Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Шевченко

Факультет физики и астрономии

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ: ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА,УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ

Выполнила: студентка РЖV курса

Группа 103 В

Голуб Наталия

Киев 2009

Содержание

1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА

1.1 Скорость света

1.2 Шварцшильдовы координаты

1.3 Изотропные координаты

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

2.1 Уравнение энергии

2.2 Шкалы времени

3. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ

1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА

В четырехмерном римановом пространстве общее выражение для интерваламежду двумя событиями выражается производными

Васледующим образом:

Ва(1.1.1)

гдетАФ свободные индексы (а не обозначения степеней), и, кроме того, принято обычное правило суммирования (повторяющийся свободный индекс предполагает суммирование по всем его значениям 0, 1,2, 3). Таким образом, выражение (1.1.1) представляет собой сумму 16 членов. ЗначениятАФ функции координат; они определяют собой метрику пространства.

В соответствии с общей теорией относительности эта метрика зависит от распределения материи; значенияудовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных, известным как уравнения Эйнштейна. Такая метрика называется пространственно-временной.

Последовательность координат движущейся частицы описывает ее Влмировую линиюВ», в частности, мировая линия частицы, свободно перемещающейся в гравитационном поле, называется геодезической.

Для наших целей достаточно ограничиться рассмотрением статического сферически симметричного поля, создаваемого единственной изолированной массой. Отождествимс пространственными координатами относительно центра симметрии, аВавременной координатой, обозначив ее через t. Предположение о статичности поля подразумевает, что значенияне являются функциями t, а радиальный масштаб может быть определен как произвольная функция радиуса. Поскольку этот масштаб выбран, дифференциальные уравнения, описывающие геодезическую, заданы полностью.

Тем не менее остается свободным еще выбор пространства координатчто эквивалентно выбору геометрической проекции при построении двухмерных карт. Аткинсон [8] показал, что релятивистские свойства сферически симметричного поля можно строго описать в рамках трехмерного евклидова пространства, поскольку предположение о сферической симметрии подразумевает неизменность вида метрики при евклидовых преобразованиях пространственных координат.

Принимая такую точку зрения, мы определяем евклидово пространство тремя взаимно ортогональными декартовыми осями с началом в центре симметрии; эта система координат описывает покоящуюся систему отсчета. Определим координатный вектор х и координатную скоростькак трехмерные евклидовы векторы, компоненты которых соответствен

ЕслитАФ единичный вектор в направлении х, то наиболее

общее выражение интервалав случае статического сферически симметричного поля имеет вид

Ва(1.1.2)

_гдетАФ константа,тАФ функции радиуса (в этойформуле и далее все индексы тАФ показатели степени).

Рассмотрим только так называемые временноподобные интервалы, для которых Вав этом случае т называется ВлсобственнымВ» временем. Аткинсон [9] показал, что уравнения Эйнштейна приводят к двум соотношениям между коэффициентами формулы (1.1.2), которые в наших обозначениях таковы:

Ва(1.1.3)

Ва(1.1.4) гдетАФ другая константа, а также

Выбором, как произвольной функции радиальной координаты, можно описать бесконечное число сферически симметричных метрик, удовлетворяющих уравнениям Эйнштейна. Единственное условие, которое должно быть при этом удовлетворено, заключается в том, что приниными словами, на бесконечном расстоянии от начала координат выражение интервала принимает вид (1.1.5)

который задает плоскую метрику Минковского специальной теории относительности. Система отсчета, в которой метрика имеет вид (1.1.э), называется инерциальной или лорентцевой системой отсчета.

1.1 Скорость света

Мировая линия фотона, называемая нулевой геодезической, определяется так, чтовсегда равно нулю. Уравнение (1.1.5) показывает, что на нулевой геодезической в бесконечном удалении от начала

т. е. координатная скорость света в ВлпустомВ» пространстве равна , Однако в нашем евклидовом пространстве координатная скорость света не равна. Приняв вимеем

(1.1.6)

что эквивалентно

Ва(1.1.7)

Скорость света в произвольной точке х зависит от радиальной координаты и направления. В радиальном направлении скорость задается формулой

в то время как в тангенциальном направлении

и, следовательно,

1.2 Шварцшильдовы координаты

Рассмотрим преобразование пространственных координат

гдевсегда равно.

Дифференцируя это выражение и учитывая, чтоВаполучаем

откуда следует, что

и

Из формулвидно, что выражение (1.1.2) для интервалапреобразуется к виду

Где

Выражение тАФ векторная форма метрики в стандартных координатах Шварцшильда; соответствующую скалярную форму в сферических координатах, как строгое решение уравнений Эйнштейна, впервые получил в 1916 г. К. Шварцшильд.

Мы показали, что общее выражение (1.1.2) с помощью формул (1.1.3) и (1.1.4) может быть приведено к шварцшильдовой форме (1.1.12) путем чисто алгебраического преобразования соотношения (1.1.8). Таким образом, уравнения, выведенные с использованием метрики Шварцшильда, можно преобразовать к некоторой общей сферически симметричной метрике.

1.3 Изотропные координаты

Рассмотрим систему координат, определяемую формулой

В соответствии с (1.1.3), получаем

Дифференцируя (1.1.14) по, находим

Следовательно, по (1.1.4) имеем

или

и выражение (1.1.2) для элементапринимает вид

Это выражение известно как изотропная форма метрики Шварцшильда, поскольку, приняв в, можно найти, что координатная

скорость света в точке х, задаваемая формулой

одинакова во всех направлениях.

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Можно показать (см. Приложение В), что уравнения, определяющие геодезические, выводятся из обычных уравнений Эйлера тАФ Лагранжа, которые в координатах Шварцшильда имеют вид

гдетАФ лагранжиан,

а точка сверху обозначает дифференцирование по

Уравнение (1.2.1) дает непосредственно

Или

гдетАФ постоянная интегрирования.

Формула (1.2.2) приводит к следующему выражению, вывод которого содержится в Приложении В:

Умножая (1.2.2) векторно на, получаем

вследствие того чтоТаким образом,

где Н тАФ постоянная, а h тАФ постоянный единичный вектор. Из последнего уравнения следует, что геодезическая лежит в плоскости, перпендикулярной h, а угловой момент по отношению к собственному времени остается неизменным. Угловой момент постоянен только в координатах Шварцшильда. В произвольной метрике, для которой Вауравнение (1.2.6) имеет вид

правая часть которого не является постоянной, поскольку x тАФ функция

При этих условиях (1.2.6) эквивалентно уравнению

и, следовательно, уравнение геодезической (1.2.5) в координатах Шварцшильда принимает вид

2.1 Уравнение энергии

Умножение уравнения (1.2.9) скалярно нас последующим интегрированием дает

гдетАФ постоянная интегрирования.

Это выражение можно также получить, исключаяиз (1-2.4) и (1.2.3), с условием, чтоЭто приводит к

Вследствие того что

и

левая часть (1.2.11) вдвое превышает левую часть (1.2.10) и, следователь!; о,

Считаяв точке, гдеиз (1.2.10) находим

где

2.2 Шкалы времени

Уравнение (1.2.4)тАФдифференциальное, связывающее координатное и собственное время. С учетом (1.2.11) имеем

Еслиопределено интегрированием формулы (1.2.9), то можно найтии, следовательно, получить после интегрирования выражения (1.2.15)как функцию

Необходимо также выразить дифференциальное уравнение (1.2.15) через координатную скоростьПринимая в (1.2.11)

с учетом (1.2.4) получаем

Формулы (1.2.15) и (1.2.16) можно вывести делением формулы (1.2.32) на, соответственно,

3. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ

Принимая в уравнении (1.2.9)Ваполучим известное выражение для ускорения под действием закона всемирного тяготения Ньютона

Здесь мы отождествляемВагдетАФ постоянная тяготения, а - центральная масса. В этом случае в соответствии с (1.1.13) Ваа из ВаТаким образом, уравнение (1.2.4) дает.Ваа координатное и собственное время оказывается идентичным.

Подставив (1.3.8) в (1.2.9) и зная, чтотАФ произвольная функция Ваможно получить уравнение геодезической в любых координатах. Очевидно, что даже и призакон обратных квадратов строго выводится только в случае постоянства к, что вновь приводит нас к стандартным координатам Шварцшильда с простой лишь сменой шкалы. Таким образом, уравнение геодезической (1.2.9) в стандартных координатах Шварцшильда является непосредственным релятивистским обобщением уравнения Ньютона (1.3.1). В этих координатах мы и будем рассматривать теорию орбитального движения, принимая ньютоново решение как первое приближение.

Теперь имеем

и, следовательно,

и далее по (3.3.1)

Учитывая, чтотАФпостоянный единичный вектор, интегрирование дает

гдетАФ произвольный постоянный единичный вектор, а е тАФ произвольная константа. В силу перпендикулярности иВаиз (1.3.3) следует, чтоперпендикулярнои находится в плоскости орбиты.

Умножив скалярно (1.3.3) наполучаем

где обозначеноРазделив (1.3.4) на, находим уравнение

орбиты

ПосколькутАФ ортогональные единичные векторы в плоскости

орбиты, атАФ единичный вектор вдоль, можно ввести уголтакой, что

Ва(1.3.6)

и, следовательно,Отсюда можно заключить, что (1.3.5) тАФ

уравнение конического сечения, отнесенное к фокусу как началу, с эксцентриситетом е и параметром орбитыЕдиничный вектор

Ванаправлен вдоль большой полуоси (рис. 1.1) от центра к фокусу. Можно интерпретировать полную скоростьв (1.3.3) как сумму двух векторов: один из них тАФ постоянная скоростьВавсегда перпендикулярная радиусу-вектору, а другойтАФ постоянная скорость Вав фиксированном направлениивдоль малой оси сечения. Приняв большую полуось равной Вадля параметра орбиты имеемВагде верхний знак относится к эллиптическому движениюнижний тАФ к гиперболическомуВаТаким образом,

а уравнение орбиты (1.3.5) приводится к виду

Расстояние от фокуса О до ближайшей точки линии апсид

Вапоэтому полная энергия в соответствии с (1.2.13) имеет вид

поскольку в таком приближении мы полагаем, чтоили

Уравнение (1.3.9) показывает, что придвижение стабильно

и орбита тАФ эллипс; при Ваорбита тАФ гипербола; наконец, если

Ваорбита тАФ парабола. Уравнение энергии в ньютоновом приближении выводится из

(1.3.9) при

Использованная литература:

1В» Абалакин В, К Основы эфемеридной астрономии,тАФМ. : Наука, 1979.тАФ 448 с,

2, Бакулин Л, И., Блинов Н. С. Служба точного времени, 2-е изд. М.В» Наука 1977.тАФ352 с. Бакулин П. И. Фундаментальные каталоги звезд, 2-е изд. М. : Наука, 1980 тАФ 336 с.

4.Блажко С. Н, Курс практической астрономииВ» 4-е изд.М. : Наука, 1979.тАФ 432 с.

5.Бугославская Е. Я- Фотографическая астрометрия,тАФ М. : Гостехиздат, 1947 тАФ 296 с.

8. Губанов В. С, Финкельштейн А. М., Фридман П. А. Введение в радиоастрометрию.тАФ М. : Наука, 1983.тАФ 280 с.

7.Гуляев А. П., Хоммик Л. М. Дифференциальные каталоги звезд.тАФ М. : Наука 1983.-136 с.

8.Загребин Д. В, Введение в астрометрию.тАФ М. : Наука, 1966.тАФ 280 с.

Вместе с этим смотрят:

Aerospace industry in the Russian province

РЖсторiя ракетобудування Украiни

Авиационно-космические отрасли в российской провинции

Атомы и молекулы

Биология в школе, наука и идеология