ЭКОНОМEТРИЧEСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧEСКИХ РЯДОВ ОСНОВНЫХ МАКРОЭКОНОМИЧEСКИХ ПОКАЗАТEЛEЙ М 2003 173 С 2

РИСУНОК 2-1. ДЕРЕВО РЕШЕНИЙ ПРОДУКЦИОННОЙ СИСТЕМЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Оценивается модель 1

Н0: ? = 0 отвергается

не отвергается отвергается

Н0: ? = 0 при условии ? = 0 отвергается Н0: ? = 0 при условии ? ? 0

не отвергается не отвергается

Оценивается модель 2

Н0: ? = 0 отвергается

не отвергается отвергается

Н0: ? = 0 при условии ? = 0 отвергается Н0: ? = 0 при условии ? ? 0

не отвергается не отвергается

Оценивается модель 3

Н0: ? = 0 отвергается

не отвергается

2. Эконометрический анализ макроэкономических динамических рядов
2.1. Статистическая база исследования
На данном этапе исследования основным критерием отбора временных рядов для эконометрического анализа являлась их доступность и наличие достаточного числа наблюдений, позволяющего использовать предложенную методологию анализа. В последующем предполагается проводить отбор рядов исходя из потребностей содержательных задач.
Для анализа были использованы данные о следующих макроэкономических показателях (в круглых скобках указаны рабочие названия соответствующих рядов):
Темпы прироста индекса потребительских цен (Inflation), % - месячные данные с 1991:01 по 2000:08;
Денежный агрегат M0 (M0), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1990:12 по 2000:07;
Узкая денежная база (Denbaza), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1992:05 по 2000:08;
Резервные деньги (Shirdenmas), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1995:06 по 2000:07;
Денежный агрегат M1 (M1), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1995:06 по 2000:07;
Денежный агрегат M2 (M2), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1990:12 по 2000:07;
Широкие деньги (Shirdengi), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1992:01 по 2000:07;
Объем экспорта (Export), млрд. долл. - месячные данные с1994:01 по 2000:04
Объем импорта (Import), млрд. долл. - месячные данные с 1994:01 по 2000:04;
Объем валового внутреннего продукта (GDP), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - квартальные данные с 1994:1 по 2000:2;
Доходы федерального бюджета (Dokhfedbud), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с1992:01 по 2000:05;
Налоговые доходы федерального бюджета (Dokhnalog), млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1992:01 по 2000:05;
Индекс интенсивности промышленного производства (Intprom) - сезонно скорректированные месячные данные с 1990:12 по 2000:07;
Фондовый индекс РТС-1 (RTS1) - дневные данные (значение закрытия) с 01/09/95 по 31/10/00;
Номинальный обменный курс руб./доллар (Rubkurs) - дневные данные с 01/07/92 по 01/11/00.
Общая численность безработных (на конец года), млн. человек (UNJOB) - месячные данные с 01/1994 по 08/2000.
Все исходные данные для эконометрического анализа приведены в приложениях П3.2-П3.9.
Общее представление о характере поведения перечисленных макроэкономических показателей дают графики изменения этих показателей (см. рис. 2-1 - 2-9).
РИСУНОК 2-1. ИНФЛЯЦИЯ

РИСУНОК 2-2. ДЕНЕЖНЫЕ АГРЕГАТЫ

РИСУНОК 2-3. ЭКСПОРТ И ИМПОРТ

РИСУНОК 2-4. ОБЪЕМ ВАЛОВОГО ВНУТРЕННЕГО ПРОДУКТА
РИСУНОК 2-5. ДОХОДЫ

РИСУНОК 2-6. ИНДЕКС ИНТЕНСИВНОСТИ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА

РИСУНОК 2-7. ИНДЕКС РТС1

РИСУНОК 2-8. ОБМЕННЫЙ КУРС РУБ./ДОЛЛ.
РИСУНОК 2-9. БЕЗРАБОТИЦА.
Как видно из приведенных выше графиков, большинство рядов развивается во времени неоднородным образом с выраженными сменами режимов. Вместе с тем, обнаруживается некоторая схожесть поведения денежных рядов, а также схожесть поведения налоговых рядов
Наличие у рядов выраженных трендов требует решения вопроса о том, являются ли эти тренды детерминированными или стохастическими, и изучение этого вопроса является исходным этапом анализа каждого ряда. Разумеется, было бы желательным построение модели, описывающей поведение ряда на всем периоде его наблюдения. Однако наличие смен режима эволюции рядов затрудняет построение такой единой модели, вследствие чего для некоторых рядов приходится строить различные модели эволюции ряда на различных интервалах (например, до и после августовского кризиса 1998 г.).
Как правило, при подборе моделей экономических временных рядов по годовым, квартальным, месячным и недельным данным можно ограничиться классом линейных моделей (случайное блуждание и модели ARIMA), тогда как использование дневных данных требует привлечения более сложных нелинейных моделей (ARCH, GARCH и их модификации, см., например, [Bollerslev (1986)], [Engle (1983)], [Engle, Granger (1991))]. Поэтому мы начнем анализ с исследования рядов с квартальными и месячными данными и только после этого перейдем к рядам с дневными данными.
2.2. Анализ временных рядов для денежных агрегатов
Мы уже обращали внимание на схожесть в общих чертах эволюции различных номинальных денежных агрегатов, порожденную инфляционным эффектом масштаба цен. Сходное поведение имеют следующие пары рядов:
* Наличные деньги (M0) и узкая денежная база (Denbaza);
* M2 и резервные деньги (Shirdengi);
* М1 и широкие деньги (Shirdenmas).
Поэтому ниже мы будем анализировать результаты только для одного из представителей каждой группы, а именно, ряды М0, М1 и М2.
Анализ временных рядов для денежных агрегатов мы начнем с денежного агрегата M1, поведение которого позволяет произвести анализ ряда на всем периоде его наблюдения, в отличие от денежных агрегатов M0 и M2.
2.2.1. Денежный агрегат М1
Денежный агрегат M1 - сумма денег вне банков и депозитов до востребования в банковской системе (без депозитов органов государственного управления), т.е. представляет собой все денежные средства в экономике страны, которые могут быть использованы как средство платежа.
В качестве исходной информации используются данные: денежный агрегат M1, млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1995:06 по 2000:07; источник - ЦБ РФ.
График ряда Xt = M1 имеет следующий вид3:

График показывает выраженный излом тренда ряда в конце 1998 - начале 1999 г., связанный с финансово-экономическим кризисом 1998 года, и сезонный характер изменений темпов увеличения денежного предложения, резкое увеличение денежной массы М1 в декабре, сменяющееся затем значительным изъятием денег из экономики в январе.
Проверку ряда М1 на принадлежность его классу DS процессов (остационариваемых путем дифференцирования) начнем с использования критерия Дики-Фуллера (его расширенного варианта). Хотя по графику видно, что ряд М1 имеет выраженный тренд, применим здесь для полноты процедуру Доладо и др.([Dolado, Jenkinson, Sosvilla-Rivero (1990)]), последовательно перебирающую различные комбинации оцениваемой статистической модели (SM) и процесса порождения данных (DGP).
На шаге 1 процедуры Доладо оценивается статистическая модель, допускающая наличие тренда, содержащая в правой части уравнения константу и трендовую составляющую:
SM:
и при использовании таблицы критических значений предполагается, что данные порождаются моделью
DGP:
Критерий принадлежности ряда классу DS формулируется как критерий единичного корня (UR - Unit Root) в авторегрессионном представлении ряда. Проверяемой в рамках данной статистической модели является гипотеза H0 : ? = 0; альтернативная гипотеза HA : ? < 0.
Ввиду наличия на коррелограмме ряда разностей пика на лаге 12, включим в правую часть оцениваемой статистической модели (помимо константы и тренда) 12 запаздывающих разностей. Получаемое в результате оценивания такой расширенной модели значение t-статистики критерия Дики-Фуллера 1.495 положительно и не позволяет отвергнуть гипотезу единичного корня (UR-гипотезу) в пользу гипотезы стационарного относительно линейного тренда ряда (5% и 10% критические значения указанной t-статистики в предположении, что данные порождаются моделью случайного блуждания со сносом, во всяком случае, отрицательны).
Попробуем повысить мощность критерия Дики-Фуллера путем исключения из правой части оцениваемого уравнения запаздывающих разностей со статистически незначимыми коэффициентами. Результаты последовательного исключения таких разностей приведены в следующей таблице.
Порядок запаздывания
исключаемой разности SC P-val
LM-автокорр. P-val
White P-val
J-B t-статистика
критерия - (полная модель с 12
запаздывающими разностями) 22.492 1 - 0.208
2 - 0.316 0.341 0.964 1.495 5 22.413 7 22.333 2 22.255 3 22.281 4 22.105 6 22.050 8* 22.030 1 - 0.595
2 - 0.851 0.116 0.699 2.085 11 22.037 1 22.007 10** 21.976 1 - 0.689
2 - 0.410 0.119 0.484 0.850 В первом столбце таблицы указаны запаздывания разностей, последовательно исключаемых из правой части оцениваемой статистической модели. Запаздывающая разность исключается из уравнения, если коэффициент при этой разности признается статистически незначимым на 10% уровне значимости.
Во втором столбце приведены значения информационного критерия Шварца (SC), соответствующие соответствующим редуцированным моделям.
В третьем столбце приведены P-значения (P-values) LM-критерия автокоррелированности ошибок Бройша-Годфри. Цифры, предваряющие эти P-значения, указывают на возможный порядок авторегрессионной модели для ошибок в редуцированном уравнении.
В четвертом столбце приведены P-значения критерия Уайта (White) гетероскедастичности ошибок.
В пятом столбце приведены P-значения критерия Жарка-Бера (Jarque-Bera) нормальности распределения ошибок.
В последнем столбце таблицы приведены значения t-статистики (расширенного) критерия Дики-Фуллера, получаемой при оценивании соответствующей редуцированной (или полной) модели.
При редукции модели методом "от общего к частному" (с 10% уровнем значимости) из расширенной модели с 12 запаздывающими разностями последовательно удаляются разности, запаздывающие на 5, 7, 2, 3, 4, 6, 8 единиц времени (месяцев). Это приводит модели, содержащей в правой части только разности, запаздывающие на 1, 9, 10, 11 и 12 месяцев; результаты оценивания этой модели приведены в строке таблицы, отмеченной звездочкой. Если продолжать редукцию, отбрасывая запаздывающие разности с коэффициентами, статистически незначимыми на 5% уровне, то остановка происходит на модели, результаты для которой находятся в строке, отмеченной двумя звездочками. Эта же модель выбирается и критерием Шварца (при отбрасывании еще и разности, запаздывающей на 9 месяцев, значение SC возрастает до 21.976).
Значения статистики критерия в редуцированных моделях остается положительным, что не дает возможности отвергнуть гипотезу единичного корня для ряда М1.
Следуя схеме Доладо, проверим, не является ли неотвержение гипотезы UR единичного корня следствием невключения в модель порождения данных тренда (что могло привести к использованию неправильных критических значений). Для этого (шаг 2 процедуры) проверим гипотезу H0 : ? = 0 в рамках той же статистической модели
SM:
и в предположении, что данные порождаются моделью
DGP: .
При оценивании модели, выбранной методом GS, получаем значение t-статистики для параметра ?, равное 0.480. При оценивании модели, выбранной критерием Шварца, значение этой t-статистики равно 0.760. В то же время 5% критическое значение для проверки гипотезы H0 : ? = 0 против двусторонней альтернативы равно 3.17. Если же брать одностороннюю альтернативу HA: ? > 0, то 5% критическое значение равно 2.80. В обоих случаях для обеих моделей гипотеза H0 : ? = 0 не отвергается, и мы должны перейти к шагу 3 используемой процедуры.
На шаге 3 мы проверяем, не является ли неотвержение гипотезы единичного корня на шаге 1 следствием неоправданного включения в статистическую (оцениваемую) модель (излишней) трендовой составляющей. В связи с этим мы переходим теперь к статистической модели
SM:
без трендовой составляющей и проверяем гипотезу H0 : ? = 0 против альтернативной гипотезы HA : ? < 0 в рамках этой модели, используя критические значения, полученные при DGP
DGP:
При оценивании SM с добавлением в ее правую часть разностей, запаздывающих на 9 и на 12 единиц времени, значение t-статистики критерия равно 3.674. При оценивании SM с добавлением в правую часть только разности, запаздывающей на 12 единиц времени, значение статистики критерия равно 3.101. Критическое (5%) значение статистики критерия равно -3.503, так что не включая в статистическую модель трендовую составляющую, мы опять не отвергаем гипотезу H0.
Перейдем теперь к шагу 4 и проверим, не вызвано ли неотвержение UR-гипотезы следствием неоправданного включения в статистическую модель константы. С этой целью в рамках той же статистической модели проверяем при том же DGP гипотезу H0 : ? = 0 против альтернативы HA : ? ? 0. При оценивании SM с добавлением в ее правую часть разностей, запаздывающих на 9 и на 12 единиц времени, значение t-статистики критерия равно ?1.966. В SM добавлением в правую часть только разности, запаздывающей на 12 единиц времени, значение статистики критерия равно -1.802. Критическое (5%) значение статистики (двухстороннего) критерия равно 2.89, так что гипотеза H0 : ? = 0 не отвергается.
На следующем шаге 5 проверяем гипотезу H0 : ? = 0 против альтернативной гипотезы HA: ? < 0 в рамках статистической модели
SM:
при
DGP:
В SM с добавлением в правую часть разностей, запаздывающих на 9 и на 12 единиц времени, значение t-статистики критерия равно 4.057. В SM добавлением в правую часть только разности, запаздывающей на 12 единиц времени, значение статистики критерия равно 3.444. Поскольку критическое (5%) значение статистики (двухстороннего) критерия равно -1.95, гипотеза H0 : ? = 0 не отвергается и здесь.
Итак, в рамках процедуры Доладо мы не отвергаем гипотезу о принадлежности ряда M1 классу DS процессов.
Если применить для проверки DS-гипотезы (в качестве нулевой) критерий DF-GLS [Elliott , Rothenberg, Stock (1996)] с включением в модель константы, линейного тренда и 13 запаздывающих разностей, то получим следующие результаты (в последних 4 столбцах приведены асимптотические критические значения):
Test Statistic 1% 2.5% 5% 10% DFGLS -1.274 3.48 -3.15 -2.89 -2.57 Наблюдаемое значение статистики критерия -1.274 выше 5% критического уровня; DS-гипотеза не отвергается. То же решение принимается, если, следуя работе [Cheung, Lay (1995)], использовать для вычисления критических значений приближенную формулу, учитывающую как количество имеющихся наблюдений, так и наибольшее запаздывание включаемых в модель разностей (получаемое при использовании этой формулы 5% критическое значение равно -2.62).
В расширенном критерии Дики-Фуллера учет автокоррелированности остатков производится путем дополнения правой части оцениваемой модели достаточным количеством запаздывающих разностей; значение t-статистики критерия вычисляется в рамках расширенной (пополненной) таким образом модели. В критерии Филлипса-Перрона учет автокоррелированности осуществляется путем коррекции значения t-статистики, полученного при оценивании нерасширенной модели. При этом существенное влияние на статистические выводы оказывает выбор количества l выборочных автоковариаций, участвующих в построении оценки [Newey-West (1987)] для "долговременной" ("long-run") дисперсии ряда ошибок (выбор "ширины окна" оценки долговременной дисперсии).
Однозначного рецепта выбора этого параметра не имеется; существуют только некоторые рекомендации. Ориентируясь на выводы, содержащиеся в статье [Schwert (1989)], часто выбирают значение, вычисляемое по формуле
l = [k (T/100)1/4] ,
где T - длина ряда, [a] - целая часть числа a , а значение k равно 4 для квартальных данных и равно 12 для месячных данных. В нашем случае T = 62, данные месячные, и это дает значение l = 10. В то же время, если следовать работе [Newey, West (1994)], то тогда ширину окна следует вычислять по формуле
l = [k (T / 100)2/9];
в таком случае ширина окна должна быть равной l = 12.
Вместе с тем, как мы уже упоминали, ряд разностей имеет пик автокорреляционной функции на лаге 12, и в этой связи, возможно, стоило бы даже (следуя рекомендациям работ [White, Domovitz (1984)] и [Perron (1988)]) несколько расширить окно, увеличив значение l до 13. Именно значение 13 мы и возьмем в качестве максимального в процедуре пакета RATS, реализующей критерий Филлипса-Перрона (процедура UNITROOT).
При таком выборе реализация процедуры UNITROOT дает следующие результаты.
Для статистической модели, имеющей в правой части константу и тренд:
Ширина окна в оценке Newey-West Скорректированная t-статистика 3 2.13839 10 2.64709 11 2.99993 12 2.99009 13 3.12147 Для статистической модели, включающей в правую часть только константу (но не тренд):
Ширина окна в оценке Newey-West Скорректированная t-статистика 3 4.31038 10 4.69271 11 5.03247 12 5.00240 13 5.11224 Для статистической модели, не содержащей в правой части ни константы, ни тренда:
Ширина окна в оценке Newey-West Скорректированная t-статистика 3 6.87791 10 6.79343 11 7.04600 12 6.94513 13 6.96506 Во всех трех моделях при всех использованных значениях ширины окна значения скорректированных t-статистик существенно положительны, тогда как критические значения этих статистик (против гипотезы стационарности или стационарности относительно тренда) отрицательны. Поэтому гипотеза принадлежности ряда М1 классу DS рядов не отвергается и при использовании критерия Филлипса-Перрона.
Применим теперь критерий KPSS, в котором в качестве нулевой берется TS-гипотеза. Для модели с включением линейного тренда мы ориентируемся на значения статистики ETA(tau). Гипотеза стационарности относительно линейного тренда отвергается в пользу DS-гипотезы, если наблюдаемое значение этой статистики превышает критическое. Применение критерия KPSS приводит к следующим результатам:
ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) = 3 0.33186 10 0.16585 11 0.15930 12 0.15406 13 0.14997 Гипотеза TS отвергается на 5% уровне значимости для всех рассмотренных вариантов выбора параметра l (ширины окна).
Таким образом, результаты применения критериев, в которых в качестве нулевой берутся разные гипотезы (DS или TS), согласуются между собой. В пользу DS-гипотезы говорит и поведение статистики отношения дисперсий Кохрейна:

Тем не менее, если опять обратиться к графику ряда М1, то можно высказать предположение, что неотвержение гипотезы единичного корня критериями Дики-Фуллера и Филлипса-Перрона связано с неудачным выбором альтернативных гипотез. График ряда позволяет предположить, что более подходящей может оказаться модель с изломом тренда в конце 1998 - начале 1999 г., связанного с финансово-экономическим кризисом 1998 года. Представление динамики ряда в виде

дает некоторые основания предполагать, что излом тренда выражается в изменении его наклона после августа 1998 г. Имея такое предположение, мы можем обратиться к статистической процедуре проверки гипотезы единичного корня, предложенной в работе Перрона ([Perron (1989a)]) и соответствующей одномоментному (внезапному) изменению наклона тренда (AO модель - модель с аддитивным выбросом).
Согласно этой процедуре, если TB - момент скачка, то сначала следует оценить статистическую модель
xt =? +? t+?DTSt+ ut ,
в которой переменная DTSt равна t - TB для t > TB и равна 0 для всех других значений t .
В результате оценивания этой модели получаем ряд остатков et. Затем оценивается модель регресии на et-1 и запаздывающие разности ?et-1,?, ?et-p:
et = ? et-1 + ?pj=1 cj ? et-j + ? t ;
полученное при этом значение t-статистики для проверки гипотезы H0: ? = 1 сравнивается с критическим значением из таблицы, приведенной в статье [Perron, Vogelsgang (1993), стр. 249]). В правую часть оцениваемой статистической модели следует включать достаточное количество запаздывающих разностей, чтобы исключить автокоррелированность ошибок в расширенной модели.
В нашем случае TB = 42, что соответствует 1998:08. В правую часть уравнения для остатков приходится дополнительно включать 12 запаздывающих разностей, т.к. иначе (при 11 разностях) получаем P-значение критерия Бройша-Годфри (с AR(1) ошибками), равное 0.0002 и указывающее на автокоррелированность остатков. Для повышения мощности критерия, используя стратегию GS и критерий Шварца SC, осуществим редукцию модели, последовательно исключая из нее запаздывающие разности со статистически незначимыми (на 10% уровне значимости) коэффициентами. Результаты такой последовательной редукции сведены в следующую таблицу, аналогичную построенным ранее при реализации критерия Дики-Фуллера.
Порядок запаздывания
исключаемой разности SC P-val
LM-автокорр. P-val
White P-val
J-B t-статистика
критерия - (полная модель с 12
запаздывающими разностями) 22.236 1 - 0.983
2 - 0.967 0.701 0.281 -1.92 8 22.157 -2.27 11 22.089 -2.60 10 22.018 -2.90 9* 21.986 1 - 0.590
2 - 0.844
3 - 0.954 0.372 0.223 -3.27 4 21.974 0.040 -2.78 5 21.935 0.035 -2.59 3 21.898 0.016 -2.22 1 (выбор по GS) 21.837 0.006 0.518 -2.04 7 21.834 0.002 0.184 -1.37 6 21.793 0.008 -1.31 2 (выбор по SC) 21.782 0.006 -0.92 Поскольку отклонения от нормальности, некоррелированности и гомоскедастичности могут отражаться на критических значениях статистики критерия, то в этом отношении предпочтительнее модель, результаты для которой приведены в строке, помеченной звездочкой.
Асимптотические критические значения статистики критерия Перрона зависят от положения момента излома на интервале наблюдений через параметр ? = TB/T, где TB - момент, непосредственно после которого происходит излом тренда, а T - количество наблюдений. В нашем случае ? = 42/62 = 0.667. Соответствующее 5% критическое значение заключено между значениями -3.94 (для ? = 0.6) и -3.89 (для ?=0.7). Гипотеза единичного корня (при сделанном предположении об изменении наклона тренда с одновременным сдвигом траектории) не отвергается ни в полной модели и ни в одной из редуцированных моделей.
Заметим, что выбранные GS-стратегией и критерием Шварца модели недооценивают количество запаздываний, которое следовало бы включить в правую часть оцениваемого уравнения. На это обстоятельство указывает и [Taylor (2000)], не соглашаясь с оптимистическими выводами [Ng, Perron (1995)]. .
Обратим теперь внимание на то, что момент излома тренда 1998:08 был выбран нами на основании уже имеющейся информации об августовском кризисе 1998 г. и визуального обращения к графику ряда М1. Между тем, выбор даты излома тренда на основе анализа графика ряда влияет на критические значения t-статистики критерия единичного корня.
Для учета этого влияния воспользуемся процедурой PERRON97 из пакета статистического анализа RATS, реализующую методику, приведенную в статье [Perron (1997)]. Имея в виду предыдущие результаты, ограничим максимальное запаздывание разностей, включаемых в правую часть оцениваемых уравнений, тринадцатью.
Сначала рассмотрим модель, допускающую сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса (IO). Результаты применения процедуры PERRON97 для этой модели таковы:
break date TB = 1999:07; statistic t(alpha=1) = -3.34124 critical values at 1% 5% 10% for 70 obs. -6.32 -5.59 -5.29 number of lag retained : 12 explained variable : M1 coefficient student CONSTANT 124786.79561 3.33345 DU -2506239.31872 -3.77751 D(Tb) 40455.79442 2.72347 TIME 9769.03708 3.44839 DT 23866.02686 3.78217 M1{1} -0.91050 -1.59235 Здесь
DUt =1 для t>TB и DUt = 0 для всех других значений t;
D(Tb)t =1 для t=TB+1 и D(Tb)t = 0 для всех других значений t;
DT= t для t>TB и DUt=0 для всех других значений t;
(M1{1})t =M1t-1.
(Заметим, что при постулировании инновационного выброса оценивание регрессионной модели при каждой испытываемой дате производится в один этап - в правую часть регрессионной модели в качестве объясняющих включаются сразу все 6 переменных: CONST, DU, D(Tb), TIME, DT и запаздывающая на один шаг переменная M1{1}.)
Процедура PERRON97 определяет в этом случае дату излома как 1999:07, если выбор даты излома осуществляется по минимуму t-статистики критерия единичного корня t?=1, взятому по всем возможным моментам излома. При этом t?=1 = -3.341, что выше 5% критического уровня -5.59, и гипотеза единичного корня не отвергается. Наибольшее запаздывание разностей, включаемых в правую часть уравнений, выбирается равным 12 в рамках применения процедуры GS для редукции модели с 10% уровнем значимости.
Если выбор даты излома осуществляется по максимуму абсолютной величины t-статистики для коэффициента d при переменной DTt, отвечающей за изменение наклона тренда, то выбирается 1998:04. При этом t?=1 = -0.547, что выше 5% критического значения -5.33; гипотеза единичного корня не отвергается. (Наибольшее запаздывание разностей здесь уменьшается до 11).
Наконец, если выбор даты излома тренда осуществляется по минимуму коэффициента при переменной DT, отвечающей за изменение наклона тренда, то выбирается опять 1998:04 с тем же выводом о неотвержении UR-гипотезы.
Рассмотрим теперь модель, допускающую только изменение наклона тренда без сдвига траектории в форме аддитивного выброса (AO). Результаты применения процедуры PERRON97 для этой модели таковы:
break date TB = 1999:02; statistic t(alpha=1) = -3.59417 critical values at 1% 5% 10% for 100 obs. -5.45 -4.83 -4.48 number of lag retained : 12 explained variable : M1 coefficient student CONSTANT 104939.65455 20.48279 TIME 4832.56930 26.73200 DT 14335.07564 21.11189 M1 {1} -0.75752 -1.54915 (Заметим, что при постулировании аддитивного выброса оценивание регрессионной модели при каждой испытываемой дате производится в два этапа. На первом шаге в правую часть регрессионной модели в качестве объясняющих включаются только переменные CONST, TIME, DT; в результате оценивания этой модели получаем ряд остатков et .. На втором шаге оценивается модель регресии et на et-1 и запаздывающие разности ? et-1,?, ? et-p ).
Выбор осуществляется по минимуму статистики t?=1 для проверки гипотезы о равенстве 1 коэффициента при et-1 в последней модели. При этом дата излома определяется как 1999:02, t?=1= ?3.594 (используются 12 запаздывающих разностей), 5% критическое значение равно -4.83, так что UR-гипотеза не отвергается и в этом случае.
Заметим, что распределение ошибок имеет в последней ситуации распределение, отличающееся от нормального (коэффициент эксцесса - "kurtosis" - превышает на 1.626 значение коэффициента эксцесса нормального распределения4, равного 3). Как следует из работы [Zivot, Andrews (1992)], в таких ситуациях критические уровни уменьшаются, так что если использовать скорректированные на ненормальность критические уровни, то UR-гипотеза не будет отвергнута тем более.
Подведем итоги анализа ряда М1 на интервале 1995:06 по 2000:07, для наглядности поместив результаты применения различных процедур в одну таблицу.
Используемая процедура (критерий) Исходная (нулевая) гипотеза DS TS Критерий Дики-Фуллера (расширенный) Не отвергается Критерий Филлипса-Перрона Не отвергается Критерий DF-GLS Не отвергается Критерий KPSS Отвергается Отношение дисперсий Кохрейна В пользу DS Критерий Перрона
(экзогенный выбор даты излома тренда) Не отвергается Обобщенный критерий Перрона
(эндогенный выбор даты излома тренда) Не отвергается Статистические выводы, полученные при применении всех перечисленных в таблице процедур, согласуются между собой: нулевая DS-гипотеза не отвергается, тогда как нулевая TS-гипотеза отвергается; поведение отношений дисперсий Кохрейна также говорит в пользу DS-гипотезы.
2.2.2. Денежный агрегат M0
Денежный агрегат M0 - Наличные деньги в обращении.
В качестве исходной информации используются данные: денежный агрегат M0, млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1990:12 по 2000:07; источник - ЦБ РФ.
В отличие от ряда М1, построение единой модели, описывающей поведение ряда M0, затруднительно из-за существенно различного характера поведения этого ряда на периодах до и после 1995 г. По этой причине, а также для возможности сравнения результатов, мы будем проводить эконометрический анализ ряда M0 (а затем и ряда M2) на том же периоде с 1995:06 по 2000:07, на котором исследовался ряд М1.
На этом периоде график ряда имеет вид

Напомним график ряда М1:

Как видно из сравнения графиков, выраженность возможного излома тренда у ряда М0 не столь велика, как у ряда М1, что может объясняться различием в скорости реструктуризации портфелей населения и предприятий. Посмотрим, как это отразится на статистических выводах при анализе ряда М0.
Как и в случае ряда М1, коррелограмма ряда разностей у ряда М0 имеет значимый пик на лаге 12; для учета автокоррелированности ошибок в оцениваемые уравнения будем включать первоначально 13 запаздывающих разностей.
Оценивание начнем с расширенной модели Дики-Фуллера с включением в правую часть оцениваемой статистической модели константы и тренда:
ADF Test Statistic 1.368149 1% Critical Value* -4.1584 5% Critical Value -3.5045 10% Critical Value -3.1816 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(Z) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1996:08 2000:07 Included observations: 48 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. Z(-1) 0.204696 0.149616 1.368149 0.1808 D(Z(-1)) -0.194405 0.228411 -0.851122 0.4010 D(Z(-2)) -0.316411 0.228968 -1.381904 0.1766 D(Z(-3)) -0.201863 0.216740 -0.931362 0.3586 D(Z(-4)) -0.365408 0.205424 -1.778799 0.0848 D(Z(-5)) -0.336200 0.174358 -1.928221 0.0627 D(Z(-6)) -0.102447 0.181976 -0.562972 0.5774 D(Z(-7)) -0.054527 0.214887 -0.253748 0.8013 D(Z(-8)) -0.205422 0.221867 -0.925878 0.3614 D(Z(-9)) -0.630249 0.212157 -2.970678 0.0056 D(Z(-10)) -0.195244 0.234221 -0.833589 0.4107 D(Z(-11)) -0.451913 0.232739 -1.941718 0.0610 D(Z(-12)) 0.632189 0.249860 2.530179 0.0165 D(Z(-13)) -0.651846 0.266730 -2.443841 0.0202 C -9353.863 5632.908 -1.660575 0.1066 @TREND(1995:06) -232.7007 423.7413 -0.549158 0.5867 R-squared 0.636001 Mean dependent var 4816.396 Adjusted R-squared 0.465377 S.D. dependent var 12589.30 S.E. of regression 9205.038 Akaike info criterion 21.35409 Sum squared resid 2.71E+09 Schwarz criterion 21.97782 Log likelihood -496.4982 F-statistic 3.727491 Durbin-Watson stat 1.979912 Prob(F-statistic) 0.000867 Полученное значение t-статистики положительно, так что гипотеза единичного корня не отвергается.
Попробуем повысить мощность критерия Дики-Фуллера путем исключения из правой части оцениваемого уравнения запаздывающих разностей со статистически незначимыми коэффициентами. Результаты последовательного исключения таких разностей приведены в следующей таблице.
Порядок запаздывания
исключаемой разности SC P-val
LM-автокорр. P-val
White P-val
J-B t-статистика
критерия - (полная модель с 13
запаздывающими разностями) 21.978 1 - 0.746
2 - 0.781 0.249 0.227 1.368 7 21.899 6 21.826 10 21.761 3 21.699 1 21.619 8 21.557 2 21.502 4 21.471 5 (выбор и по GS
и по SC) 21.411 1 - 0.717
2 - 0.778 0.162 0.775 0.416 11 21.415 Обе процедуры редукции модели - "от общего к частному" и SC - приводят к одной и той же модели, результаты проверки которой приведены в предпоследней строке таблицы.
В результате редукции оцениваемой модели значение статистики критерия уменьшилось с 1.368 до 0.416. Однако оно все же осталось положительным, что не дает возможности отвергнуть гипотезу единичного корня для ряда М0.
Следуя схеме Доладо, проверим, не является ли неотвержение DS-гипотезы (гипотезы единичного корня) следствием невключения в модель порождения данных тренда (что могло привести к использованию неправильных критических значений). Для этого (шаг 2 процедуры) проверим гипотезу H0 : ? = 0 в рамках статистической модели
SM:
и в предположении, что данные порождаются моделью
DGP: .
При оценивании модели, выбранной методом GS и критерием Шварца, получаем значение t-статистики для параметра ?, равное 0.700. В то же время 5% критическое значение для проверки гипотезы H0 : ? = 0 против двусторонней альтернативы равно 3.17. Если же брать одностороннюю альтернативу H0 : ? > 0, то 5% критическое значение равно 2.80. В обоих случаях для обеих моделей гипотеза ? = 0 не отвергается, и мы должны перейти к шагу 3 используемой процедуры.
Мы не будем приводить результаты, получаемые при дальнейшем применении процедуры Доладо, а только заметим, что, как и в случае ряда М1, последующие шаги и здесь не приводят к отвержению DS-гипотезы.
Использование в тех же моделях коррекции автокоррелированности по методу Филлипса-Перрона приводит к следующим результатам.
Модель с включением в правую часть оцениваемого уравнения константы и тренда:
Ширина окна Статистика критерия 3 0.18896 4 0.14980 5 0.28467 6 0.21953 7 0.21763 8 0.17085 9 0.28009 10 0.34388 11 0.49913 12 0.49863 13 0.57393 Модель с включением в правую часть только константы:
Ширина окна Статистика критерия 3 2.11867 4 2.24850 5 2.45154 6 2.41942 7 2.47094 8 2.45836 9 2.64371 10 2.77427 11 3.05619 12 3.10151 13 3.10151 Модель без включения детерминированных составляющих в оцениваемое уравнение:
Ширина окна Статистика критерия 3 4.51174 4 4.48610 5 4.76835 6 4.71538 7 4.77881 8 4.75252 9 5.00488 10 5.17870 11 5.56153 12 5.61023 13 5.84205 Во всем диапазоне использованных значений ширины окна (от 4 до 13) значения статистик критерия положительны, и гипотеза единичного корня поэтому не отвергается.
Если применить для проверки DS-гипотезы (в качестве нулевой) критерий DF-GLS с включением в модель константы, линейного тренда и 13 запаздывающих разностей, то получим следующие результаты:
Critical values (asymptotic) Test Statistic 1% 2.5% 5% 10% DFGLS -0.985 -3.48 -3.15 -2.89 -2.57 Наблюдаемое значение статистики критерия -0.985 выше 5% критического уровня; DS-гипотеза не отвергается. То же решение принимается, если использовать для вычисления критических значений приближенную формулу, учитывающую как количество имеющихся наблюдений, так и наибольшее запаздывание включаемых в модель разностей (получаемое при этом 5% критическое значение равно -2.62).
Возьмем теперь в качестве исходной (нулевой) гипотезу стационарности ряда М0 и применим критерий KPSS:
Гипотеза стационарности отвергается в пользу DS-гипотезы, если наблюдаемое значение статистики ETA(mu) превышает критическое.
Для ряда М0, рассматриваемого на периоде 1995:06?2000:07, в зависимости от выбранной ширины окна получаем следующие результаты.
For lag parameter l = ETA(mu) = 3 1.51504 4 1.24933 12 0.59065 13 0.56191 При всех использованных значениях ширины окна гипотеза стационарности отвергается в пользу DS-гипотезы.
Если нулевой является гипотеза стационарности относительно линейного тренда, то критерий основывается на статистике ETA(tau), критические значения которой равны
Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 Гипотеза стационарности относительно линейного тренда отвергается в пользу DS-гипотезы, если наблюдаемое значение этой статистики превышает критическое.
Для ряда М0, рассматриваемого на периоде 1995:06?2000:07, в зависимости от выбранной ширины окна получаем следующие результаты.
For lag parameter l = ETA(tau) = 3 0.31134 4 0.26651 12 0.15545 13 0.15098 Гипотеза стационарности ряда М0 относительно линейного тренда на периоде 1995:06?2000:07 отвергается в пользу гипотезы наличия у этого ряда единичного корня.
Таким образом, использованные критерии, в которых за нулевую берется или DS или TS гипотеза, дают согласованные результаты.
В пользу DS-гипотезы говорит и поведение отношения дисперсий Кохрейна:

Имея в виду возможность изменения наклона тренда и сдвига уровня ряда, применим теперь обобщение критерия Перрона с эндогенным выбором момента излома тренда по минимуму статистики критерия единичного корня.
Сначала допустим только изменение наклона тренда в рамках модели аддитивного выброса (AO), положив при этом максимальное число запаздываний равным 14 и производя понижение порядка модели методом GS с уровнем значимости 10%. При этом получаем следующие результаты:
break date TB = 1999:01 ; statistic t(alpha=1) = -3.69570 Critical values at 1% 5% 10% for 100 obs. -5.45 -4.83 -4.48 Number of lag retained : 12 Explained variable : M0 Переменная Коэффициент t-статистика CONSTANT 59106.87212 14.93557 TIME 2357.19676 16.59750 DT 5505.22025 11.13153 M0 {1} -0.36991 -0.99792 (Напомним, что при постулировании аддитивного выброса оценивание регрессионной модели при каждой испытываемой дате производится в два этапа. На первом шаге в правую часть регрессионной модели в качестве объясняющих включаются только переменные CONST, TIME, DT; в результате оценивания этой модели получаем ряд остатков et .. На втором шаге оценивается модель регресии et на et-1 и запаздывающие разности ? et-1,?, ? et-p .)
Поскольку пренебрежение возможным сдвигом уровня (так же как и пренебрежение возможным изменением наклона тренда) может приводить к ложным единичным корням (см., например, [Leybourne, Mills, Newbold (1998)]), рассмотрим теперь модель со сдвигом траектории и изменением наклона тренда в форме инновационного выброса (IO), опять осуществляя эндогенный выбор точки излома по минимуму статистики критерия единичного корня, положив максимальное число запаздываний равным 14 и понижая порядок модели методом GS с уровнем значимости 10%. В этой ситуации получаем:
break date TB = 1999:01 ; statistic t(alpha=1) = -3.24111 Critical values at 1% 5% 10% for 70 obs. -6.32 -5.59 -5.29 Number of lag retained : 12 Explained variable : M0 coefficient student CONSTANT 93203.60949 3.16641 DU -802428.37416 -3.41458 D(Tb) 8419.59298 0.75410 TIME 4236.75927 3.31729 DT 7988.20640 3.43175 M0{1} -0.91391 -1.54766 (Напомним, что при постулировании инновационного выброса оценивание регрессионной модели при каждой испытываемой дате производится в один этап - в правую часть регрессионной модели в качестве объясняющих включаются сразу все 6 переменных: CONST, DU, D(Tb), TIME, DT и запаздывающая на один шаг переменная M0{1}.)
Учет возможности излома тренда в обоих ситуациях не приводит к отвержению DS-гипотезы.
Подведем итоги анализа ряда М0 на интервале 1995:06 по 2000:07:
Используемая процедура (критерий) Исходная (нулевая) гипотеза DS TS Критерий Дики-Фуллера (расширенный) Не отвергается Критерий Филлипса-Перрона Не отвергается Критерий DF-GLS Не отвергается Критерий KPSS Отвергается Отношение дисперсий Кохрейна В пользу DS Критерий Перрона
(экзогенный выбор даты излома тренда) Не отвергается Обобщенный критерий Перрона
(эндогенный выбор даты излома тренда) Не отвергается Статистические выводы, полученные при применении всех перечисленных в таблице процедур, согласуются между собой: нулевая DS-гипотеза не отвергается, тогда как нулевая TS-гипотеза отвергается; поведение отношений дисперсий Кохрейна также говорит в пользу DS-гипотезы.
2.2.3. Денежный агрегат М2
Денежный агрегат M2 - объем наличных денег в обращении (вне банков) и остатков средств в национальной валюте на расчетных, текущих счетах и депозитах нефинансовых предприятий, организаций и физических лиц, являющихся резидентами Российской Федерации. В этот агрегат не включаются депозиты в иностранной валюте. Начиная с 1 января 1998 г. в состав денежной массы не включаются данные по кредитным организациям с отозванной лицензией.
В качестве исходной информации используются данные: денежный агрегат M2, млрд. руб. (с 1998 г. млн. руб.) - месячные данные с 1990:12 по 2000:07; источник - ЦБ РФ.
Ограничимся опять рассмотрением общего для всех денежных показателей периода с 1995:06 по 2000:07. График ряда Xt=M2 на этом периоде имеет вид

И в этом случае наблюдается излом тренда. Кроме того, обращает на себя внимание поведение ряда М2 в предкризисный период: на интервале 1997:08-1998:07 ряд М2 "топчется на месте".
В правую часть расширенной статистической модели критерия Дики-Фуллера (с константой и трендом) опять приходится включать разность с запаздыванием на 13 месяцев. Получаемое при этом значение t-статистики критерия равно 0.751 при 5% критическом уровне -3.482, так что гипотеза единичного корня не отвергается. Однако коэффициенты при многих запаздывающих разностях оказываются статистически незначимыми:
ADF Test Statistic 0.751177 1% Critical Value* -4.1109 5% Critical Value -3.4824 10% Critical Value -3.1689 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(M2) Method: Least Squares Date: 02/21/01 Time: 12:22 Sample: 1995:06 2000:07 Included observations: 62 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. M2(-1) 0.051437 0.068475 0.751177 0.4564 D(M2(-1)) 0.153723 0.145734 1.054815 0.2970 D(M2(-2)) 0.282703 0.141848 1.993001 0.0522 D(M2(-3)) 0.152426 0.150454 1.013107 0.3163 D(M2(-4)) -0.171566 0.151069 -1.135680 0.2620 D(M2(-5)) -0.092493 0.132650 -0.697270 0.4891 D(M2(-6)) 0.266310 0.127068 2.095801 0.0416 D(M2(-7)) 0.192078 0.154991 1.239288 0.2215 D(M2(-8)) -0.174375 0.156768 -1.112312 0.2718 D(M2(-9)) -0.483386 0.154209 -3.134619 0.0030 D(M2(-10)) 0.014774 0.159316 0.092735 0.9265 D(M2(-11)) 0.034310 0.165689 0.207073 0.8369 D(M2(-12)) 0.575335 0.171785 3.349151 0.0016 D(M2(-13)) -0.482094 0.193203 -2.495275 0.0162 C -5393.940 5339.081 -1.010275 0.3176 @TREND(1995:06) -204.8787 509.0531 -0.402470 0.6892 R-squared 0.680388 Mean dependent var 12790.32 Adjusted R-squared 0.576167 S.D. dependent var 16295.92 S.E. of regression 10609.04 Akaike info criterion 21.59444 Sum squared resid 5.18E+09 Schwarz criterion 22.14337 Log likelihood -653.4275 F-statistic 6.528315 Durbin-Watson stat 2.096000 Prob(F-statistic) 0.000000 Исключим из правой части оцениваемого уравнения запаздывающие разности со статистически незначимыми коэффициентами. Результаты последовательного исключения таких разностей приведены в следующей таблице.
Порядок запаздывания
исключаемой разности SC P-val
LM-автокорр. P-val
White P-val
J-B t-статистика
критерия - (полная модель с 13 запаздывающими разностями) 22.143 1 - 0.250
2 - 0.252 0.287 0.051 0.751 10 22.077 1 - 0.411
2 - 0.253 0.430 0.065 0.783 11 22.011 0.009 5 21.954 0.009 3 21.906 0.014 0.335 7 21.857 0.023 1.171 8 21.823 0.155 0.019 1.575 4 21.794 0.054 1.109 6* 21.770 1 - 0.093
2 - 0.230 0.028 0.123 1.566 1 21.761 1 - 0.534
2 - 0.405 0.028 0.295 2.618 2 21.752 1 - 0.403
2 - 0.108 0.016 0.439 4.122 Процедура редукции модели "от общего к частному" (с 10% уровнем значимости при исключении незначимых разностей) приводит к модели, результаты проверки которой приведены в строке таблицы, помеченной звездочкой. Если продолжать редукцию, уменьшив уровень значимости до 5%, то приходим к модели, результаты для которой приведены в последней строке таблицы. Эта модель оказывается лучшей по критерию Шварца.
В то же время, в последней модели обнаруживается гетероскедастичность, а в модели, отмеченной звездочкой, заметно отклонение от нормальности. Возвращаясь обратно вверх по той же цепочке, замечаем, что удовлетворительно проходит проверку по различным критериям только модель с исключенной разностью, запаздывающей на 10 месяцев. Однако и для этой и для всех остальных моделей (полной и редуцированных) значения статистики критерия положительны, что не дает возможности отвергнуть гипотезу единичного корня для ряда М2.
Следуя схеме Доладо (шаг 2 процедуры) проверим гипотезу H0 : ? = 0 в рамках статистической модели
SM:
и в предположении, что данные порождаются моделью
DGP: .
При оценивании модели с одной исключенной разностью (запаздывающей на 10 месяцев), получаем значение t-статистики для параметра ?, равное ?0.424. В то же время 5% критическое значение для проверки гипотезы H0 : ? = 0 против двусторонней альтернативы равно 3.17, эта гипотеза не отвергается, и мы должны перейти к шагу 3 используемой процедуры.
Как и в случае рядов М1 и M0, последующие шаги и здесь не приводят к отвержению DS-гипотезы. Приведем результаты для полных моделей (с 13 запаздывающими разностями). Для модели с включением в правую часть константы значение t-статистики критерия равно 1.178; для модели без включения в правую часть константы значение t-статистики критерия равно 1.253.
Приведем теперь результаты применения критерия Филлипса-Перрона в трех различных ситуациях: с включением в оцениваемую модель и тренда и константы, с включением в оцениваемую модель только константы и без включения в оцениваемую модель детерминированных составляющих.
Критерий, основанный на модели с константой и трендом:
Ширина окна Статистика критерия 3 2.63324 4 2.59715 5 2.56834 6 2.43783 7 2.32673 8 2.26941 9 2.32449 10 2.39557 11 2.52389 12 2.55470 13 2.63931 Критерий с включением константы (без тренда):
Ширина окна Статистика критерия 3 4.37034 4 4.54957 5 4.46640 6 4.29340 7 4.14101 8 4.04731 9 4.06176 10 4.09185 11 4.17005 12 4.16109 13 4.19499 Критерий без включения константы и тренда:
Ширина окна Статистика критерия 3 7.27233 4 7.03590 5 6.83753 6 6.55422 7 6.29882 8 6.11824 9 6.05329 10 6.00632 11 6.00280 12 5.91879 13 5.87156 Ни один из критериев не отвергает гипотезу единичного корня.
Применяя для проверки DS-гипотезы (в качестве нулевой) критерий DF-GLS с включением в модель константы, линейного тренда и 13 запаздывающих разностей получаем следующие результаты:
: Critical values (asymptotic) Test Statistic 1% 2.5% 5% 10% DFGLS -1.446 -3.48 -3.15 -2.89 -2.57 Наблюдаемое значение статистики критерия -1.446 выше 5% критического уровня; DS-гипотеза не отвергается. То же решение принимается при использовании для вычисления критических значений приближенной формулы, учитывающей как количество имеющихся наблюдений, так и наибольшее запаздывание включаемых в модель разностей (получаемое при этом приближенное 5% критическое значение равно -2.62).
Применим теперь критерий KPSS, берущий в качестве нулевой TS-гипотезу.

<< Пред. стр. 2 (из 9) След. >>

Список литературы по разделу