Операции с ценными бумагами

1.Введение

Рассмотрим модель (B,S)- рынка , функционирующего в моменты времени

n=0,1,..., N0, (1.1)

где процентная ставка r>0.

Стоимость акции S=(Sn) изменяется по закону

Sn=(1+pn)Sn-1 , S0>0, (1.2)

где p=(pn)- ” хаотическая “ последовательность , причем pn принимают только

два значения a и b такие , что

-1K , то владелец опциона предъявит его к

исполнению , то есть купит акции по цене K. После этого он может их продать

и получить прибыль Sn-K. Если цена акции Sn будет меньше или равна К , то

покупатель не предъявит опцион к исполнению так как не получит никакой

прибыли. То есть продавец опциона должен выплатить его покупателю max(Sn-

K).

Цена на опцион определяется исходя из того , что продавец опциона

должен получить от покупателя такую сумму минимальную сумму , чтобы в любой

из возможных ситуаций.обеспечить выполнение условий контракта.

2.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для одного периода

Европейского колл-опциона.

Пусть

S-текущая цена акции

С-цена колл-опциона

К-цена исполнения опциона

r-безрисковый процент

Сa-выплата по опциону в случае понижения цены акции к началу

следующего периода

Сb-выплата по опциону в случае повышения цены акции к началу

следующего периода

Исходя из рассматриваемой модели цена акции к началу следующего периода

может либо понизиться до S(1+a) , либо повыситься до S(1+b)

По определению Европейского колл-опциона продавец опциона должен выплатить

покупателю

Сa=max(0,S(1+a)-K)) (2.1)

в случае понижения цены акции

или Сb=max(0,S(1+b)-K)) (2.2)

в случае повышения цены акции

Пусть С-цена Европейского колл-опциона , тогда продавец опциона должен

таким образом сформировать портфель

X0=(B+(S, (2.3)

чтобы на начало следующего периода иметь возможность осуществить следующие

выплаты

Сa=((1+r)B+((1+a)S, (2.4)

в случае понижения цены и

Сb=((1+r)B+((1+b)S, (2.5)

в случае повышения цены

Решая систему уравнений

Сa=((1+r)B+((1+a)S, (2.6)

Сb=((1+r)B+((1+b)S,

Получим следующие значения ( и (

[pic] (2.7)

[pic] (2.8)

Подставляя полученные значения в (2.3) получим

[pic] (2.9)

Цена колл-опциона C должна равняться цене портфеля X0 иначе существует

возможность получения арбитражной прибыли.

Таким образом цена Европейского колл-опциона для одного периода

определяется по формуле

[pic] (2.10)

А значения ( и ( для формирования портфеля по формулам (2.8) и (2.9)

соответственно.

3.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для нескольких периодов

Европейского колл-опциона.

Используем полученные в п.2 результаты для определения цены Европейского

колл-опциона для нескольких периодов

Рассмотрим двухпериодный вариант

Пусть

S-текущая цена акции

С-цена колл-опциона

К-цена исполнения опциона

r-безрисковый процент

Сaa-выплата по опциону в случае понижения цены акции по окончании

второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода

Сbb-выплата по опциону в случае повышения цены акции по окончании

второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода

Сba-выплата по опциону в случае понижения цены акции по окончании

второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода

Сab-выплата по опциону в случае повышения цены акции по окончании

второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода

Платежи по колл-опционам составят

Сaa=max(0,S(1+a)(1+a)-K)

Сab=max(0,S(1+a)(1+b)-K)

Сba=max(0,S(1+b)(1+a)-K)

Сbb=max(0,S(1+b)(1+b)-K)

Для расчета цены колл-опциона воспользуемся формулой 2.10

[pic] (2.11)

Где Сa выразим через Сaa и Сab , а Сb через Сbb и Сba.

[pic] (2.12)

[pic] (2.13)

Подставим полученные значения в (2.11)

[pic]

(2.14)

Упрощая выражение (2.14) получаем следующее значение цены колл-опциона

[pic] (2.15)

или если подставить значения выплат по опционам

[pic]

(2.16)

Если провести аналогичные вычисления для трех периодов Европейского колл-

опциона то получим следующее выражение:

[pic]

(2.17)

Используя метод математической индукции для n периодов получим следующее

значение для цены Европейского колл-опциона.

[pic] (2.18)

Если для полученной формулы ввести обозначение

[pic], (2.19)

то видно , что формула (2.17) для расчета цены Европейского колл-опциона

совпадает со значением цены Евопейского колл-опциона опубликованном в

статье Ширяева А.Н. “К теории расчетов опционов Европейского и

Американского типов, I: Дискретное время.-Теория вероятности и ее

применение 1994 , т.39, в.1,с80-129.