| Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины
Курсовая работа
"Семейства решений с постоянной четной частью"
Гомель, 2005
Реферат
В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.
В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Библиография – 5 названий.
Содержание
Введение
1. Определение и свойства отражающей функции
2. Простейшая система
3. Система чет-нечет
4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
5. Семейства решений с постоянной четной частью
Заключение
Литература
Введение
Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».
При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.
Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.
1. Определение и свойства отражающей функции
Рассмотрим систему
 
, (1.1)
считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по  . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через  . Через  обозначим интервал существования решения 
Пусть
 .
Определение:
Отражающей функцией системы (1.1)
назовем дифференцируемую функцию  , определяемую формулой  (*)
или формулами  .
Для отражающей функции справедливы свойства:
1). Для любого решения  , системы  верно тождество
 ; (1.2)
2). Для отображающей функции  любой системы выполнены тождества:
 ; (1.3)
3). Дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных
 (1.4)
и начальному условию
 . (
1.5)
Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.
► Свойство 1) следует непосредственно из определения (*)
. Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения  системы (1) верны тождества  . Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку  проходит некоторое решение  системы (1.1), и следуют тождества (1.3).
Приступим к доказательству свойства 3). Пусть  – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по  и воспользуемся тем, что  – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество
из которого в силу произвольности решения  следует, что  – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.
Пусть некоторая функция  удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция  должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.
Основная лемма.
Пусть правая часть системы (1.1)  – периодична по  , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным  . Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле
 ,
и поэтому решение  системы (1.1) будет  – периодическим тогда и только тогда, когда  есть решение недифференциальной системы
 (1.6)
В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция   – периодична и нечетна по  , т. е.  и  . Тогда всякое продолжение на отрезок  решение системы (1.1) будет  – периодическим и четным по  .
Для доказательства достаточно заметить, что функция  удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое  , для которого определено значение  . Согласно основной лемме любое продолжимое на  решение системы (1.1) будет  – периодическим. Четность произвольного решения  системы (1.1) следует из тождеств  , справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.
2. Простейшая система
Простейшей называют систему вида
 (2.1),
где  –
отражающая функция этой системы.
Теорема:
Пусть  (2.2)
простейшая система, тогда  , где  - отражающая функция системы (2.2).
Если система простейшая,
 ;
 .
Замечание.
Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из него определить функцию , обладающую свойством  и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.
3. Система чет-нечет
Рассмотрим систему
 (3.1)
Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а.)
Функция  непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;
б.)
Правая часть системы (3.1)  – периодична по  .
Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а)
. и б).
Тогда продолжимое на отрезок  решение  этой системы будет  – периодическим тогда и только тогда, когда
 ,
где  – есть нечетная часть решения .
Пусть  – – периодическое решение системы (3.1). Тогда  . Необходимость доказана.
Пусть – решение системы (3.1), для которого  . Тогда  , и поэтому  . Таким образом, точка  есть неподвижная точка отображения за период, а решение  –  – периодическое.
Доказанная лемма вопрос о периодичности решения  , сводит к вычислению одного из значений нечетной части . Иногда относительно  можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции  ;  , удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:
 (3.2)
Так как  решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2)  на  и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество
 (3.3)
Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:
 ;
 .
Таким образом, вектор-функция
 (3.4)
Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка
 :  ;
При этом  . Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.
4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
1
. 
Найдем решение:
 ;
 ;
  
Таким образом: 
Сделаем проверку: 
 ; 
Четная часть общего решения: 
2
.
Найдем решение:
 
     
Таким образом: 
Сделаем проверку:  ;
 ; , четная часть общего решения 
3
. 
Найдем решение:
 
  .
Сделаем проверку:
    
 Таким образом:  Четная часть общего решения
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
где  и  – нечетные функции, а четная часть представлена константой.
 
 (4.1)
Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.
5. Семейства решений с постоянной четной частью
Рассмотрим систему
 (5.1)
Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть  . Иначе говоря, когда  не будет зависеть от  .
Рассмотрим уравнение  . Его решение
  .
Возьмем отражающую функцию  системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:
 (5.2)
Если четная часть будет представлена константой, то
 . (5.3)
Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем:  . Учитывая (
5.1), имеем:
 .
Воспользуемся соотношением (1.4)
 
 (5.4)
Таким образом, приходим к теореме:
Теорема: Если система вида  (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество
(5.4)
Заключение
Мы исследовали понятие «отражающей функции».
Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.
На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.
Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Литература
1. Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.
2. Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.
3. Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.
4. Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.
5. Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.
|