I.1. Матрица – табл. действ. Чисел, организованных в строки и столбцы. Н.:

1 2 3 4

А= 5 6 7 8

9 10 11 12

Матрица А имеет 3 строки и 4 столбца, размер (3*4). Числа, входящие в матрицу, – элементы матрицы. Кажд. эл-т хар-ся 2-я коэфф.: № строки, в кот. стоит эл-т; № столбца. Н.: а₁₂=2 а₂₃=7

а₂₃=5 а₃₂=10

В общ. виде матрица записывается следующ. образом: а₁₁ а₁₂ а₁₃ … а₁_n

а₂₁ а₂₂ а₂₃ … а₂_n

… … … … …

а_m1 а_m2 а_m3 … а_mn

Размерность (m*n) – m строк, n столбцов. Виды матриц: 1) матрица, кот. имеет 1-у строку при произвольном числе столбцов – матрица-строка. Н.: В=(1 2 3 4 ) (1*4) – размерность; 2) если матрица имеет 1 –н столбец при произвольном числе строк – матрицей столбцов. Н.: 1

С= 2

4 (4*1) – размерность; 3) если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов – квадратной матрицей. Н.: 1 2 3

А= 5 6 7

Побочная диаг. – 9 10 11

Эл-ты с равными коэфф. образуют гл. диаг. матрицы; 4) если у кв. матрицы все эл-ты=0, кроме эл-тов, стоящих на гл. диаг., – диаг. матрица; 5) если у диаг. матрицы все не нулевые эл-ты= – скалярная матрица; 6) если у скалярной матрицы все не нулевые эл-ты=1 – единичная матрица (Е).

Н.: 1 0 0

Е₃= 0 1 0 Е₂=1 0

0 0 1 0 1 7) матрица любой размерности, все эл-ты кот.=0 – нулевая матрица.

Правило «звёздочки» (правило «∆»).

а₁₁а₁₂ а₁₃=а₁₁*А₁₁+а₁₂*А₁₂+а₁₃*А₁₃=

а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

= а₁₁*(-1)²* а₂₂а₂₃+а₁₂*(-1)³* а₂₁а₂₃+

а₃₂а₃₃ а₃₁а₃₃

+а₁₃*(-1)⁴* а₂₁ а₂₂=а₁₁*(а₂₂*а₃₃-а₂₃*а₃₂)-

а₃₁ а₃₂

а₁₂*(а₂₁*а₃₃-а₂₃*а₃₁)+а₁₃*(а₂₁*а₃₂-а₂₂*а₃₁)=

=а₁₁*а₂₂*а₃₃-а₁₁*а₂₃*а₃₂-а₁₂*а₂₁*а₃₃+

+а₁₂*а₂₃*а₃₁+а₁₃*а₂₁*а₃₂-а₁₃*а₂₂*а₃₁

а₁₁а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

2 3 4

5 1 2=2+18+40-(12+15+8)=60-(35)=25

3 2 1

Cпособы реш. сист. лин. ур-ий: 1) Метод обратной матрицы: А*Х=В. Матрица имеет обратную матрицу А^-1. Домножим ур-ие слева на матрицу А^-1. А^-1*(АХ)= А^-1*В

(А^-1*А)*Х=А^-1*В Х=А^-1*В

Е Н.: дана сист.

х₁+2х₂-х₃=0 1 2 –1 – матрица

2х₁-х₂+2х₃=1 А= 2 –1 2 коэфф. сист-ы.

4х₁+3х2+2х3=1 4 3 2

1 2 -1

çАç=2 –1 2=-2-6+16-(4+8+6)=8-18=10

4 3 2 – определ. çАç=10

А₁₁=(-1)²* -1 2 =-2-6=-8

3 2

А₁₂=(-1)³* 2 2=-(4-8)=4

4 2

А₁₃=(-1)⁴* 2 -1=6-(-4)=10

4 3

А₂₁=(-1)³* 2 -1=-(4-(-3))=-7

3 2

А₂₂=(-1)⁴* 1–1=2-(-4)=6

4 2

А₂₃=(-1)⁵* 1 2=-(3-8)=5

4 3

А₃₁=(-1)⁴* 2 -1=4-1=3

-1 2

А₃₂=(-1)⁵* 1–1=-(2-(-2))=4

2 2

А₃₃=(-1)⁶* 1 2=-5

2–1

-8 4 10 Транспонируем мат. (строка

Â=-7 6 5 меняется со столбцами) на

3 -4 -5 определ.

-8 –7 3 Х=А^-1*В

(А)^Т= 4 6 –4

10 5 -5

0,8 0,7 –0,3 0 -1

А^-1= -0,4 –0,6 0,4 -1 = 1

-1 –0,5 0,5 1 1 2) Ф-лы

Крамера: Дана сист. 3-х ур-ий с 3-я неизвестными.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃=b₁а₁₁а₁₂ а₁₃

а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₁₃х₃=b₂ Δ= а₂₁а₂₂ а₂₃≠0

а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃=b₃ а₃₁а₃₂ а₃₃

Δ – определ. «дельта» (гл. определ. сист.). Если=0, воспользоваться ф-лами нельзя. 3 вспом. определ.: b₁ a ₁₂ a₁₃ b₁ a ₁₂ a₁₃

Δ₁= b₂ a ₂₂ a₂₃ Δ₂=b₂ a ₂₂ a₂₃

b₃ a ₃₂ a₃₃ b₃ a ₃₂ a₃₃

a₁₁a₁₂ b₁

∆₃= a₂₁a₂₂b₂

a₃₁a₃₂b₃

х₁=∆₁/∆ х₃ – неизв.⇒замен. столбцами

х₂=∆₂/∆ свобод. членов

х₃=∆₃/∆

Т. Крамера

Если ∆, гл. определ. сист.≠0, то сист имеет единственное реш., кот.

Операции над матрицей. 1. Умножение матрицы на скаляр (число). Д/того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно умножить на это число все эл-ты матрицы. Н.: 1 2 3 3 6 9

А=4 5 6 3А= 11 13 15

7 8 9 21 24 27 2. Сложение (вычитание) матриц. Даны 2-е матрицы (одинаковые размерности). Тогда ∑ (разность) этих матриц – матрица той же размерности, каждый эл-т кот.=∑ (разности) эл-тов с соотв. коэфф-ми. Н.:

1 2 3 2 4 6 3 6 9 -1 –2 –3

А=4 5 6 В=7 8 9 А+В=11 13 15 А-В=-3 –3 –3

7 8 9 2 1 5 9 9 14 5 7 4

3. Умнож. матриц. Пусть даны 2-е матрицы: 1) А (3*3); 2) В (3*2). А*В – выбираем 1-ую строку и первый столбец.

1 2 3 4 2 17 11

А=2 1 2 В= 2 3 А*В= 16 9

3 1 1 3 1 17 10

(3*3) (3*2) (3*2) Произведение матриц – С (n*m), каждые эл-т кот. будут=. Алгоритм: Дана А (n*k) и B (k*m). A*B=C (n*m). C=A*B (n*m)

C_ij= ∑a_ipb_ij

^P=1

Каждый эл-т, стоящий в i строке и j столбце=(С_ij) скалярному произведению матриц. p – коэфф. меняющийся; k – число эл-тов в строках А и в столбцах В. Св-ва произведения: 1) Произведение матриц некоммуникативно. Произведения могут и не существовать. Даже если эти произведения существуют, они обязат.=. Если А*В=В*А, матрицы – перестановочные. 2) Произведение матриц ассоциативно: (А*В)*С=А*(В*С). 3) Произведение любой матрицы на единичную матрицу не меняет эту матрицу: АЕ=ЕА=А. 4. Транспонирование матриц. пусть дана матрица А, имеющая размерность (n*m). Транспонированная матрица, строки кот.=столбцам матрицы А, имеет размер (m*n). Транспонирование:

1 2 3 4 1 5 9

А=5 6 7 8 А^Т=А^-1= 2 6 10

9 10 11 12 3 7 11

(n*m) 4 8 12

Сист. лин. ур-ий

2х+3у=5 – сист. 2-ух лин.ур-ий с 2-я

4х-2у=3 неизвестными

Сист. т-лин. ур-ий с n-неизвестными

а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а₁_mх_n=b₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₁₃х₃+…+а₂_mх_n=b₂

а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃+…+а₃_mх_n=b₃

……………………………….

a_m₁х₁+а_m2х₂+а_m3х₃+…+а_m_nх_n=b_m

a_ij – известный параметр (коэфф.); i – №

ур-ия, к кот. относ. этот коэфф.; j – № ур-ия, к кот. относ. этот коэфф.; b_i – известный параметр (свободный член этой сист.); х_j– неизвестный параметр. _ _

i=1, m j=1,n

Т.о. сист. m-ур-ий с n неизвестными. Осн. понятия: 1) упорядоченный набор n-действительных чисел – реш. сист., если при подстановке в кажд. ур-ие он обращает это ур-ие в верное рав-во. Если сист. не имеет реш. – несовместная; имеет 1 реш. – определённая, > 1 реш. – неопределённой. Матричная ф-ма записи сист.:

а₁₁а₁₂ а₁₃a_1n –коэфф. сист. (матрица

а₂₁ а₂₂ а₂₃a_2nкоэфф-овсист.).

А= а₃₁ а₃₂ а₃₃a_3nх₁–матрица столбца

……….……. х₂(n*1)

a_m1a_m2a_m3a_mn х= х₃

(m*n)_{… .}

b₁ х_n

b₂(m*1) A*X=B

b= b₃

…:

b_n

Кв. матрица. Дана кв. матрица А, тогда матрица А^-1 будет называться обратной д/матрицы А, если выполняются следующ. усл-я: произведение этих матриц в любом порядке=единичной матрице (А*А^-1=

=А^-1*А=Е). Теорема: Если матрица имеет обратную, то только одну. Док-во: Докажем от противного. Предположим, что матрица А имеет обратные: А^-1и А^*. А*А^*=А^**А=Е. Домножим это рав-во слева на А^-1. А*А^*=Е. А^-1*(А*А^*)=А^-1*Е. Воспользуемся ассоциативностью умножения:

(А^-1*А)*А^*=А^-1Е*А^*=А^-1

║ А^*=А^-1

Т.е. действительно, если матрица имеет обратную, то только одну.

Св-ва определит.

1. Определ. не меняется при транспонировании . Т.о. строки и столбцы равноправны. 2. Если поменять местами 2-е строки (2 столбца) определит., знак определит. изменится на противоположный. 3. Чтобы умножить определ. на число, достаточно умножить на это число все эл-ты любой строки (столбца) – отличие определ. от матрицы. 4. Если определ. имеет 2-е одинаковые строки (столбца), этот определ.=0. 5. Если в определ. 2-е пропорциональных строки (столбца), этот определ.=0. 6. Если в определ. имеется нулевая строка (столбец), определ.=0. 7. Если любую строку (столбец) определ. умножить на число и прибавить к др. строке (столбцу), этот определ. не изменится. 2 3 4

5 1 2 =-56-(-81)=-56+81=25

3 2 1

2 3 4

1 –5 -6=-10-54+8-(-60+3-24)=25

3 2 1 Т. Лапласа. Д/вычисления определ. можем взять любую строку, а также любой столбец. а₁₁а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃=

а₃₁ а₃₂ а₃₃

=а_i₁*А_i1+а_i2*А_i2+а_i3*А_i3=а₁_j*А_1j+а_2j*А_2j+а_3j*А_3j

Определ. (детерминант) – число, кот. ставится в соотв. кв. матрице и выражается через её эл-ты. 1. Определ. 1-ого порядка. Дана кв. матрица, имеющая размеры: │А│=

=│а₁₁а₁₂│=а₁₁а₁₂-а₁₂а₂₁

_│а₂₁^Xа₂₂^│

Прямые скобки указывают, что матрица явл. определительной. │1 2│=-2 │2 4│=24

│4 6│ │-3 6│

│а₁₁а₁₂ а₁₃│Менор (М_ij) – определ. 2-ого

│а₂₁ а₂₂ а₂₃│порядка, кот. получается при

│а₃₁ а₃₂ а₃₃│вычёркивании в определителе 3-его порядка i-строки и j-столбца.

М₁₁=│а₂₂а₂₃│М₁₂=│а₂₁а₂₃│М₂₁=│а₁₂а₁₃│

│а₃₂а₃₃│ │а₃₁а₃₃│ │а₃₂ а₃₃│

Алгебраическое дополнение А_ij=(-1)^i+j*М_ij. Если нечётная, то отличается от менора знаком. Если чётная, то ничем.│а₁₁а₁₂ а₁₃│

│а₂₁ а₂₂ а₂₃│=

│а₃₁ а₃₂ а₃₃│

=а₁₁*А₁₁+а₁₂*А₁₂+а₁₃*А₁₃

│2 3 4│

│5 1 2│=2*(-1)²*│1 2│+3*(-1)³*│5 2│+

│3 2 1│ │2 1│ │3 1│

+4*(-1)⁴

│5 1│=2*(-3)+(-3)*(-1)+4*7=25

│3 2│

Вычисление определ. высш. Порядков

Происходит по той же ф-ле, т. Лапласа справедлива д/каждого порядка.

│ 2 4 3 -1│ │ 2 4 3 -1│ │-8 0 –4 2│=│ -4 8 2 0│=

│-2 4 1 0│ │ -2 4 1 0│

│-1 5 2 5│ │-11 –15 –13 0│

│ -4 8 2│

=(-1)*(-1)⁵*│ -2 4 1│=2*(-1)=

│-11 –15 -13│

│-2 4 1│

=│-2 4 1│=0

│11 15 13│

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

Дана кв. матрица А. Найти обратную, т.е.

А^-1. а₁₁а₁₂ а₁₃

А= а₂₁ а₂₂ а₂₃А^-1 – ?

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Найдём определ. матрицы А. 1) Если определ. матрицы А=0, то матрица не имеет обратной и называется вырожденой. Если определ. матрицы А не=0, то матрица имеет определ. и называется не вырожденной.

2) Вычисляем присоединённую матрицу. Присоединённая матрица – матрица состоящая из алгебраических дополнений.

1.│А│≠0 2. А₁₁ А₁₂ А₁₃

Â= А₂₁ А₂₂ А₂₃

А₃₁ А₃₂А₃₃

3. Транспонируем присоединённую матрицу и делим её на определ. матрицы А.

А^-1=(Â)^Т*1/|А| Н.: Дан определ. мат А.

|1 3 -1|

|А|=|2 –7 4|=42+36+2-(-21+36+4)=80-(11)=

|3 –1 6|

=69≠0 |А|=69

А₁₁=(-1)²| 7 4|=42+4=46 А₁₂=(-1)³|2 4|=0

|-1 6| |3 6|

А₁₃=(-1)⁴|2 7|=-2-21=-23

|3 -1|

А₂₁=(-1)³| 3 -1|=-(18-1)=-17

|-1 6|

А₂₂=(-1)⁴|1 -1|=6+3=9

|3 6|

А₂₃=(-1)⁵|1 3|=-(-1-9)=10

|3 -1|

А₃₁=(-1)⁴|3 -1|=12+7=10

|7 4|

А₃₂=(-1)⁵|1-1|=-(4+2)=-6

|2 4|

А₃₃=(-1)⁶1 3=7-6=1 46 0 -23

2 7 Â= -17 9 10

19 –6 1

46/69 –17/69 19/69 А*А^-1=Е

А^-1= 0 9/69 –6/69

-23/69 10/69 1/69

1) 1*46/69+3*0+(-1)*(-23/69)=1

2) 1*(-17/69)+3*9/69+(-1)*10/69=

-17/69+27/69-10/69=0

3) 1*19/69+3*(-6/69)+(-1)*1/69=

=19/69-18/69-1/69=0

4) 2*46/69+7*0+4*(-23/69)=92/69-92/69=0

5) 2*(-17/69)+7*9/69+4*10/69=

=-34/69+63/69+40/69=1

6) 2*19/69+7*(-6/69)+4*1/69=

=38/69-42/69+4/69=0

7) 3*46/69+(-1)*0+6*(-23/69)=

=138/69-138/69=0

8) 3*(-17/69)+(-1)*9/69+6*10/69=

=-51/69-9/69+60/69=0

9) 3*19/69+(-1)*(-6/69)+6*1/69=

57/69+6/69+6/69=69/69=1 1 0 0

Е₃= 0 1 0

0 0 1