Некоторые линейные операторы

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=.

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f^/(x), в пространстве дифференцируемых функции D_{[a, b]}. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

Вз1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1. Пусть E_x и E_y[1]
тАУ линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: E_x Во E_y называется линейным оператором, если для любых элементов х₁ и х₂ пространства E_x и любого комплексного (действительного) числа Вавыполняются следующие равенства [2]
:

1. А(х₁+х₂) = Ах₁ + Ах₂;

2. А(х) = А(х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е₁ тАУ линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x ВаЕ.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D_[a,b] тАУ пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D_[a,b] задан формулой:

Дf(x) = f^/(x).

Где f(x) ВаD_{[a, b]}, f^/(x) ВаC_{[a, b]}.

Оператор Д определен не на всем пространстве C_{[a, b]}, а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С_{[-, +]} тАУ пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:

Аf(x) = f(x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А тАУ линейный оператор.

4) Пусть Ва(пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение ₁, заданное формулой:

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.

Вз2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть , ВатАУ нормированные пространства.

Определение 2 .Оператор А: Е ВаЕ₁ называется непрерывнымв точке , если какова бы не была последовательность x_nВаx₀, А(x_n) сходится к А(x₀). То есть, при p (x_n, x₀) Ва0, p (А(x_n), А(x₀)) Ва0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x₀, если какова бы не была окрестность[3]
U точки y₀ = А (x₀) можно указать окрестность V точки x₀ такую, что А(V) ВаU.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x₀) < , p (f(x), f(x₀)) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х₀ = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х₀=0. Возьмем последовательность точек пространства х_nВох₁, тогда х_nтАУх₁Во0, отсюда А(х_nтАУх₁)ВоА(0)=0, т. е. А(х_nтАУх₁)Во0.

Так как А тАУ это линейный оператор, то А(х_nтАУх₁)ВоАх_nтАУАх₀, а тогда

Ах_n-Ах₀ Во 0, или Ах_nВоАх₀.

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С_{[0, 1]} в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) тАУ произвольный элемент пространства С_{[0, 1]} и y_n(x) тАУ произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

Ваp (y_n, y) = |y_n(x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(y_n) = y_n(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(y_n), F(y)) = |F(y_n) - F(y))| = | y_n(1) - y(1)| |y_n(x)- y(x))|=p(y_n,y),

то есть p (F(y_n), F(y)) Ва0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С_{[a, b]}, то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е ВаЕ₁ называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx|| ВаK||x||. ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа(1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S тАУ множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k ВаS.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (k_n), сходящуюся к k. Так как k_nВаS, то выполняется неравенство: |А(x)| Ваk_n||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)| Ваk||x||, где (xE), (k ВаS).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4]
.

||А|| ВаK, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| Ва||А||||x||, где

||А|| = xE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из E_x в E_y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А тАУ ограничен;

Доказать: А тАУ непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx|| ВаK||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< Ва||Ax|| < .

Выберем Ватак, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит Ва= , тогда если ||x||< , то ||Аx|| ВаK||x|| < K =

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в Ваточке.

Достаточность:

Дано: А тАУ непрерывен;

Доказать А тАУ ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||.

Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т.д.

Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n = , где

||y_n|| = .

Следовательно последовательность y_nВа0 при n .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_nВа0, однако

||Аy_n || = ||A|| = ||Ax_n ||Ва> n|| x_n||Ва= 1, получаем противоречие с Аy_nВа0, то есть А тАУ ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5]
F(y) = Вав C_{[a, b]}, где p(x) тАУ непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.

|| Ва|| = |y(x)||| |y(x)|||;

||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = || .

Таким образом, норма F(y) = Вабудет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| = Ва= 1.

Вз3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть , ВатАУ нормированные пространства, ВатАУ линейный оператор, D_A- область определения оператора, а R_A тАУ область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего R_A, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему R_A, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий D_A и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А^-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор Ваимел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x тАУ нулевой вектор. Получим 0 Ваm*||x||, отсюда ||x|| Ва0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А^-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A^-1y, норма ||A^-1y||=||x||, но ||x|| ||Ax||=||y||.

Отсюда ||A^-1y|| ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A^-1||=.

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А^-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A^-1y|| ВаМ||y||.

Подставляем значение y и значение A^-1y,получим ||x|| ВаM||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax|| ||x||.

Положим =m, получим ||Ax|| Ваm||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А тАУ линейный оператор в n-мерном пространстве Еⁿ. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектромоператора А, а все остальные значения λ тАУ регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I тАУ единичный оператор, обратим, При этом оператор (А тАУ λI)^-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1) уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А тАУ λI)^-1 при этом не существует;

2) существует ограниченный оператор (А тАУ λI)^-1, то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3) оператор (А тАУ λI)^-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А тАУ λI)^-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений λ называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А тАУ λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А тАУ λI)^-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А тАУ λI)^-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра тАУ существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8. Оператор , где ВатАУ регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6]
оператора А и обозначается Ва(или ).

Теорема 5. Пусть ВатАУ линейный непрерывный оператор, Ваего регулярные числа. Тогда .

Доказательство. Умножим обе части равенства на : (==. С другой стороныВа получим . Так как числа ВатАУ регулярные для оператора А, то оператор Ваимеет обратный. Значит, из равенства Васледует, что . Значит, утверждение теоремы верно.

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C_[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:

tx(t) - x(t) = y(t),

решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если Валежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

x(t) = y(t),

откуда следует, что все такие значения параметра Ваявляются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R(y) = y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть ₀Ва[0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке ₀, y(₀) = a Ва0. Для такой функции равенство (t - ₀)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = ₀ левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при Ва= ₀ уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность ₀ спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0, Ва[0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор А действующий из Е ВаЕ, задается матрицей А=.

Аx = Ва= .

Введем обозначения:

Ва= y₁

Ва= y₂

x₁, x₂, y₁, y₂ВаE;

A - *I = , найдем определитель A - *I:

D(A - *I) = Ва= (2-)*(-2-) тАУ 3 = ² тАУ 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если Ване есть корень уравнения ² тАУ 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра Варегулярные.

Корни уравнения ² тАУ 7 = 0 образуют спектр:

₁ = ; ₂ = -;

₁, ₂ тАУ собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений :

при Ва= Ваполучаем:

откуда x₁ = (2+)x₂; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);

при Ва= - получаем:

откуда x₁ = (2 - )x₂ ; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);

Вз4. Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство Ванепрерывных на отрезке Вафункций, и оператор А, заданный формулой:

Ах(t) = g(t) x(t).

g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(x), f₀(x)) Ва0ВаВаВа ВаВаВаВаp (A f_n(x), Af₀(x)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C_[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(x), f₀(x)) = | f_n(x) - f₀(x)|.

Решение:

p (A x_n(t), Ax₀(t)) = |Ax_n(t) - Ax₀(t)| = |x_n(t)g(t) - x₀(t)g(t)| |g(t)| |x_n(t) - x₀(t)| = |g(t)|p (x_n(t), x₀(t)) Ва0.

Итак, p (A x_n(t), Ax₀(t)) Ва0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.

4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.

По определению 5: ||A||=|A(f)|.

Решение.

||A||=|A(f)|=|g(t)x(t)|.

|g(t)x(t)| Ва|g(t) x(t)| = |g(t)| |x(t)| |x(t)| |g(t)|.

||A||=|x(t)| |g(t)| = Ва||x(t)|| |g(t)| Ва|g(t)|.

Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.

5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.

Возьмем произвольное число Ваи составим оператор :

(А-lI) x(t) = (g(t) тАУl ) х(t).

Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнениеВа Ваотносительно функции . Это возможно, если Вадля любого :

.

Если число Ване является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция Ванепрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке . Отсюда следует, что оператор Ваявляется ограниченным.

Если же , то оператор Ване существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).

Резольвента оператора имеет вид .

Отметим, что точки спектра , , не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции , для которой , или . Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.

Вывод:

Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) - функция, непрерывная на [a, b], a,bR:

1. Валинейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;

4. обратим при , для любого ;

5. спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;

6. резольвента имеет вид .

Вз5.Оператор интегрирования

Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C_[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:

Аf(t) = .

f(t) тАУ функция, непрерывная на [a, b],t Ва[a,x]; x Ва[a,b]; a,bR;

Поскольку Ва- интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела тАУ F(x), a Ваx Ваb; Следовательно можно утверждать, что А тАУ оператор.

Проверим оператор A на линейность. По определению 1:

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = Ва= Ва+ Ва= A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).

A(kf) = Ва= k*Ва= kA(f).

Исходя из свойств интеграла:

1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;

2. вынесение const за знак интеграла.

Можно сделать вывод: оператор А является линейным.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(t), f₀(t)) Ва0ВаВаВа ВаВаВаВаp (A f_n(t), Af₀(t)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C_[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(t), f₀(t)) = | f_n(t) - f₀(t)|.

Решение:

p (A f_n(t), Af₀(t)) = |Ва- |.

|Ва- | = || Ва= p (f_n(t), f₀(t)) Ва= p (f_n(t), f₀(t)) (x-a) Ва0

axb.

Таким образом p (A f_n(t), Af₀(t)) Ва0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):

|| Ва|| Ва||

|| = 0; || = |b-a|.

0 Ва|| Ва|b-a|.

5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=|A(f)|):

||A|| = |A(f)| = Ва|| Ва= (x-a);

a Ваx Ваb;

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f ВаC_[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

x Ва[0,b], t Ва[0,x];

Найдем оператор обратный к (A - *I), ВаR;

(A - *I)*f = g

Ва- *f(x) = g(x)ВаВаВаВаВаВаВаВаВа (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

f - *f^/ = g^/ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (2)

Это уравнение (2) тАУ дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

Ва- f^/ =

Ва- Ва+ f^/ = 0ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3)

Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:

Ва- *U*V + U^/ *V + U*V^/ Ва= 0

U^/ *V + U*V^/ - *U*V = -

U^/ *V + U*(V^/ - *V) = - ВаВаВаВаВаВаВаВаВа(4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V^/ - *V = 0

V^/ = *V

Ва= *V

Ва=

LnV = Ва+ c

V = *, пусть Ва= с₁

V = с₁*

Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V^/ - *V = 0.

Получим уравнение:

U^/ * с₁*Ва= -

Ва= -

Ва= - *

U = -*

Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:

f(x) = с₁**(-)*

найдем интеграл Y = , интегрируем по частям:

dz = g^/(x)dx;

z = Ва= g(x);

j = ;

dj = - *dx;

Y = g(x)* Ва+ *

Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:

f(x) = -Ва- **;

Получим оператор В:

Bg = -Ва- **;

x Ва[0,b], t Ва[0,x], g(x) ВаS, Ва- произвольное число.

Оператор В не существует, если Ва= 0;

Рассмотрим ограниченность оператора В для всех ВаR, Ва0;

||Bg|| = ||f(x)|| = |f(x)| = |-Ва- **| (|| + |**|) || + |**| || + |*|*|g(x)* |*|x| *|g(x)| + *|g(x)|* (||*|x|) |g(x)|*( Ва+ ***b);

При Ва> 0

Ва= ;

Ва= 1;

При Ва< 0

Ва=1;

Ва= ;

Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, }, тогда

|g(x)|*( Ва+ *Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики