1. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим знаменатель на множители.
Значит,
Разложим дробь  , используя метод неопределённых коэффициентов.
то есть:
 ,  , 
Следовательно,
Тогда, исходный ряд примет вид:
Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:
 =  
 =  
 =  
 =  
 =  
 =  
 =  
 =  
Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму.
 .
Тогда искомая сумма равна:
 .
Ответ:  .
2. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим дробь  , используя метод неопределённых коэффициентов.
то есть:
 ,  ,  , 
Следовательно,
Тогда, исходный ряд примет вид:
Найдём n – первых членов ряда  , записывая дроби с одинаковыми знаменателями, друг под другом:
=   
=   
=   
=   
=   
=   
=   
=   
Сложим n – первых членов ряда
и найдём их сумму.
 .
Тогда искомая сумма равна:
Ответ:  .
3. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Так как  , то рассмотрим ряд
 , тогда
Воспользуемся признаком Даламбера.
 , 
Тогда,
Так как  , то ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится по теореме о сравнении рядов.
Ответ: Ряд сходится.
4. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Преобразуем n – член этого ряда.
Сравним ряд  с рядом  , пользуясь предельным признаком сравнения:
 , 
Тогда,
Поскольку А = 1 (0<A<+∞) – действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд - является рядом Дирихле. Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд тоже сходится.
Ответ: ряд сходится.
5. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера.
 , 
Находим m по формуле:
Тогда:
Так как  , то ряд  расходится.
Ответ: ряд  расходится.
6. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Рассмотрим ряд
 .
Поскольку  при  :
Воспользуемся признаком Даламбера.
 ,
Находим m по формуле:
Тогда:
Так как  , то ряд сходится.
Согласно признаку сравнения сходится и ряд  .
Ответ: ряд сходится.
7. Вычислить сумму ряда с точностью α..
 α. = 0,001.
Решение.
Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.
- числовой знакочередующейся.
Воспользуемся признаком Лейбница:
1) 
2) 
Следовательно, ряд условно сходится.
Проверим абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд  .
Воспользуемся признаком Даламбера:
 , 
Находим m по формуле:
Тогда:
Следовательно, ряд
сходится абсолютно.
Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:
а1
= -1,5 а2
= 0,1042 а3
= - 0,0016 а4
= 0,0000093
Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и  . Требуемая точность достигнута.
Следовательно:
 .
Ответ:  .
8. Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Рассмотрим два интервала:
1) 
Проверим необходимый признак сходимости рядов:
Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
2)  , то есть 
Проверим необходимый признак сходимости рядов:
Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
При  имеем:
то есть ряд расходится.
Окончательно, получаем ряд расходится при любом Х
Ответ:
9. Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера:
 .
В данном примере:
 ,
 .
Следовательно, ряд  сходится при любом Х, т.е. 
Ответ: .
10. Найти сумму ряда:
Решение.
Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:
то есть  . Ряд сходится для тех значений Х, для которых  , то есть  ,  .
При ряд расходится, так как  .
Следовательно,  .
Перепишем данный ряд:
Обозначим сумму трёх рядов через  ,  и  соответственно, тогда
 .
Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:
1)  :
то есть  . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
2)  :
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
3)  :
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
Найдём сумму ряда .
Это сумма бесконечной геометрической прогрессии:  , тогда:
 .
Найдём сумму ряда .
 .
Обозначим сумму ряда в скобках за  и проинтегрируем:
 .
Продифференцируем  :
 .
Отсюда:
сумму ряда  .
 .
Обозначим сумму ряд в скобках за  и проинтегрируем:
 .
Тогда, продифференцируем  :
Отсюда:
 .
Следовательно:
 для всех  .
Ответ:  для всех .
|