Гамма функции
Страница 2
12
сходится равномерно на каждом сегменте 
, 
. Выберем число
так , чтобы 
; тогда 
при 
.Поэтому существует число 
такое , что 
и 
на
.Но тогда на справедливо неравенство
и так как интеграл 
сходится, то интеграл 
сходится равномерно относительно 
на 
. Аналогично для 
существует такое число 
, что для всех выполняется неравенство 
. При таких 
и всех получим 
, откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл 
сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл
13
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом 
и справедливо равенство
.
Относительно интеграла 
можна повторить теже рассуждения и заключить, что
По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я 
-ой производной справедливо равенство
Изучим теперь поведение 
- функции и построим єскиз ее графика .
Из выражения для второй производной -функции видно, что 
для всех . Следовательно, 
возрастает. Поскольку 
, то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная 
при 
и
при 
, т. е. Монотонно убывает на 
и монотонно возрастает на 
. Далее , поскольку 
, то 
при 
. При 
из формулы 
следует , что при 
.
14
Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .
Положим для
, что 
. Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция 
принимает на (-1,0) отрицательные значения и при 
, а также при 
функция 
.
Определив таким образом 
на 
, мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что 
при 
и 
. Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках 
(см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения 
.
15
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов. 16
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая , что 
,имеем