Переходные процессы в электрических цепях

Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы»

Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис.
1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = [pic], где
[pic]– меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100
В.

Решение.

Классический метод.

Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра: i(t) = iпр(t) + iсв(t); u(t) = uпр(t)+ uсв(t),

(1) где [pic], а [pic].

1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1(0–) равен току i3(0–), ток i2(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

[pic], откуда

[pic] = 4 А.

Напряжение на емкости равно нулю [uC(0–) = 0].

2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL(0–) = iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC(0–) = uC(0+) = 0.

Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:

[pic] или

[pic]; i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А.
Напряжение на сопротивлении R2 равно Е – uC(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для
[pic]. Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.

[pic] = 10 А;

[pic] = 100 В; [pic]; [pic]

4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+) + uсв(0+). iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) = 10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) = 0;
[pic].

5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.

[pic];

[pic] (2)

[pic]

Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение:
[pic], а производную напряжения на емкости – из уравнения [pic]. Т.е.

[pic] и [pic], откуда

[pic]; [pic] (3)

Подставляя (3) в (2), после решения получаем:

[pic]; [pic]; [pic]; [pic]

Все полученные результаты заносим в таблицу.

| |i1 |i2 |i3 |uL |uC |uR2 |
|t = 0+ |14 |10 |4 |0 |0 |100 |
|[pic] |10 |0 |10 |0 |0 |100 |
|[pic] |4 |10 |–6 | | | |
|[pic] | | | |0 |0 |0 |
|[pic] |–105 |–105 |0 | | | |
|[pic] | | | |106 |106 |–106 |

6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока [pic].
Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:

[pic].

Заменим j? на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:

[pic] или

R2CLp2 + pL + R2 = 0.
Откуда находим корни р1 и р2.

[pic] р1 = –1127, р2 = –8873.

7. Определим постоянные интегрирования А1 и А2. Для чего составим систему уравнений:

[pic];

[pic] или

[pic];

[pic]

Например, определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде:

4 = А1i + А2i;

[pic].
После решения: А1i = –8,328 А, А2i = 12,328 А. для напряжения uL:

[pic];

[pic].
После решения: [pic]= 129,1 В, [pic]= –129,1 В.

8. Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по закону: i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t, а напряжение uL: uL(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.

-----------------------
[pic]

[pic]