ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК
Представлення точок
здійснюється наступним чином:
На площині 
У просторі 
Перетворення точок.
Розглянемо результати матричного множення , що визначає точку Р, і матриці перетворення 2х2 загального виду:
 (3.1)
Дослідимо декілька часткових випадків.
1) а
=d
=1 і c
=b
=0.Змін не відбувається
 . (3.
2
)
2) d
=1, b
=c
=0. Зміна масштабу по осі x
 . (3.
3
)
3) b
=c
=0. Зміна масштабу по осях x
і y
 . (3.
4
)
4) b
=c
=0, d
=1, a
=-1. Відображення координат відносно осі y
 . (3.
5
)
5) b
=c
=0, a
=d
<0. Відображення відносно початку координат
 .(3.
6
)
6) а
=d
=1,c
=0. Зсув
 . (3.
7
)
Для початку координат маємо інваріантно
 .
Рис.3.1. Перетворення точок.
ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРЯМИХ ЛІНІЙ
Пряма задана 2 векторами.
Вектори положення точок А і В рівні  і  .
Рис.3.2. Перетворення прямих ліній.
Матриця перетворення
 .
Одержимо:
 ,(3.
8
)
 .(3.
9
)
Альтернативне представлення лінії AB
 .
Після цього множення матриці L
на Т
дасть
 . (3.10)
Операція зсуву збільшила довжину лінії і змінила її положення.
ОБЕРТАННЯ
Розглянемо плоский трикутник ABC.
Здійснимо поворот на 90° проти годинникової стрілки.
Рис.3.3. Обертання і відображення.
Одержимо
 .(3.
11
)
В результаті отримаємо трикутник A*B*C*. Поворот на 180° задається матрицею
 ,
поворот на 270° навколо початку координат - за допомогою матриці:
 .
ВІДОБРАЖЕННЯ
Відображення
визначається поворотом на 180° навколо осі, що лежить у площині ху
.
1) Обертання навколо прямої y
=x
задається матрицею:
 .
Нові вирази визначаються співвідношенням:
 .(3.
12
)
2) Обертання навколо осі y
=0 задається матрицею:
 .
Нові вершини визначаються співвідношенням:
 . (3.13)
ЗМІНА МАСШТАБУ
Зміна масштабу
визначається значенням 2-х елементів головної діагоналі матриці.
Якщо використовуємо матрицю  маємо збільшення в 2 рази.
Якщо значення елементів не рівні, то має місце спотворення.
Трикутник ABC перетворений за допомогою матриці . Трикутник DEF перетворений за допомогою матриці  . Маємо спотворення.
Рис.3.4. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів.
ДВОВИМІРНИЙ ЗСУВ І ОДНОРІДНІ КООРДИНАТИ
Введемо третій компонент у вектори точок і  - і  .
Матриця перетворення матиме вигляд:
перетворення фігура площина точка
 .
Таким чином,
 . (3.14)
Константи m
, n
викликають зсув x
* і y
* відносно x
і y
.
Матриця 3х2 не квадратна - вона не має оберненої матриці.
Доповнимо матрицю перетворення до квадратної
 . (3.15)
Третій компонент не змінюється.
|