ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО‑ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Филиал в г. Брянске

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМЕТРИКА

ВЫПОЛНИЛ(А)	Рычкина Е.А.
СТУДЕНТ(КА)	3 курса («вечер», поток 1)
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ	Финансы и кредит
№ ЗАЧ. КНИЖКИ	06ФФД11183
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ	Шкаберин В.А.

Брянск — 2009

Вариант 3

ЗАДАНИЕ

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.):

*№ предприятия*	X	Y
1	38	69
2	28	52
3	27	46
4	37	63
5	46	73
6	27	48
7	41	67
8	39	62
9	28	47
10	44	67

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости a=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации R²; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости a=0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· логарифмической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

РЕШЕНИЕ

Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1. С помощью надстройки «Анализ данных» проводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Регрессия»):

В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид:

(прил. 1).

Угловой коэффициент b₁=1,32 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 1,32 млн. руб.

2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии (i=1, 2, …, n, где n=10 — число наблюдений значений переменных X и Y) (см. «Вывод остатка» в прил. 1) и рассчитана остаточная сумма квадратов

(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).

Стандартная ошибка линейной парной регрессии S_рег определена там же:

млн. руб.

(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1).

Стандартная ошибка регрессии S_рег показывает, что фактические значения объема выпускаемой продукции Y отличается от расчетных значений в среднем на 3,101 млн. руб.

График остатков e_i от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i=1, 2, …, n) строим с помощью «Мастера диаграмм». Предварительно в «Выводе остатка» в прил. 1 выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y» и «Остатки» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»:

График остатков приведен в прил. 2

3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов.

1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности.

Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений (выбросов) объема выпускаемой продукции Y. С этой целю сравним абсолютные величины стандартизированных остатков (см. «Вывод остатка» в прил. 1) с табличным значением t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы , которое составляет t_таб=2,306 (см. Справочные таблицы).

Видно, что ни один из стандартизированных остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов.

2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b₀, параметры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нулю: (см. прил. 1).

Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались встроенные функции «СУММ» и «СРЗНАЧ».

3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения случайной составляющей регрессионной модели от значений факторов. Для этого рассчитывается коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков и значениями (i=1, 2, …, n) с помощью выражения, составленного из встроенных функций:

=КОРРЕЛ(ABS(Остатки);Предсказанное_Y)

Коэффициент корреляции оказался равным (см. прил. 1).

Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы составляет r_кр=0,632 (см. Справочные таблицы,1).

Так как коэффициент корреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе остатка» в прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y», и на панели инструментов нажимается кнопка «» («Сортировка по возрастанию»). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d‑статистику Дарбина–Уотсона

(см. прил. 1).

Для расчета d‑статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

Критические значения d‑статистики для числа наблюдений n=10, числа факторов p=1 и уровня значимости a=0,05 составляют: d₁=0,88; d₂=1,32 (см. Справочные таблицы,5).

Так как выполняется условие

статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках является положительной на уровне значимости a=0,05.

Примечание:

· если , то остатки признаются независимыми (некоррелированными);

· если — имеется положительная автокорреляция;

· если — существует отрицательная автокорреляция;

· если или , то это указывает на неопределенность ситуации.

Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка

(см. прил. 1).

(ряд остатков упорядочен в той же самой последовательности).

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций:

=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=10 и уровня значимости a=0,05 составляет r_(1)кр=0,632 (см. Справочные таблицы,1). Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

где e_max=6,30; e_min=(–3,61) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»; см. прил. 1); — стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»; см. прил. 1).

Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=10 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R/S)₁=2,67 и (R/S)₂=3,69 (см. Справочные таблицы,2).

Так как расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

Таким образом, выполняются четыре из пяти предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это говорит о том, что регрессионная модель не вполне адекватна исследуемому экономическому явлению, и использовать ее для целей анализа и прогнозирования индекса человеческого развития следует с некоторой осторожностью.

4. Проверим статистическую значимость коэффициентов b₀ и b₁ уравнения регрессии. Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии составляет t_таб=2,306 (см. Справочные таблицы,3).

t-статистики коэффициентов

были определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL: t_b₀»2,481; t_b₁»9,481 (см. прил. 1). Их анализ показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости обоих коэффициентов.

Статистическая значимость углового коэффициента b₁ дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y.

5. Коэффициент детерминации R² линейной модели также был определен при проведении регрессионного анализа:

(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1).

Значение R² показывает, что линейная модель объясняет 91,7 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика линейной модели имеет значение

(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).

Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы и составляет F_таб=5,32 (см. Справочные таблицы, 4). Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

где млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ» (см. «Исходные данные» в прил. 1).

Значение Е_отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 4,1 %. Линейная модель имеет высокую точность (при — точность модели высокая, при — точность хорошая, при — удовлетворительная, при — неудовлетворительная).

По результатам проверок, проведенных в пунктах 3 — 5, можно сделать вывод о высоком качестве линейной модели и возможности ее использования для целей анализа и прогнозирования объема выпускаемой продукции.

6. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y, если прогнозное значение объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных:

· максимальное значение X — x_max=44 млн. руб. (см. «Исходные данные» в прил. 1);

· прогнозное значение X — млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз) равно

млн. руб.

Стандартная ошибка прогноза фактического значения объема выпускаемой продукции y₀ рассчитывается по формуле

млн. руб.,

где млн. руб. — средний объем капиталовложений; млн. руб. — стандартное отклонение объема капиталовложений (определены с помощью встроенных функций «СРЗНАЧ» и «СТАНДОТКЛОН»; см. «Исходные данные» в прил. 1).

Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой продукции y₀ с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,9 (уровень значимости a=0,1) имеет вид:

млн. руб.,

где t_таб=1,860 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости a=0,1 и числе степеней свободы (см. Справочные таблицы,3).

Таким образом, объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 52,985 до 65,075 млн. руб.

7. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y строим с помощью «Мастера диаграмм» (меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»). Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…» ® «Линейная»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R²:

Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (прил. 3).

8. Логарифмическую, степенную и показательную модели также строим с помощью «Мастера диаграмм» (меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»). Далее последовательно строим соответствующие линии тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R²:

Графики линий регрессии, уравнения регрессии и значения R² приведены в прил. 4. Рассмотрим последовательно каждую модель.

1) Логарифмическая модель:

Значение параметра b₁=46,085 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на млн. руб.

Коэффициент детерминации R²»0,9304 показывает, что логарифмическая модель объясняет 93,04 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

Стандартная ошибка логарифмической регрессии также рассчитывается через коэффициент детерминации R²:

млн. руб.,

где млн. руб. — стандартное отклонение объема выпускаемой продукции, определенное с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. «Исходные данные» в прил. 1).

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 8,976 млн. руб. или на 12,09 %. Логарифмическая модель имеет хорошую точность.

2) Степенная модель:

Показатель степени b₁=0,7997 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,7997 %.

Коэффициент детерминации R²»0,9288 показывает, что степенная модель объясняет 92,88 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

Стандартная ошибка степенной регрессии равна

млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение

Предсказанные уравнением степенной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,856 млн. руб. или на 3,85 %. Степенная модель имеет хорошую точность.

3) Показательная (экспоненциальная) модель:

где е=2,718… — основание натуральных логарифмов; — функция экспоненты (в EXCEL встроенная функция «EXP»).

Параметр b₁=1,0228 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем в 1,0228 раза, то есть на 2,28 %.

Коэффициент детерминации R²»0,9115 показывает, что показательная модель объясняет 91,15 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

Стандартная ошибка показательной регрессии:

млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 3,06 млн. руб. или на 4,12 %. Показательная модель имеет хорошую точность.

Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R² четырех построенных моделей (линейной, логарифмической, степенной и показательной), можно придти к выводу, что лучшей моделью является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R².

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 4