получить графики ошибки

ym-yr=f(t)

ym - выходная координата модели BLACK BOX

yr - выходная координата созданной модели

Значения параметров:

x1= 0.6 ... -1.4

x2= 2.0 ... 0.6

t = 2 ... 10

b = 1.1

Экспериментальные данные.

1. Составим последовательность имитации эксперимента, исходя из данных

курсового задания, и представим в матричной форме. Имитационная модель –

это модель системы управления с введением случайной переменной

погрешности b=1,1.

Необходимо найти аналитическое уравнение связи параметров системы и

числовых знаковых коэффициентов. Уравнение регрессии имеет следующий вид:

Y=b0+(bixi+(bijxixj+(biixi2

bixi – линейная регрессия,

bijxixj- неполная квадратичная регрессия,

biixi2- квадратичная регрессия.

Схема для проведения экспериментов (приложение №1 Vissim 32)

Матричная форма имитационного эксперимента.

|x0 |x1 |x2 |x3=t |x1*x2 |x1*x3 |x2*x3 |x1*x1 |x2*x2 |x3*x3 |

|1 |0,6 |2 |10 |1,2 |6 |20 |0,36 |4 |100 |

|1 |0,6 |2 |6 |1,2 |3,6 |12 |0,36 |4 |36 |

|1 |0,6 |2 |2 |1,2 |1,2 |4 |0,36 |4 |4 |

|1 |0,6 |1,3 |10 |0,78 |6 |13 |0,36 |1,69 |100 |

|1 |0,6 |1,3 |6 |0,78 |3,6 |7,8 |0,36 |1,69 |36 |

|1 |0,6 |1,3 |2 |0,78 |1,2 |2,6 |0,36 |1,69 |4 |

|1 |0,6 |0,6 |10 |0,36 |6 |6 |0,36 |0,36 |100 |

|1 |0,6 |0,6 |6 |0,36 |3,6 |3,6 |0,36 |0,36 |36 |

|1 |0,6 |0,6 |2 |0,36 |1,2 |1,2 |0,36 |0,36 |4 |

|1 |-0,4 |2 |10 |-0,8 |-4 |20 |0,16 |4 |100 |

|1 |-0,4 |2 |6 |-0,8 |-2,4 |12 |0,16 |4 |36 |

|1 |-0,4 |2 |2 |-0,8 |-0,8 |4 |0,16 |4 |4 |

|1 |-0,4 |1,3 |10 |-0,52 |-4 |13 |0,16 |1,69 |100 |

|1 |-0,4 |1,3 |6 |-0,52 |-2,4 |7,8 |0,16 |1,69 |36 |

|1 |-0,4 |1,3 |2 |-0,52 |-0,8 |2,6 |0,16 |1,69 |4 |

|1 |-0,4 |0,6 |10 |-0,24 |-4 |6 |0,16 |0,36 |100 |

|1 |-0,4 |0,6 |6 |-0,24 |-2,4 |3,6 |0,16 |0,36 |36 |

|1 |-0,4 |0,6 |2 |-0,24 |-0,8 |1,2 |0,16 |0,36 |4 |

|1 |-1,4 |2 |10 |-2,8 |-14 |20 |1,96 |4 |100 |

|1 |-1,4 |2 |6 |-2,8 |-8,4 |12 |1,96 |4 |36 |

|1 |-1,4 |2 |2 |-2,8 |-2,8 |4 |1,96 |4 |4 |

|1 |-1,4 |1,3 |10 |-1,82 |-14 |13 |1,96 |1,69 |100 |

|1 |-1,4 |1,3 |6 |-1,82 |-8,4 |7,8 |1,96 |1,69 |36 |

|1 |-1,4 |1,3 |2 |-1,82 |-2,8 |2,6 |1,96 |1,69 |4 |

|1 |-1,4 |0,6 |10 |-0,84 |-14 |6 |1,96 |0,36 |100 |

|1 |-1,4 |0,6 |6 |-0,84 |-8,4 |3,6 |1,96 |0,36 |36 |

|1 |-1,4 |0,6 |2 |-0,84 |-2,8 |1,2 |1,96 |0,36 |4 |

Матрица значений полученных в результате эксперимента.

|y0 |y1 |y2 |y3 |y4 |Ysr |

|235,09|235,41|235,72|234,95|236,37|235,51|

| | |7 | | | |

|134,71|136,34|136,88|135,22|135,76|135,78|

| | |1 | | | |

|67,067|68,544|67,82 |68,197|68,574|68,04 |

|140,38|140,7 |141,01|140,24|141,66|140,8 |

| | |7 | | | |

|60,996|62,634|63,171|61,508|62,046|62,071|

|14,357|15,834|15,11 |15,487|15,864|15,33 |

|64,287|64,606|64,926|64,146|65,565|64,706|

|5,906 |7,544 |8,081 |6,418 |6,956 |6,981 |

|-19,73|-18,26|-18,97|-18,6 |-18,23|-18,75|

| | |9 | | |9 |

|100,25|100,57|100,88|100,11|101,53|100,67|

| | |7 | | | |

|65,866|67,504|68,041|66,378|66,916|66,941|

|64,227|65,704|64,98 |65,357|65,734|65,2 |

|-9,162|-8,843|-8,523|-9,303|-7,884|-8,743|

|-22,54|-20,91|-20,36|-22,03|-21,49|-21,46|

| | |8 | | |8 |

|-3,182|-1,705|-2,429|-2,052|-1,675|-2,208|

| | | | | |6 |

|-99,95|-99,63|-99,31|-100,1|-98,67|-99,53|

| | |3 | | |3 |

|-92,33|-90,7 |-90,15|-91,82|-91,28|-91,25|

| | |8 | | |8 |

|-51,97|-50,5 |-51,21|-50,84|-50,47|-50,99|

| | |9 | | |9 |

|-53,19|-52,87|-52,55|-53,33|-51,91|-52,77|

| | |3 | | |3 |

|-21,57|-19,94|-19,39|-21,06|-20,52|-20,49|

| | |8 | | |8 |

|42,787|44,264|43,54 |43,917|44,294|43,76 |

|-177,3|-177 |-178,6|-177,4|-176 |-177,2|

| | |63 | | |8 |

|-124,7|-123 |-122,5|-124,2|-123,6|-123,6|

| | |09 | | |1 |

|-39,32|-37,85|-38,56|-38,19|-37,82|-38,34|

| | |9 | | |9 |

|-282,8|-282,5|-282,1|-282,9|-281,5|-282,3|

| | |53 | | |7 |

|-209,2|-207,5|-206,9|-208,7|-208,1|-208,1|

| | |99 | | | |

|-102,8|-101,3|-102,0|-101,7|-101,3|-101,8|

| | |59 | | |4 |

Вычислим коэффициенты B по формуле

B=(XTX)-1XTYsr

XT – транспонированная матрица

Ysr- средние экспериментальные значения

|b0 |-29,79925|

| |1 |

|b1 |13,654185|

| |2 |

|b2 |9,9640518|

| |1 |

|b3 |-15,94670|

| |7 |

|b4 |-21,00004|

| |8 |

|b5 |16,508325|

|b6 |7,5001011|

| |9 |

|b7 |-9,322477|

| |8 |

|b8 |19,090453|

| |5 |

|b9 |0,9981305|

| |6 |

Вычисления производились в Microsoft Excel по следующей формуле

=МУМНОЖ(МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП

(Хматрица);Хматрица));ТРАНСП(Хматрица));Yматрица)

Полученные коэффициенты подставим в уравнение регрессии и построим схему

для проведения эксперимента (приложение №2,3 Vissim 32) и проведем

эксперимент без использования дельты или шума.

Внесем полученные данные в столбец (Yip) таблицы.

|Ysr |Si кв |Yip |(Yi-Yip)2|

|235,51|0,3219|234,7|0,61090 |

|135,78|0,7492|135,5|0,06574 |

|68,04 |0,3897|68 |0,00163 |

|140,8 |0,3219|140 |0,68327 |

|62,071|0,75 |61,77|0,09060 |

|15,33 |0,3897|15,25|0,00646 |

|64,706|0,3214|63,93|0,60218 |

|6,981 |0,75 |6,73 |0,06300 |

|-18,75|0,3897|-18,7|0,00046 |

|9 | |8 | |

|100,67|0,3219|99,93|0,54258 |

|66,941|0,75 |66,73|0,04452 |

|65,2 |0,3897|65,21|0,00009 |

|-8,743|0,3214|-9,51|0,58829 |

|-21,46|0,75 |-21,7|0,05856 |

|8 | |1 | |

|-2,208|0,3897|-2,23|0,00046 |

|6 | | | |

|-99,53|0,3216|-100,|0,51380 |

|3 | |3 | |

|-91,25|0,75 |-91,4|0,03686 |

|8 | |5 | |

|-50,99|0,3897|-50,9|0,00082 |

|9 | |7 | |

|-52,77|0,3214|-53,4|0,49985 |

|3 | |8 | |

|-20,49|0,75 |-20,6|0,03312 |

|8 | |8 | |

|43,76 |0,3897|43,79|0,00088 |

|-177,2|0,9015|-177,|0,12013 |

|8 | |6 | |

|-123,6|0,7492|-123,|0,04902 |

|1 | |8 | |

|-38,34|0,3897|-38,3|0,00000 |

|9 | |5 | |

|-282,3|0,3219|-283,|0,48525 |

|7 | |1 | |

|-208,1|0,7492|-208,|0,02938 |

| | |3 | |

|-101,8|0,3892|-101,|0,00240 |

|4 | |8 | |

|(Si=13,73 | |(=5,13026|

Так как результаты опытов обладают статической неопределенностью, поэтому

опыты воспроизводим несколько раз при одних и тех же значениях факторов для

повышения точности коэффициентов регрессии за счет эффекта понижения

дисперсии.

n=27- экспериментов

m=10 – количество членов уравнения

Si2=1/g-1(((Ygi-Yi)2 , g- количество экспериментов ( 5)

Sy2=1/n((Si2

S0= ((Yi-Yip)2/n-m – среднеквадратичная ошибка на степень свободы

(=(|Yi-Yip|/n – среднее обсолютное отклонение между расчетными значениями

Адекватность вида регрессии уравнения определяется по критерию Фишера,

а значимость коэффициентов по критерию Стьюдента и доверительного интервала

на его основе.

Fрасч= S02/Sy2(Fтабл((, n-m)

Fтабл=1,77 ,

(=0,05 – уровень значимости

1-((р – вероятность с которой уравнение будет адекватно.

n-m(27-10=17 – число степеней свободы

S(bj2=Sy2/n - дисперсия коэффициентов взаимодействия

(bj=(tc* ( Sy2/ ( n

tc=2,12

|Sy2 |0,5085| |Fрасч. |1,0803120|

| | | | |1 |

|So |0,5493| |Sg2 |0,0188335|

| | | | |5 |

|( |0,4359| |(bj |0,2909390|

| | | | |1 |

| | | |p |0,95 |

Fтабл=1,75( Fрасч.= 1,08, значит система адекватна.

Уравнение регрессии примет вид.

Y=-29,79+13,65x1+9,96x2-15,94x3-21x1x2+16,5x1x3 +7,5x2x3-

9,32x12+19,09x22+0,99x32

График ошибки (см. приложение № 4).

Вывод.

Исходя из полученных значений сделаем вывод, что полученная система

очень мало отличается от заданной.

Уравнения адекватны

Коэффициенты значимы

Приложение № 1

Приложение № 2