<< Пред. стр. 12 (из 37) След. >>
Список литературы по разделу
Коэффициент наращения определяется по формуле:
(4.7)
где j - номинальная ставка процентов;
n - срок ренты в годах;
m - число периодов начисления процентов в течение года.
Наращенная сумма определяется по формуле:
(4.8)
где R - сумма рентных платежей за год.
Пример 4.4. Страховая компания принимает платежи по полугодиям равными частями - по 250 тыс. руб. в течение 3 лет. Банк, обслуживающий компанию, начисляет проценты также по полугодиям из расчета 15% годовых.
Наращенная сумма, полученная страховой компанией по истечении срока договора, составит:
4) Рентные платежи вносятся несколько раз в году, начисление процентов также производится несколько раз в году; число рентных платежей в течение года не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p m. В подобных случаях рента носит название общей.
Коэффициент наращения общей ренты определяется по формуле:
(4.9)
где p - число рентных платежей в течение года;
m - число периодов начисления процентов в течение года;
j - номинальная ставка процентов;
n - срок ренты.
Наращенная сумма определяется по формуле:
(4.10)
где R - общая сумма рентных платежей за год.
Пример 4.5. В условия предыдущей задачи внесем изменения: рентные платежи вносятся по полугодиям, а проценты начисляются ежеквартально.
Наращенная сумма будет равна:
Нами были рассмотрены четыре примера определения наращенной суммы финансовой ренты. Сопоставив полученные результаты между собой, можно заметить, что величины наращенных сумм возрастали в зависимости от изменения условий ренты. Эти различия можно представить в виде неравенства:
S = 1745,5 < S = 1799,0 < S = 1811,0 < S = 18,174.
Зная причины, определяющие это неравенство, целесообразно их использовать для получения наиболее выгодных условий при заключении контрактов.
4.3. СОВРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОБЫЧНОЙ РЕНТЫ
Понятие современной величины ренты (ее называют также приведенной, или текущей, величиной) нами было рассмотрено ранее.
Понимание сущности данного показателя и методов его исчисления дает возможность решения многих финансовых задач: определение эффективности инвестиций, расчет доходности различных финансовых сделок и др.
Рассмотрение методов определения современных величин начнем с годовой обычной ренты, описываемой параметрами:
R - рентный годовой платеж;
i - годовая процентная ставка, начисляемая в конце периода ренты;
n - срок ренты.
Оценка современной величины производится на момент начала реализации ренты (рента немедленная).
Примем, что величина рентного платежа равна 1. Дисконтированную величину первого платежа (R) обозначим символом - V, второго (R) - V и т.д. В этом случае возникает ряд дисконтированных рентных платежей, представляющих собой геометрическую прогрессию: V, V, V ... V.
Первый член и знаменатель этой прогрессии - V, а число членов - n.
Просуммируем члены этой прогрессии, обозначив эту сумму a.
Если
Тогда
Произведя математическое преобразование данного выражения, получим:
(4.11)
где i - годовая процентная ставка;
n - срок ренты;
a - коэффициент приведения ренты, показывающий, сколько рентных платежей (R) содержится в современной величине.
Для ренты с членами, равными R, современная величина рассчитывается по формуле:
A = R a
(4.12)
Коэффициенты приведения ренты - a табулированы (Приложение 5).
Пример 4.6. Владелец малого предприятия предусматриваетсоздание в течение 3 лет фонда развития в размере 150 тыс. руб. Для этого ассигнуется ежегодно 41,2 тыс. руб., которые помещаются в банк под 20% годовых (сложные проценты). Какая сумма потребовалась бы фирме для создания фонда в 150 тыс. руб., если бы она была помещена в банк на три года под 20% годовых?
Для ответа на поставленный вопрос рассчитаем приведенную (текущую) величину ренты с параметрами:
R = 41,2; n = 3; i = 20.
Действительно, если бы указанную сумму (86,79 млн руб.) поместить в банк на три года под 20% годовых, то наращенная сумма составила бы:
S = 86,79 (1 + 0,2) = 149,973 тыс. руб. ( 150 тыс. руб.).
В тоже время наращенная сумма при ежегодных платежах в размере 41,2 тыс. руб. под 20% годовых составит:
Математически взаимосвязь между этими величинами можно выразить следующим образом:
(4.12а)
т.е.
A (1 + i) = S.
(4.13)
Сократив на R выражение (4.12а), получим:
a (1 + i) = S.
(4.14)
S V = a .
(4.15)
Рассмотренные примеры дают возможность убедиться, что приведенная величина эквивалентна всем платежам, составляющим поток рентных платежей.
Анализ выражения показывает, что при возрастании ставки i величина коэффициента приведения ренты a
уменьшается. Следовательно, уменьшается и современная величина рентных платежей.
Теоретически, при неограниченном возрастании величины n, коэффициент приведения ренты достигает значения:
Далее рассмотрим расчет современной величины для других условий годовых рент.
Годовая рента с начислением процентов
m раз в году
При начислении процентов m раз в году современная величина ренты вычисляется по формуле:
(4.16)
где символы имеют то же значение, что и в предыдущих формулах.
Чтобы иметь возможность пользоваться для расчета величины А таблицами приложения, произведем следующие преобразования выражения (4.16): умножим и разделим его на , тогда оно примет вид:
Первый сомножитель - коэффициент приведения ренты со ставкой ; второй сомножитель является обратной величиной коэффициента наращения ренты:
Следовательно, приведенную величину можно записать в следующем виде:
(4.16a)
Пример 4.7. В условия предыдущей задачи внесем изменения: проценты на рентные платежи начисляются не раз в году, а ежеквартально. Определить современную величину ренты с параметрами: R = 41,2; j = 20%; n = 3; m = 4; m n = 12.
По формуле (4.16):
Используя табличные значения коэффициентов приведения и наращения годовой ренты (Приложения 4 и 5), по формуле (4.16a) получим:
Расчет современной величины р-срочной ренты
при начислении процентов один раз в году (m = 1)
При внесении рентных платежей несколько раз в году (р-срочная рента) и начислении процентов один раз в году для получения коэффициента приведения используется формула:
(4.17)
Современная величина:
(4.17а)
Пример 4.8. Годовой платеж - 41,2 тыс. руб. вносится два раза в год (по полугодиям) равными частями по 20,6 тыс. руб. в течение трех лет, проценты начисляются раз в год (20%).
Современная величина равна:
Расчет современной величины с начислением процентов m раз в году при условии, что число
рентных платежей в течение года не равно числу периодов начисления процентов (p m)
Коэффициент приведения рассчитывается по формуле:
(4.18)
Современная величина равна:
(4.19)
Пример 4.9. Фирма, запланировавшая за 3 года создать фонд модернизации основных фондов в размере 150 тыс. руб., просчитывает различные варианты заключения контракта с банком, обслуживающим фирму.
Вариант 1. Рентные платежи вносятся по полугодиям в течение трех лет по 20,6 тыс. руб. под 20% годовых, начисление процентов ежеквартальное.
Параметры ренты:
R = (20,6 2) = 41,2; р = 2; m = 4; j = 20%; n = 3; m n = 12.
Современная величина равна:
Вариант 2. Рентные платежи вносятся по полугодиям, начисление процентов производится также два раза в год.
Параметры ренты:
R = 41,2; p = m = 2; n = 3; m n = 6; j = 20%.
Очевидно, что первый вариант для фирмы более предпочтителен, так как требует меньшей суммы для того, чтобы обеспечить формирование фонда в 150 млн руб. в течение трех лет.
При условии р = m для вычислений можно воспользоваться данными таблицы коэффициентов приведения годовой ренты (Приложение 5). Тогда приведенная величина будет рассчитываться по формуле:
при этом
(4.20)
Пример 4.10. По данным предыдущей задачи a = a.
По таблицам Приложения 5 находим: a = 4,355261.
Тогда
Ренты с непрерывным начислением процентов
Рентные платежи с начисленными на них непрерывными процентами при их дисконтировании по непрерывной ставке образуют последовательность, которая представляет собой геометрическую прогрессию:
R, R e, R e, ... , R e.
Приведенная величина данного ряда рассчитывается по формуле:
A = R a,
(4.21)
где a - коэффициент приведения;
(4.22)
Для р-срочной ренты приведенная величина равна:
(4.23)
<< Пред. стр. 12 (из 37) След. >>
Список литературы по разделу