Алгебра и алгебраические системы

Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.

п.1. Бинарные и n-местные операции.

Пусть - непустое множество, то есть .

Определение. Бинарной операцией на множестве Ваназывается отоВнбражение прямого произведения .

Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов мноВнжества Вапоставлен в соответствие единственный элемент из , то говоВнрят, что задана бинарная операция на множестве .

Пример.

Пусть - произвольные высказывания

: - бинарная операция на множестве высказываний.

Пусть - произвольные множества

: - бинарная операция на множестве множеств.

Пусть

: - бинарная операция на множестве действительных чисел.

: - не является бинарной операцией на множестве , так как .

Если - произвольная бинарная операция на множестве Ваи паре Ваставится в соответствие элемент Ва(то есть ), то вместо записи Вапишут , то есть имеем . Элемент Ваназывается композиВнцией элементов .

Определение. Пусть . Отображение ВаназыВнвается - местной операцией на множестве . Число - ранг операВнции.

Определение. Нульместной операцией на множестве Ваназывается выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число ВаназыВнвается рангом нульместной операции.

Определение. Одноместные операции называются унарными операВнциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множеВнства Ваставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная опеВнрация тАУ это отображение множества Ваво множество .

Унарную операцию называют оператором.

Пример.

Пусть - множество натуральных чисел

Ва- унарная операция

Ва- не является унарной операцией

На множестве высказываний операция : Ва- унарная операВнция

На множестве подмножеств универсального множества операция доВнполнения тАУ унарная операция.

Определение. Отображение из множества Ваназывается частичВнной - местной операцией на множестве , если область определеВнния отображения не совпадает с .

Виды бинарных операций

Пусть - бинарные операции на множестве .

Операция - коммутативна на множестве .

Операция - ассоциативна на множестве .

Операция - дистрибутивна слева относительно операции .

Операция Вадистрибутивна справа относительно операции .

Пример.

Операция Вана множестве - коммутативна, ассоциативна.

На множестве множеств операции Ваи Вадистрибутивны относиВнтельно друг друга.

На множестве функций композиция функций - ассоциативная операВнция, не является коммутативной операцией.

п.2. Понятие алгебры.

Определение. Алгебра , где , - множество операВнций на .

Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что заВндано множество и заданы операции.

Пример.

Пусть - множество высказываний

- алгебра логики высказываний.

Пусть - множество натуральных чисел

- алгебра натуральных чисел относительно операций Ваи .

Определение. Алгебра Ваназывается подалгеброй алгебры , если множество ; - ограничение операции .

Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная тройка , где , - множество операций на ; - мноВнжество отношений на .

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал ВлАргументВ». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье тАУ М.: Физмат лит-ра, 2001

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/

Вместе с этим смотрят:

Актуальные проблемы квантовой механики

Волоконно-оптические датчики температуры на основе решеток показателя преломления

Время и пространство - идеалистические понятия

Единое поле силового пространственного взаимодействия материальных тел

Интересные обьекты Вселенной