Приоритетные механизмы

Приоритетные механизмы

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................2

I. ПРИОРИТЕТНЫЕ

МЕХАНИЗМЫ.............................................................4

I.1 Процедура распределения

ресурсов..........................................................4

I.2 Механизмы прямых

приоритетов..............................................................6

I.3 Механизмы обратных

приоритетов...........................................................6

I.4 Оптимальность механизмов обратных

приоритетов...............................8

I.5 Распределение ресурсов многих

видов...................................................11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................................13

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ..............................................................................14

ВВЕДЕНИЕ

Механизмы функционирования реальных базовых систем представляют собой

достаточно сложный набор процедур, правил, положений, инструкций,

регламентирующих поведение лиц, готовящих и принимающих решения на всех

этапах функционирования. Тем не менее, развитие теории и практики

организационного управления привело к выделению некоторого набора базовых

механизмов, из которых, как из типовых блоков, собираются сложные

механизмы (рис. 1).

0x08 graphic

Рис. 1 - Виды базовых механизмов

К первому классу относятся механизмы, в которых при формировании планов в

существенной степени используются некоторые показатели приоритета активных

элементов. Как правило, показатели приоритета характеризуют ожидаемую

эффективность деятельности элементов, и поэтому планы устанавливаются

пропорционально эффективности (планы выпуска продукции, планы

распределения ограниченных ресурсов и др.). Такие механизмы так и

называются - приоритетные. Особый класс приоритетных механизмов образуют

конкурсные механизмы, в которых в зависимости от ожидаемой эффективности

определяются победители, получающие право на выполнение того или иного

проекта, финансирования дефицитного ресурса.

Близкими к конкурсным по характеру воздействия на элементы являются так

называемые многоканальные организационные механизмы, в которых план

принимается на основе проектов планов, предлагаемых различными элементами

(каналами выработки решения). В качестве таких каналов выработки решений

могут выступать эксперты или группы экспертов, а также компьютерные

системы поддержки принимаемых решений. Организуется своего рода конкурс

между каналами с обязательным стимулированием в зависимости от

эффективности предлагаемого или принятого решения, полученной после его

реализации.

Во второй класс входят механизмы открытого управления, называемые также

механизмами честной игры или мотивирующими механизмами. Их основное

свойство - стимулирование доверенности информации, сообщаемой элементами

Центру, принимающему решения. Можно сказать, что механизмы открытого

управления воспитывают честность. Они незаменимы, в частности, при поиске

компромиссных решений по вопросам, затрагивающим интересы стран

(международный уровень), и вообще при разрешении различного вида

межрегиональных конфликтов (экологические проблемы, реализация совместных

проектов и др.).

В механизмах открытого управления каждый элемент получает план,

обеспечивающий максимум своей функции предпочтения на некотором множестве

допустимых планов (функцией предпочтения элемента называется оценка его

целевой функции, представляемая элементом центру). Поэтому, сообщая центру

о своих истинных предпочтениях, элемент может рассчитывать на более

благоприятное для него решение Центра. Механизмы открытого управления

могут составить основу для различного вида общественных институтов,

выработки компромиссных решений.

К третьему классу относятся согласованные механизмы, обеспечивающие выбора

элементами состояний из заданного множества. Например, механизмы,

согласованные по плану, обеспечивает точное выполнение плана всеми

элементами.

Четвертый класс составляют прогрессивные механизмы, стимулирующие развитие

элемента в требуемом для системы направлении (рост эффективности

производства). Прогрессивные механизмы нашли широкое применение в системах

ценообразования и налогообложения, где они получили название

противозатратных механизмов.

Заметим, что класс механизма определяет лишь основные его свойства.

Поэтому приоритетный механизм может оказаться в то же время механизмом

открытого управления, механизм открытого управления - согласованным,

прогрессивным и т.д. В этой работе приводится описание и исследование

свойств приоритетных механизмов.

I. ПРИОРИТЕТНЫЕ МЕХАНИЗМЫ

I.1 Процедура распределения ресурсов

Рассмотрим простой случай распределения ресурса одного вида. В

распоряжении Центра (системы снабжения) имеется ресурс в количестве R.

Этот ресурс нужен потребителям (активным элементам), количество которых

равно n. Обозначим xi - количество ресурса, получаемое i-м потребителем,

x={xi, i=1,.., n} - план распределения ресурса (распределение ресурса x).

Предположим, что каждый потребитель полностью использует выделенный ему

ресурс, т.е. реальное потребление ресурса yi равно планируемому xi.

Очевидно, в этом случае множество допустимых планов описывается

неравенством

\\sum xi =< R, xi >= 0, i=1,..., n (1)

От использования ресурсов потребитель получает эффект Эi=fi(xi). Наиболее

часто, особенно в системах снабжения, распределение ресурсов производится

на основе заявок потребителей на ресурс. Обозначим через si заявку i-го

потребителя. Приоритетные механизмы в этом случае можно описать следующей

процедурой распределения ресурсов:

0x08 graphic

si, если \\sum sj =< R,

xi= (2)

min [si; g yi(sj)], если \\sum sj >R,

где yi (sj) - монотонная функция приоритета i-го потребителя в

зависимости от его заявки (рис. 2).

Операция минимума отражает простое содержательное условие - потребитель

получает ресурс в количестве не более заявленной величины. Параметр g

выбирается из условия

\\summin [sj; g yj(sj)]=R (3)

что отражает требование полного использования ресурса в случае его

дефицита. В зависимости от вида функций yi(si) можно выделить два типа

приоритетных механизмов: прямых приоритетов, где yi(si) - возрастающие

функции заявок, и обратных приоритетов, в которых yi(si) - убывающие

функции заявок.

0x08 graphic

Заявки

Приоритеты

План

Рис. 2 - Приоритетные механизмы распределения ресурсов

I.2 Механизмы прямых приоритетов

Примем, что функции эффекта Эi=fi(xi) являются строго возрастающими

функциями xi. В этом случае цель каждого потребителя - получение возможно

большего количества ресурса. Заметим теперь, что в механизмах прямых

приоритетов yi(si) - возрастающая функция заявки si. Поэтому доминантной

стратегией любого потребителя является представление максимально

допустимой заявки на ресурс.

Пусть в системе заданы ограничения на максимально допустимую величину

заявки (si =< Di, I=1,.., n). В этом случае все потребители заявят si* =

Di. Это заявление широко известно в экономике как тенденция завышения

заявок на сырье, энергию, финансы в условиях дефицита, приводящая к такому

неприятному явлению, как «искусственный дефицит». Поэтому механизмы прямых

приоритетов, работающие по принципу «больше просишь - больше получишь»,

справедливо критикуется и в теории, и в практике, хотя еще достаточно

широко распространены.

Если функции эффекта имеют максимум в некоторой точке xi=mi, то

теоретико-игровой анализ механизма становится несколько сложнее, но

основные выводы сохраняются. В системе возникает тенденция значительного

роста заявок даже при небольшом дефиците:

D = M-R, где M=\\summi

I.3 Механизмы обратных приоритетов

Проведем исследование механизма обратных приоритетов с функциями

приоритета yi(si)= Ai/si, i=1,.., n (именно в такой форме этот механизм

был предложен впервые). Содержательно Ai характеризует эффект в народном

хозяйстве при получении потребителем ресурса в необходимом количестве

(например, Ai может определяться как планируемый выпуск продукции

соответствующего предприятия). Тогда Ai/si характеризует дельный эффект

(эффективность) от использования ресурса. Поэтому механизмы обратных

приоритетов называют еще механизмами распределения ресурсов

пропорционально эффективности (ПЭ-механизмы).

Сначала исследуем случай монотонных функций эффекта, когда целью

потребителей является получение максимального количества ресурса. Довольно

несложно определить ситуацию равновесия Нэша. Действительно, легко

заметить, что функция min [si, g(Ai/si)] достигает максимума по точке si в

точке si*, удовлетворяющей условию

si = gAi/si

Отсюда получаем si*= xi*= (g*Ai) 1/2; из условия \\sum xi*= \\sum si*= R

имеем

g*= (R/\\sumAj 1/2)2, (4)

xi*=si*= (Ai 1/2R)/\\sumAj 1/2

Сложнее показать, что ситуация (4) также и гарантирующая, т.е. si* -

гарантирующая стратегия каждого потребителя. Однако это действительно так.

Теорема 1. Стратегия si*=(g* Aj) 1/2 является гарантирующей для i-го

потребителя.

Доказательство. Пусть s - некоторая ситуация. Так как xi = min (si;

gAi/si), то для оценки гарантированного количества ресурса xir при заявке

si необходимо определить минимально возможное значение g. Так как g

определяется из уравнения

min [si; gAi/ si] + \\summin (si; gAj/ sj)=R,

то минимум g достигается при условии sjн=(gAj) 1/2. Для определения этого

«наихудшего» gн необходимо решить уравнение

min [si; gнAi/ si] + \\sum(gн Aj) 1/2 =R

Нетрудно показать, что максимум гарантированного результата в случае

si*=(gн Aj) 1/2=RAi 1/2/\\sumAj 1/2.

Пусть теперь функция эффекта потребителя имеет максимум в точке mi. К

каким изменениям это приведет? Очевидно, что если si*> mi, то i-й

потребитель закажет ровно mi и столько же получит, как при уменьшении

заявки его приоритет только возрастет. Таким образом, определится

множество «приоритетных» потребителей, которые будут получать оптимальное

для себя количество ресурса mi. Для определения этого множества

пронумеруем всех потребителей по убыванию Ai 1/2/mi, т.е.

A1 1/2/m1 >= A2 1/2/m2 >= ... >= An 1/2/mn

Определим минимальный номер k, такой, что

(Ak 1/2/\\sumAj 1/2)(R-\\summj) =< mk

Множество Q образует k-1 потребителей (если k=1, то Q=O/).

Полученные свойства механизма обратных приоритетов весьма привлекательны.

Во-первых, все потребители заказывают не более оптимального количества mi,

т.е. отсутствует завышение заявок. Во-вторых, каждый получает столько

ресурса, сколько просит. Следовательно, суммарный спрос равен имеющемуся

количеству ресурса.

Конечно, у механизма обратных приоритетов есть и свои недостатки.

Во-первых, теряется информация о реальной потребности M = \\summi, а

значит, о размерах реального дефицита D = M-R. Во-вторых, не ясно,

насколько полученное распределение ресурса близко к оптимальному,

например, по критерию суммарного эффекта. Тем не менее, простота и

надежность принципа обратных приоритетов сделали его весьма популярным в

системах распределения ресурсов самого различного вида (финансов,

оборудования и т.д.). Конечно, его эффективность во многом определяется

обоснованностью определения приоритетов потребителя.

I.4 Оптимальность механизмов обратных приоритетов

Недостаток рассмотренных выше приоритетных механизмов заключается в том,

что потребители сообщают только заявки на ресурс. Естественно, что на

основании одной заявки трудно судить об эффективности использования

ресурсов у потребителя, а значит, об оптимальности получаемого плана

распределения. В ряде случаев реальной представляется ситуация, когда

потребитель вместе с заявкой на ресурс сообщает и оценку wi ожидаемого

эффекта от его использования, если он получит ресурс в полном объеме. При

этом если фактический эффект не совпадает с ожидаемым, то потребитель

штрафуется (если фактический эффект ниже ожидаемого) или поощряется (в

противном случае).

Рассмотрим линейные функции «штраф-поощрение» вида

xi(wi-fi) = a(wi-fi), a > 0

Теперь функция приоритета зависит от двух параметров - заявки si и оценки

эффекта wi, т.е. yi = yi(si;wi). Приоритетный механизм в этом случае будем

относить к механизмам обратных приоритетов, если yi - возрастающая функция

wi и убывающая функция вида si. Рассмотрим зависимости yi(si,wi)

следующего вида:

yi(si,wi) = wi2/s (5)

Замечание. Если потребитель получил ресурс xi < si, то возникает вопрос

как определять ожидаемый эффект wi(xi). Обычно принимается, что wi(xi) =

(xi/si)wi. Для проведения теоретико-игрового анализа зафиксируем оценку

эффективности wi и определим гарантирующую стратегию si* (т.е. какую

заявку на ресурс делает потребитель, если он решил сообщить оценку эффекта

wi). Эта задача была рассмотрена для случая yi = Ai/si, что совпадает с

нашим случаем, если положить Ai = wi2. Было показано, что для возрастающих

функций эффекта гарантирующей и равновесной является ситуация

xi* = si* = (wi/W)R,

где W = \\sumwi. Подставим xi* в целевую функцию потребителя (с учетом

штрафов и премий). Получим

fi(xi*) - a(wi - fi(xi*)) = (1+a)fi(wi SQRT g*) - awi, (6)

где g* = (R/W)2 в данном случае.

Заметим теперь, что при достаточно большом числе потребителей влияние

отдельного потребителя на значение g мало. Поэтому примем, что при выборе

оценки ожидаемого эффекта потребители не учитывают влияния wi на g и

считают g просто параметром (такое предположение в теории активных систем

называется гипотезой слабого влияния). Покажем, что в этом случае

полученное распределение ресурса является оптимальным. Действительно,

оценка wi обеспечивает максимум (6). Следовательно, сумма этих оценок

обеспечивает максимум суммы

(1+a)\\sumfi(xi*) - a\\sumxi*/ SQRT g* = (1+a)\\sumfi(xi*) - aR/ SQRT g*,

что эквивалентно максимуму суммарного эффекта. Таким образом, мы доказали

важную теорему.

Теорема 2. Механизм обратных приоритетов с функциями приоритета yi =

wi2/si, при гипотезе слабого влияния обеспечивает оптимальное

распределение ресурсов.

Рассмотрим случай кусочно-линейных функций штрафа-премии вида

0x08 graphic

a (wi - fi), если wi >= fi,

xi(wi - fi) =

b (fi - wi), если wi =< fi,

где 0 =< b < 1, a > 0.

Ограничимся исследованием двух крайних случаев. Будем говорить, что имеет

место случай слабых штрафов, если a настолько мало, что максимум функции

fi(wi* SQRT g*) - a[wi - fi(wi SQRT g*)] (7)

по wi достигается в точках wi*. Удовлетворяющих условиям wi* >= fi(wi*

SQRT g*) для всех потребителей. В этом случае сохраняе силу результат

теоремы 2.

Будем говорить, что имеет место случай сильных штрафов, если a настолько

велико, что максимум (7) по wi достигается в точках wi*, удовлетворяющих

условиям wi* < fi(wi* SQRT g*) для всех потребителей. В этом случае

очевидно, что оценка ожидаемого эффекта будет определяться из условий

fi(wi* SQRT g*) = wi*, i = 1,.., n. (8)

Для случая сильных штрафов результат об оптимальности распределения

ресурсов x* = w* SQRT g* в общем случае не имеет места. Однако справедлива

следующая теорема.

Теорема 3. Пусть вогнутые функции эффекта fi(xi) всех потребителей

удовлетворяют дифференциальному уравнению

dfi/dxi = **(fi/xi), i = 1,.., n, (9)

где ** - возрастающая фунуция. Тогда x* - оптимальный план распределения

ресурсов.

Доказательство. Из условия (8) с учетом соотношения x* = w* SQRT g*

следует

fi(xi*)/ xi* = 1/ SQRT g*

Поэтому с учетом (9)

dfi(xi*)/dxi = **(fi(xi*)/ xi*) = **(1/ SQRT g*),

что является достаточным условием оптимальности плана x*.

Замечание. Уравнение (8) разрешимо в явном виде. Его решение

fi(xi) = rif(xi/ri),

где f(•) - вогнутая функция. При этом независимо от вида функции f(•)

оптимальное распределение ресурсов таково:

xi* = riR/\\sumrj,

т.е. ресурс распределяется пропорционально коэффициентам эффективности rj.

Более того, зависимость максимального эффекта Фmax(R) = \\sum fi(xi*) от

количества ресурсов R имеет такой же вид

Фmax(R) = Hf(R/H),

где Н = \\sum rj.

Пример 1. Пусть fi(xi) = 2(rixi) 1/2, i = 1,.., n. Определим максимум

функции

2(rixi) 1/2 - a[xi/g 1/2 - 2(rixi) 1/2]

по xi. После несложных вычисление получим

xi = g[(1+a)/a]2ri

Из соотношения (8) имеем xi = 4gri.

Таким образом, если a > 1, имеет место случай сильных штрафов, а если a <

1 - случай слабых штрафов.

Пусть a > 1. Легко проверить, что дифференциальному уравнению (9)

удовлетворяют все функции 2(rixi) 1/2, если взять **(z) = 1/2z.

Действительно,

dfi/dxi = (ri/xi) 1/2 = 1/2[2(rixi) 1/2/xi] = fi(xi)/ 2xi

Поэтому распределение ресурсов

xi* = 4g*ri = riR/\\sumrj

является оптимальным.

I.5 Распределение ресурсов многих видов

Рассмотренные выше механизмы распределения ресурсов одного вида несложно

обобщить на случай многих видов ресурсов. Сначала рассмотрим два крайних

случая: комплексные поставки и взаимозаменяемые ресурсы. На практике

довольно часто ресурсы различных видов нужны потребителям в определенной

пропорции. Обозначим: aij - количество ресурсов j-го вида, входящих в

единичный комплект для i-го потребителя; xi - количество комплектов,

планируемых i-му потребителю; fi(xi) - эффект у потребителя I в

зависимости от количества комплектов; Rj - количество ресурсов j-го вида,

j= 1,.., m. Тогда множество допустимых планов распределения ресурсов будет

описываться системой линейных неравенств

\\sumaijxi =< Rj, j = 1,.., m

Фактически мы получим задачу распределения ресурсов одного вида с более

сложной областью допустимых планов. Однако, многие результаты, полученные

для ресурсов одного вида, остаются справедливыми и в данном случае. Так,

например, для механизмов обратных приоритетов

xi = min (si; gAi/si),

где g определяется как максимальное решение системы неравенств

\\sumaij min[si; gAi/si] =< Rj, j = 1,.., m,

остается справедливым свойство ситуации равновесия xi* = si* = (g*Ai) 1/2,

что позволяет определить ее в явном виде

xi*=si=min (RjAj 1/2/\\sumakjAk 1/2)

В случае взаимозаменяемых ресурсов введем для каждого потребителя

некоторый «основной» ресурс и обозначим как aij количество этого основного

ресурса, эквивалентное единице j-го ресурса. Если обозначить через yij

количество j-го ресурса, получаемое i-м потребителем, то весь набор {yij}

эквивалентен xi = \\sumaijyij единицам основного ресурса. Задача опять

свелась к распределению ресурса одного вида (основного). Множество Х

допустимых планов х определяется следующим образом:

xi = \\sumaijyij, i = 1,.., n,

где {yij} удовлетворяет ограничениям

\\sumyij =< R, yij >= 0, i = 1,.., n, j = 1,.., m

В данном случае для определения ситуации равновесия в механизме обратных

приоритетов необходимо решить следующую задачу линейного программирования:

определить u >= 0 и yij >= 0 такое, что u -> max.

uAi 1/2 - \\sumaijyij = 0, I = 1,.., n,

\\sumyij =< R, j = 1,.., m

Если u* - оптимальное решение этой задачи, то xi* = si* = u*Ai 1/2.

В общем случае, как правило, нет полной взаимозаменяемости, и жесткой

комплектности не требуется. В этом случае применяют две схемы

распределения ресурсов многих видов. В первой предполагают, что заявка

потребителя определяет комплект, т.е. соотношение ресурсов различных

видов. Во второй схеме ресурс каждого вида распределяют независимо.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы рассмотрели приоритетные механизмы на достаточно простых моделях

оргсистемы. Это двухуровневые, детерминированные, статистические системы.

Реальные системы имеют многоуровневую структуру, изменяются во времени,

при их описании приходится учитывать много случайных и неопределенных

факторов. Все это усложняет описание и исследование механизмов управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.Н. Бурков, Н.М. Кулжабаев Активные системы и деловые игры. Алматы:

2000.

2. Бурков В.Н., Кондратьев В.В Механизмы функционирования организационных

систем. М.: Наука, 1981.

3. Бурков В.Н., Данев Б., Нанева Т.Б. и др. Большие системы: Моделирование

организационных механизмов. М.: Наука, 1989.

2

Базовые механизмы управления

Приоритетные

Открытого

управления

Прогрессивные

Многоканальные

Согласованные

Конкурсные

Противозатратные

Потребители

S1

S2

Sn

y1(s1)

y2(s2)

yn(sn)

Центр

xi = min [si; g, yi (si)]

x1

x2

xn

R

Потребители