Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

3. Аналіз діючих підручників та тестів.

Порівняльна характеристика тем.

Останній час тема «Показникова і логарифмічна функція»

вивчається в середній школі за підручником під редакцією А.Н.Колмогорова.

На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є М.І. Шкіль,

З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по іншому.

Проведемо порівняльну характеристику вивчення данної теми в згаданих

підручниках.

Тема: «Показникова функція».

|Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |

|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |

|аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |

| |кл.» |

|(1 Показникова функція |(1 Поняття показникової функції. |

|n.1.Степінь з ірраціональним |n.1. Означення і графік |

|показником |показникової функції. |

|Фіксують додатнє число а і ставлять|Дається означення: Функція [pic], |

|кожному числу [pic] число [pic]. |де а>0, [pic] називається |

|Цим самим отримують числову функцію|показниковою (з основою а). |

|[pic], визначену на множені Q |Вивчення показникової функції |

|раціональних чисел. Зазначається, |починається з функції [pic], |

|що при а=1 функція [pic] стала, |потім розглядається [pic], |

|так як [pic] для будь-якого |будуються їхні графіки і |

|раціонального числа. |порівнюються. Далі розглядається |

|Будуються графіки функцій [pic] і |функція [pic]. Порівнюються графіки|

|[pic] і порівнюються. Далі |функції [pic] і [pic]. З графікив |

|описується як визначається число |зчитуються спільні властивості. |

|[pic] для ірраціональних [pic] при |Далі порівнюються графіки функцій |

|а>1, в загальних рисах. Аналогічно |[pic]([pic]) і [pic]([pic]). З |

|описується визначення числа [pic], |графіків зчитуються властивості |

|для [pic]. Крім цього вважають, що |функцій. |

|[pic] для будь-якого [pic] і | |

|[pic][pic]для [pic][pic][pic] | |

|n.2. Властивості показникової |n.2. Загальні властивості |

|функції. |показникової функції. |

|Означення: Функція, задана формулою|D(y)=R |

|[pic] (де a>0, [pic]), називається |[pic] |

|показниковою з основою а. |якщо x=0, показникова функція [pic]|

|Формулюються основні властивості: | |

|Область визначення множина R |Зазначені вище властивості |

|дійсних чисел. |доводяться, розглядаються всі |

|Область значень множина R+ всіх |можливі випадки. Далі наводяться |

|додатніх дійсних чисел. |властивості без доведення. |

|При [pic] функція зростає на всій |якщо [pic] [pic] і [pic] то [pic]. |

|числовій прямій; при [pic] функція |якщо [pic] і [pic], то якеб не було|

|спадає на множині R. |додатнє число N, існує, і до того ж|

|При будь-яких дійсних значеннях х і|єдине, таке значення х, що [pic] |

|у справедливі рівності | |

| | |

|[pic] | |

|[pic]; | |

|[pic] | |

|[pic]. | |

| |n.3. Властивості графіка |

| |показникової функції. |

| |Графік розміщений у верхній |

| |півплощині, тобто там де ординати |

| |додатні. |

| |Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, |

| |перетинає графік і до того ж тільки|

| |в одній точці. |

| |Крива проходить через точку (0;1), |

| |тобто коли х=0, функція чисельно |

| |дорівнює 1. |

| |З двох точок графіка вище розміщена|

| |та , яка лежить правіше, тобто в |

| |міру просування зліва на право він |

| |піднімається вгору. |

| |На графіку є точки, які лежать вище|

| |будь-якої прямої, паралельної осі |

| |0х. На графіку є точки, що лежать |

| |нижче будь-якої прямої, проведеної |

| |у верхнії півплощині паралельно осі|

| |Х. |

| |Будь-яка пряма, що паралельна осі Х|

| |і лежить у верхній півплощині, |

| |перетинає графік, і при чому в |

| |одній точці. |

| |n.4.Приклади застосування |

| |властивостей показникової функції. |

| |В цьому пункті наводяться приклади |

| |вправ на показникову функцію і |

| |варіанти їх розв’язування. |

| |n.5. Використання показникової |

| |функції під час вивчення явищ |

| |навколишнього середовища |

| |Задача про радіоактивний розпад. |

| |Задача про зміну атмосферного |

| |тиску. |

| |Задача про розмноження бактерій. |

| |Задача про вакуумування. |

| |Задача про приріст деревини. |

| |Всі запропоновані задачі наводяться|

| |з розв’язанням. |

| |n.6. Основні показникові |

| |тотожності. |

| |Для будь-яких дійсних значень х і у|

| |справедливі рівності: |

| |[pic] |

| |[pic]; |

| |[pic] |

|(2 Розв’язування показникових |(2 Розв’язування показникових |

|рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |

|n.1. Рівняння. |n.1. Показникові рівняння. |

|Розглядається найпростіше |Показниковим називають рівняння, в |

|показникове рівняння [pic], [pic] і|яких невідоме входить лише до |

|[pic]. Кажуть, що у випадку [pic] |показників степенів при сталих |

|або [pic] рівняння не має |основах. Найпростішим рівнянням є |

|розв’язків. |[pic] [pic] і [pic][pic]. Говорять,|

|Нехай [pic]. Функція [pic] на |що загального методу розв’язування |

|проміжку [pic] зростає при [pic] |показникових рівнянь немає. |

|(спадає при [pic]) і набуває |Виділяють кілька типів показникових|

|додатних значень. Застосувавши |рівнянь і наводять схеми (приклади)|

|теорему про корінь, дістаємо, що |їх розв’язання. |

|рівняння при будь-якому [pic], |Найпоширеніший спосіб: зведення |

|[pic], має єдиний корінь. |обох частих показникового рівняння |

|Щоб його знайти треба [pic]подати |до спільної основи. Приклади. |

|у вигляді [pic]. Очевидно, що [pic]|Спеціальні способи розв’язання: |

|є розв’язком рівняння [pic] , |зведення до спільного показника. |

|демонструється на графіку функції. |А також показникове рівняння |

|Розглядається 4 приклади. |перетворюють відомими методами: |

| |заміни, зведення до квадратного |

| |рівняння, а потім вже |

| |використовують певну схему. |

|n.2. Нерівності і системи рівнянь. |n.2. Розв’язування нерівностей, які|

|Розв’язання найпростійших |містять показникову функцію. |

|показникових показникових |Найпростішими є нерівності виду |

|нерівностей грунтується на відомій |[pic]. Під час розв’язування |

|властивості функції [pic]; ця |використовують властивість |

|функція зростає, якщо [pic], і |монотонності показникової функції. |

|спадає, якщо [pic]. Розглядаються |І кажуть, що для [pic] |

|приклади. |розв’язування даної нерівності |

| |зведеться до розв’язування |

| |нерівності [pic], а для [pic] |

| |зводиться до розв’язування |

| |нерівності [pic]. Приклади |

| |розв’язання нерівностей. |

Тема: «Логарифмічна функція».

|Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |

|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |

|аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |

| |кл.» |

|(1 Логарифми і їх властивості. |(1 Логарифми. |

|n.1.Логарифм. |n.1. Поняття логарифма. |

|Даэться означення: Логарифмом числа|Дається означення: Корінь рівняння |

|b за основою а називається |[pic], де a>0, a[pic]1, називають |

|показник степеня, до якого слід |логарифмом числа N за основою а. |

|піднести основу а, щоб отримати |Логарифмом числа N за основою а |

|число b. |(a>0, a[pic]1) називається показник|

|Тут же зазначається, що формулу |степеня х, до якого треба піднести |

|[pic] ( де b>0, a[pic]1) називають |а, щоб дістати число N. |

|основною логарифмічною тотожністю. |Далі наводиться логарифмічна |

| |рівність [pic] і показникова |

| |рівність [pic] і зазначається, що |

| |ці рівності визначають одне і теж |

| |співвідношення. Наводяться три |

| |основні задачі: |

| |Знайти число N за даним його |

| |логарифмом b і за основою а. |

| |Знайти основу а за даним числом N і|

| |його логарифмом b. |

| |Знайти логарифм від даного числа N |

| |за данною основою а. |

| |Далі наводять приклади. |

| |n.2. Основна логарифмічна |

| |тотожність. |

| |Розглядається показникова рівність|

| |[pic](1). За означенням логарифма |

| |[pic](2), [pic](3). Рівність (3) |

| |називається основною логарифмічною |

| |тотожністю. |

|n.2. Основні властивості логарифма.|n.3. Основні властивості логарифма.|

| | |

|Для будь-яких a>0 (a(1) і будь-яких|Т.1. Логарифм добутку двох додатних|

|додатніх х і у виконуються рівності|множників дорівнює сумі їх |

| |логарифмів, тобто [pic] де [pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |Т.2. Логарифм частки двох додатних |

|[pic] |чисел (дробу) дорівнює різниці |

|[pic] |логарифмів діленого і дільника |

|[pic] |(чисельника і знаменника), тобто |

|Далі наводиться формула переходу |[pic], де [pic] [pic] |

|від однієї основи логарифма до |Наслідок: Логарифм дробу, чисельник|

|іншої [pic] |якого дорівнює одиниці, дорівнює |

|Далі дається означення десяткового |логарифму знаменника взятого з |

|логарифма на описовому рівні: |протилежним знаком. |

|Десятковим називається логарифм за |Т.3. Логарифм степеня додатного |

|основою10 і позначається [pic]. Але|числа дорівнює показнику степеня, |

|більш конкретно на десяткових |помноженому на логарифм основи |

|логарифмах не зупиняються. |цього степеня, тобто [pic], де m - |

| |будь-яке число, [pic] |

| |Т.4. Логарифм кореня з додатного |

| |числа дорівнює логарифму |

| |підкореневого виразу, поділеного на|

| |показник кореня, тобто [pic] |

| |5. [pic] |

| |[pic] |

| |Всі властивості доводяться. |

| |n.4. Деякі важливі тотожності, що |

| |містять логарифми. |

| |[pic] |

| |Всі тотожності доводяться. |

| |n.5. Потенціювання |

| |Перетворення за допомогою якого за |

| |даним логарифмом числа (виразу) |

| |визначають саме число (вираз), |

| |називають потенціюванням. |

| |n.6. Перехід від однієї основи |

| |логарифма до іншої. |

| |Вводиться формула [pic] |

| |n.7. Натуральні логарифми з основою|

| |е називають натуральним, або |

| |неперовим. [pic] |

|(2 Логарифмічна функція |(2 Логарифмічна функція |

|Функція задана формулою [pic], |n.1. Поняття логарифмічної функції:|

|називається логарифмічною з основою| |

|а. |Функцію [pic], називають |

|Перечисляють основні властивості |логарифмічною функцією за основою а|

|цієї функції. Властивості |(a>0 ,a(1). Зазначається, що графік|

|аналогічні до перших трьох |функції [pic] можна дістати з |

|властивостей логарифмічної функції |графіка функції [pic], симетрично |

|наведені у підручнику Шкіля М.І. |відобразивши останній відносно |

|Далі зазначається, що графіки |прямої у=х. |

|показникової і логарифмічної, що | |

|мають однакову основу, симетричні |n.2. Властивості логарифмічної |

|відносно прямої у=х. Потім |функції. |

|розглядаються приклади застосування|Область визначення логарифмічної |

|властивостей логарифмічної функції.|функції множина всіх додатніх |

|На цьому вивчення теми логарифмічна|чисел. |

|функція в підручнику під редакцією |Область значень- множина всіх |

|Колмогорова закінчується. |дійсних чисел. |

| |Логарифмічна функція на всій |

| |області визначення R+ зростає, якщо|

| |a>1 і спадає, якщо 00 (a(1) |

| |виконуються рівності |

| |[pic] |

| |[pic], якщо [pic] |

| |для будь-якого [pic] і будь-якого |

| |p(R [pic] |

| |Далі розглядаються властивості для |

| |випадків [pic] і [pic]; властивості|

| |логарифмів чисел за основою [pic]; |

| |Властивості логарифмів чисел за |

| |основою [pic]. |

| |Наводяться приклади вправ та їх |

| |розв’язання. |

|(3 Розв’язування логарифмічних |(3 Розв’язування логарифмічних |

|рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |

|Найпростіше логарифмічне рівняння |n.1. Логарифмічні рівняння. |

|[pic]. Логарифмічна функція |Приклади розв’язування |

|зростає (або спадає) на проміжку |логарифмічних рівнянь. |

|[pic] і набуває на цьому проміжку |Логарифмічними називають рівняння, |

|всіх дійсних значень |які містять змінну під знаком |

|(демонструється на графіку). За |логарифма. Найпростіше рівняння |

|теоремою про корінь звідси |[pic] де [pic] і [pic], [pic]- |

|випливає, що для будь-якого |будь-яке число. Воно має єдиний |

|[pic]дане рівняння має і притому |розв’язок [pic], який можна дістати|

|тільки один розв’язок. З означення |за допомогою потенціювання. |

|логарифма числа випливає, що [pic]і|Розв’язування рівняння [pic](1) |

|є таким розв’язком. Приклади. |рівносильно системі [pic], інакше |

| |кажучі рінвосильне кожній із |

| |змішаних систем [pic], [pic]. |

| |Тобто для розв’язування рівняння |

| |(1) досить розв’язати рвняння [pic]|

| |і його розв’язки підставити в |

| |систему нерівностей [pic], яка |

| |задає область визначення рівняння. |

| |Говориться і про можливість втрати |

| |коренів і появі стороніх коренів та|

| |розглядають це на прикладі. |

| |Розглядаються приклади |

| |розв’язування рівнянь різними |

| |способами (потенціювання, |

| |логарифмування). |

| |Розглядаються також |

| |показниково-логарифмічні рівнняня. |

|Логарифмічні нерівності та системи|n.2. Розв’язування систем |

|логарифмічних рівнянь і нерівностей|логарифмічних рівняннь. |

|розглядаються тільки на прикладах, |При розв’язуванні систем |

|і нічого про них не говориться. |логарифмічних рівнянь |

| |використовуються ті самі способи, |

| |що й при розв’язуванні алгебраїчних|

| |систем. |

| |n.3. Логарифмічні нерівності. |

| |Логарифмічні нерівності виду |

| |[pic](1). |

| |Кажуть, що якщо [pic], то (1) |

| |рівносильна системі [pic] |

| |а якщо [pic], то (1) рівносильна |

| |системі [pic]. |

| |Розв’язуються приклади. |

Провівши порівняльну характеристику вивчення тем показникова і

логарифмічна функції в обох підручниках, можна зробити слідуючи висновки:

1. В обох підручниках тема «Показникова функція» і «Логарифмічна

функція» вивчаються на основі одних і тих понять.

2. Понятійний апарат більш ширший в новому підручнику під редакцією

М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у

10-11 кл.». В підручнику під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і

початки аналізу у 10-11 кл.» понятійний апарат дуже вузький. Тому

для глибокого і досконалого вивчення заданих тем бажано

використовувати новий підручник.

3. Більш строгий виклад теорії спостерігається в підручнику під

редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки

аналізу у 10-11 кл.». В ньому доводяться всі властивості і

розглядаються всі можливі випадки з доведенням. В підручнику А.Н.

Колмогорова у доведення властивостей не дуже заглиблюються. Детально

доводяться лише базові властивості. Все інше дається без доведення.

4. Розв’язування показникових, логарифмічних рівнянь і нерівностей

більш широко і доступно викладено в підручнику під редакцією

М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у

10-11 кл.» тому його бажано використовувати для більш поглибленого

вивчення даної теми.

В підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук

«Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» властивості і теореми

доводяться детальніше, тому він може бути використаний для

самостійного вивчення тем учнями.