<< Пред.           стр. 5 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу

 
 
 
 
  В результате изменения сроков платежа фирма дополнительно к ранее обусловленной сумме долга заплатит банку:
 
  (200 + 400 + 1433,085) - 2000 = 33,085 тыс. руб.
 
 
 1.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКОВ ССУДЫ, ВЕЛИЧИН ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТНЫХ И УЧЕТНЫХ СТАВОК
 
  В процессе подготовки кредитного договора, когда согласованы его основные параметры (сумма погашения долга S, процентная ставка i или учетная ставка d, величина ссуды Р), срок погашения ссуды определяется по формуле:
 
 
  (1.50)
  где n - срок ссуды в годах.
 
  Для определения срока ссуды в днях следует воспользоваться формулой:
 
 
 
  (1.51)
 
  где К = 360 или 365 (366) дней.
 
  Пример 1.25. Фирма планирует получение кредита в сумме 1,0 млн руб. Банк предоставляет кредит под 20% годовых. На какой срок фирма может взять кредит с тем, чтобы подлежащая возврату сумма не превысила 1,4 млн руб.?
 
 года.
 
  Пример 1.26. На какой срок фирма может взять кредит в банке в размере 2,0 млн руб. с условием, чтобы сумма возврата долга не превысила 2,2 млн руб., если банк применит ставку 19,0% годовых, при К = 365 дней.
 
 
 
 
  Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формуле:
 
 
 
  (1.52)
 
  где n - срок ссуды в годах.
 
  В случае когда срок ссуды необходимо определить в днях, расчет производится по формуле:
 
 
 
  (1.53)
 
  где t - число дней ссуды.
 
  Определение уровня процентной и учетной ставок по остальным параметрам сделки производится следующим образом:
 
  ставка процентов
 
 
 
  (1.54)
 
  учетная ставка
 
 
 
  (1.55)
 
  где К = 360 или 365 (366) дней.
 
  Пример 1.27. Фирма получили ссуду в банке в размере 800 тыс. руб. сроком на полгода; сумма погашения составляет 900 тыс. руб.
 
  Определим процентную ставку, примененную банком:
 
 
 
 
  Пример 1.28. Фирме необходим кредит в сумме 500 тыс. руб. Банк согласен на выдачу кредита при условии, что он будет возвращен через 270 дней в размере 600 тыс. руб. При расчете использовалась учетная ставка. Определить ее уровень.
 
 
 
 
 
 ГЛАВА II. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
 
 2.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ НА ОСНОВЕ
 СЛОЖНЫХ ДЕКУРСИВНЫХ ПРОЦЕНТОВ
 
  В финансовой практике широко используются сложные проценты. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Процесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Способ вычисления процентных платежей по сложным процентам иногда называется вычислением "процента на процент". Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют капитализацией.
 
  Различают годовую капитализацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную.
 
  Так же как и при вычислении простых процентов, существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный (предварительный) и декурсивный (последующий).
 
  Рассмотрим декурсивный метод расчета сложных процентов. В этом случае, как указывалось выше, начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения.
 
  Величину первоначальной суммы (капитала), на которую начисляются проценты, т.е. текущую стоимость капитала, обозначим Р. Сумму, полученную в результате начисления сложных процентов на текущую стоимость, будем называть наращенной суммой или конечной стоимостью капитала S.
 
  Процентную ставку и срок ссуды обозначим соответственно i и n.
 
  Используя введенные обозначения, рассчитаем декурсивным методом наращенную за n лет сумму S при начислении сложных процентов по ставке i, выраженной десятичной дробью.
 
  В конце 1-го периода (года) наращенная сумма равна:
 
  = P + P i = P (1 + i).
 
  В конце 2-го периода (2-го года) проценты начисляются на уже наращенную сумму:
 
  = P (1 + i) + P (1 + i) i = P (1 + i)(1 + i) = P (1 + i).
 
  В конце 3-го года получим:
 
  = P (1 + i) + P (1 + i) i = P (1 + i)(1 + i) = P (1 + i)
 
  и т.д., т.е. в конце n-го года наращенная сумма будет равна:
 
  = P (1 + i).
 (2.1)
 
  Следовательно, наращенная сумма за весь период может быть получена как сумма членов геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель - (1 + i).
  Величину (1 + i) называют также сложным декурсивным коэффициентом, а величину (1 + i) - множителем наращения сложных процентов (Приложение 2).
 
  Пример 2.1. Вкладчик внес в банк 5000 руб. под 12% годовых (проценты сложные). Определить наращенную сумму через 2 года.
 
  S = 5000 (1 + 0,12) = 5000 1,2544 = 6272 руб.
 
  Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:
 
 
 
  (2.2)
 
  где i , i ... i - последовательные значения ставок процентов;
 
  n, n ... n - периоды, в течение которых используются соот-
  ветствующие ставки.
 
  Пример 2.2. Администрация региона получила кредит в банке на сумму 6,0 млн руб. сроком на 5 лет, процентная ставка по кредиту определена в 10,5% для 1 года, для 2-го года предусматривается надбавка к процентной ставке в размере 1,5%, для 3-го года и последующих лет - в размере 0,75%.
 
  Определим сумму долга, подлежащую погашению по истечении срока займа:
 
  S = 6,0 1,105 1,12 1,1275 = 10,643 млн руб.
 
  Наряду с изменяющимися процентными ставками могут использоваться "плавающие" ставки, т.е. ставки, рост которых "привязывается" к темпам инфляции или какому-либо другому показателю, например ставкам рефинансирования, устанавливаемым Центральным банком страны. Естественно, что в этом случае невозможно заранее рассчитать наращенную сумму.
 
  Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты, различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок (i = i), при сроке ссуды менее одного года (n < 1), наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам, ибо
 
  (1 + n i) > (1 + i),
 
  где i и i - ставки простых и сложных процентов.
 
  При сроке сделки больше года (n > 1) наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, так как (1 + n i) < (1 + i). Эти различия можно проследить по табл. 2.1.
 
 Таблица 2.1
 
 Сравнение множителей наращения
 (i = i = 15%)
 
 Множители Сpок ссуды наpащения
 
  30 дней 180 дней 1 год 5 лет 10 лет 20 лет 1 + ni 1,0125 1,0750 1,15 1,750 2,5 4,0 (1 + i) 1,0117 1,0724 1,15 2,0114 4,0456 16,366
  Множители наращения рассчитаны для временной базы K = 360 дней.
 
  Используя коэффициенты наращения по простым и сложным процентным ставкам, определим время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в N раз.
 
  Чтобы первоначальная сумма Р увеличилась в N раз, необходимо, чтобы коэффициенты наращения были равны величине N, т.е.
 
  а) для простых процентов 1 + n i = N,
 
  откуда
 
  б) для сложных процентов (1 + i) = N,
 
  откуда
 
  Пример 2.3. Определить время, необходимое для увеличения первоначального капитала в 3 раза, используя простую и сложную процентные ставки, равные 10% годовых.
 
  При использовании простой ставки:
 
 лет.
 
  При использовании сложной ставки:
 
 года.
 
  Действительно, примем P = 500 тыс. руб., тогда
 
 
 
 
  Наиболее часто решается задача по определению времени, необходимого для удвоения первоначального капитала, т.е. N = 2.
 
  Тогда
 
  а) при удвоении по простым процентам:
 
  б) при удвоении по сложным процентам:
 
  В случае отсутствия калькулятора или таблицы логарифмов время, необходимое для удвоения первоначального капитала по слож- ным процентам, можно определить приблизительно на основании выражения полученного из формулы удвоения по сложным процентам: ln2 0,7, ln(1 + і) і.
 
 Проценты за дробное число лет
 
  Нередко срок финансовой сделки выражен дробным числом. В подобных случаях начисление процентов может выполняться двумя методами:
 
  а) по формуле сложных процентов
 
  S = P (1 + і);
 (2.3)
 
  б) смешанным методом
 
  S = P (1 + i) (1 + b і),
 (2.4)
 
  где n = a + b - период сделки;
 
  а - целое число лет;
 
  b - дробная часть года.
 
  При n = b < 1, т.е. при общем сроке менее года, наращенная сумма по смешанному методу больше, так как
 
  (1 + b i) > (1 + і) .
 
  Пример 2.4. Клиент внес в банк 2,5 тыс. руб. под 9,5% годовых. Через 2 года и 270 дней он изъял вклад.
 
  Определим полученную им сумму при использовании банком сложных процентов и смешанного метода:
 
  а) S = 2,5 (1 + 0,095) = 3,2057 тыс. руб.;
 
  б) по смешанному методу:
 
 
 
 Номинальная и эффективная ставка процентов
 
  Номинальная ставка. В контрактах на получение кредитов, в депозитных договорах условиями часто предусматривается капитализация процентов несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. В подобных случаях для расчета наращенной суммы можно использовать формулу наращения (2.1), в которой величина n будет означать общее число периодов капитализации процентов, а ставка i - процентную ставку за соответствующий период. Так, например, если кредит выдан на 2 года с поквартальным начислением процентов по ставке i = 5%, то множитель наращения будет равен (1+0,05) = 1,4775.
 
  Однако на практике указывается не квартальная или месячная процентная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов (m) начисления процентов в году. Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула:
 
 
  (2.5)
 
  где j - номинальная годовая процентная ставка;
 
  m - число периодов начисления процентов в году;
 
  N - число периодов начисления процентов за весь срок контракта; N = n m, где n - число лет.
 
  Пример 2.5. Депозит в размере 500 тыс. руб. внесен в банк на 3 года под 10% годовых (сложные проценты); начисление процентов производится ежеквартально. Определить наращенную сумму.
 
 
 
 
  При увеличении числа периодов m начисления процентов возрастает темп процесса наращения. Так, например, если в условие предыдущей задачи внести изменения и начисление процентов производить ежемесячно, то наращенная сумма будет равна:
 
 
 
 
  Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена или по общей формуле, используемой при начислении сложных процентов - (2.1), или по смешанному методу. В последнем случае наращенная сумма определяется по формуле:
 
 
 
 
  (2.6)
 
  где m l - число полных периодов начисления процентов;
 
  а - дробная часть одного периода начисления процентов.
 
  Пример 2.6. На сумму 600 тыс. руб. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определить величину наращенной суммы двумя методами.
 
  Общее число периодов начисления процентов составит:
 
 
 
  откуда
 
 
 
  По смешанному методу наращенная сумма будет равна:
 
 
 
 
 
 Эффективная ставка при начислении
 сложных процентов m раз в году
 
  Понятие эффективной, или действительной, ставки было рассмотрено в главе I. Напомним, что эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получает кредитор в целом за год. Иначе говоря, она отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом начислении процентов в году по ставке j/m.
 
  Обозначим эффективную ставку через i. Равенство наращенных сумм будет обеспечено в том случае, если равны первоначальные суммы P, периоды наращения n и множители наращения, т.е.
 
 
 
  откуда
 
 
 
  (2.7)
 
  т.е. эффективная процентная ставка больше номинальной.
 
  Из этого же выражения следует, что

<< Пред.           стр. 5 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу