<< Пред.           стр. 7 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу

  т.е. эффективная учетная ставка меньше номинальной учетной ставки.
 
  Пример 2.17. Кредитное обязательство, равное 1,5 млн руб., со сроком погашения через 4 года, было учтено в банке по учетной ставке 8% годовых, начисление дисконта - по полугодиям.
 
  Определим современную величину обязательства и эффективную учетную ставку:
 
  S = 1,5 млн руб.; = 0,08; m = 2; n = 4
 млн руб.
 
 
 
 
 
  Величина номинальной ставки f при дисконтировании m раз в году определяется по формуле:
 
 
 
  (2.25)
 
  Срок ссуды определяется при дисконтировании по сложной годовой ставке:
 
 
 
  (2.26)
 
  при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году:
 
 
 
  (2.27)
 
 
 
 2.5. СРАВНЕНИЕ МНОЖИТЕЛЕЙ НАРАЩЕНИЯ И ДИСКОНТИРОВАНИЯ
  Выше для расчета наращенных сумм и дисконтирования были использованы различные виды ставок: i ; i ; j; ; d; d .
 
  Использование в финансовой сделке различных видов ставок, при прочих равных условиях, приводит к различным финансовым результатам.
 
  Так как результаты финансовых сделок зависят от числа периодов начисления процентов, то при равенстве этих ставок, т.е. i = i = d = d , множители наращения будут представлять следующий мажорантный ряд:
 
  при n < 1
 
 (1 + i )< (1 + n i ) < (1 - n d)-1 < (1 - d );
 
  при n > 1
 
 (1 + n i ) < (1 + ic) < (1 - dc) < (1 - n d );
 
  при n = 1
 
 (1 + n i ) = (1 + i ) < (1 - n d ) = (1 - d ).
 
  Система неравенств для дисконтных множителей:
 
  при n < 1
 
 (1 - d ) < (1 - n d ) < (1 + n i )-1 < (1 + i );
 
  при n > 1
 
 (1 - n d ) < (1 - d ) < (1 + i )-n < (1 + n i );
 
  при n = 1
 
 (1 - n d ) = (1 - d ) < (1 + n i )-1 = (1 + i ).
 
  Эти соотношения между множителями наращения, а также дисконтными множителями используются в финансовом менеджменте для выбора стратегии, которой следует банк или коммерческая структура.
 
  Финансовые последствия при использовании номинальных ставок j и зависят от принятого значения величины m, которое может варьироваться в широком диапазоне.
 
 
 2.6. ДЕЙСТВИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ПРОЦЕНТАМИ
 
  Начисление процентов на первоначальный капитал, или дисконтирование наращенных сумм, может производиться так часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный. В этом случае используются непрерывные проценты. Суть непрерывных процентов заключается в том, что количество периодов наращения или дисконтирования стремится к бесконечности, а временной интервал между периодами - к нулю.
 
  Непрерывные проценты используются при обосновании и выборе инвестиционных проектов, при количественном финансово-экономическом анализе сложных хозяйственных процессов.
 
  Непрерывное наращение процентов производится с помощью особого вида процентной ставки, именуемой силой роста. Сила роста есть относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени, т.е.
 
 
 
 
  где
 
  Она может быть постоянной или переменной величиной.
 
  Постоянная сила роста. При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется с помощью выражения
 
 
 
  По определению непрерывных процентов чем больше величина m (число m стремится к бесконечности), тем меньше временные промежутки между периодами начисления процентов (они стремятся к нулю).
 
  В этом случае мы можем записать:
 
 
 
  В приведенном выражении
 
 
 
 
  где e - основание натуральных логарифмов.
 
  Величина e - множитель наращения при непрерывной капитализации процентов, а наращенная сумма при этом равна:
 
 S = P e
 
  Если ставку непрерывных процентов (силу роста) обозначить через d, то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:
 
 S = P e.
 (2.28)
 
  Так как дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения, т.е.
 
 (1 + i) = e, откуда e = (1 + i).
 
  Следовательно
 
 d = ln (1 + i);
 (2.29)
 
 
 i = e - 1.
 (2.30)
 
  Пример 2.18. На первоначальный капитал в сумме 500 тыс. руб. начисляются сложные проценты - 8% годовых в течение 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.
 
 = ln (1 + i) = ln 1,08 = 0,0769611;
 
 S = P e = P e = 500 1,3605 = 680,245 тыс. руб.
 
 
 Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок
 
  Из выражения S = P eопределим современную величину P:
 
 
 
  (2.31)
 
  Непрерывная учетная ставка, используемая при дисконтировании, называется силой дисконта (Y). Сила роста равна силе дисконта, так как оба эти показателя относятся к бесконечно малым отрезкам времени, поэтому возникает равенство:
 
 
 
 
  На основании этого равенства можно сделать вывод: использование для дисконтирования непрерывной учетной ставки Y (силы дисконта) или непрерывной процентной ставки (силы роста) приводит к одному и тому же результату.
 
  Переменная сила роста. С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой.
 
  Если сила роста () описывается некоторой непрерывной функцией времени , то величину наращенной суммы можно записать следующим образом:
 
 
  (2.32)
 
  а современную величину
 
 
  (2.33)
 
  Рассмотрим ряд вариантов метода расчета множителя наращения при дискретно изменяющейся силе роста при условии, что она является линейной функцией времени.
 
  а) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии и принимает значения , , ..., в интервалах , , .... Тогда за период первоначальная сумма возрастет до величины
 S = P e,
 
  за следующий период наращенная сумма будет равна:
 
 S = P e e = P e и т.д.
 
  По истечении срока ссуды наращенная сумма составит:
 
 S = P e e = P e.
 (2.34)
 
  Если общий срок наращения равен n, то
 
 
 
  а средняя величина силы роста
 
 
 
  Отсюда
 
 
  следовательно,
 
 
 (2.35)
 
  Пример 2.19. Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет, если сила роста (d) изменяется дискретно и составляет: первый год - 7%, второй и третий годы - по 8%, последние два года - по 10%.
 
 
 
 
  Множитель наращения e = 1,53726.
 
  б) Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается линейным уравнением:
 
 
 
  где - начальная величина силы роста для t = 0;
 
  а - годовой прирост (снижение), может быть положительной или отрицательной величиной.
 
  Для нахождения степени множителя наращения решим интеграл:
 
 
 
 
  Множитель наращения определяется как
 
 
 
  Пример 2.20. Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет, если начальная сила роста равнялась 10%, а ежегодный прирост 3%.
 
  По условию = 0,1; a = 0,03; n = 5:
 
 
 
  Множитель наращения e = 2,39888.
 
  Предположим, что величина а характеризует не рост, а снижение, тогда степень множителя наращения будет равна:
 
 
 
 
  Множитель наращения e = 1,13315.
 
  в) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии:
 
 ,
 
  где - начальная величина силы роста для t = 0;
 
  а - знаменатель геометрической прогрессии (годовой коэффициент роста).
 
  Для нахождения степени множителя наращения решим интеграл:
 
 
 
 
  а множитель наращения определится как
 
  (2.36)
 
  Пример 2.21. Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет, если начальная сила роста равна 10%, а процентная ставка ежегодно увеличивается на 3%.
 
 
 
 
  Срок ссуды при наращении по непрерывным процентам определяется по формулам:
 
  а) при наращении по постоянной ставке непрерывных процентов
 
 
 
  (2.37)
 
  б) при наращении по изменяющейся ставке непрерывных процентов, когда сила роста изменяется в геометрической прогрессии:
 
 
 
  (2.38)
 
  Пример 2.22. Определить срок, необходимый для увеличения первоначальной суммы в три раза, при начислении по изменяющейся с постоянным темпом роста ставке непрерывных процентов, если начальная ставка = 0,15, а годовой темп ее роста а = 1,05.
 
  По условиям задачи , тогда
 года.
 
  Зная величину первоначальной и наращенной суммы, а также срок ссуды и темп роста первоначальной силы роста, можно определить величину силы роста:
 
  а) при наращении по постоянной ставке непрерывных процентов:
 
 
 
 (2.39)
 
  б) при наращении по изменяющейся ставке непрерывных процентов :
 
 
  (2.40)
 
  Пример 2.23. Определить начальное значение силы роста, если за 4 года первоначальная сумма увеличилась на 150%, а годовой темп роста ставки составлял 120%.
 
  По условию задачи: = 2,5; а = 1,2; n = 4.
 
 
 
 
 2.7. РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
 
  Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют, чтобы они учитывались в финансовых расчетах. Особенно необходимо учитывать воздействие инфляции при вычислении наращенных сумм и определении действительной ставки процентов.
 
  Внешними признаками инфляции являются прежде всего рост цен и, как следствие, снижение покупательной способности денег.
 
  Если индекс цен мы обозначим I, а покупательную способность денег через I, то
  Действительно, представим, что сегодня 1 кг какого-либо продукта стоит 1000 руб., а завтра его цена составит 1250 руб. В этом случае индивидуальный индекс цены на этот продукт будет равен , т.е. цена возросла на 25%. Следовательно, этого же продукта на 1000 руб. по новой цене можно приобрести кг, т.е. Индекс покупательной способности денег есть величина, обратная индексу цен. Отсюда следует, что отношение наращенной суммы денег к индексу цен характеризует реальную покупательную способность наращенной суммы.
 
  Допустим, что в течение двух лет цены в среднем растут ежегодно на 12,0% (I = 1,120), тогда за два года они вырастут более чем на 25%, так как 1,2 = 1,2544. Если первоначальная сумма (P = 0,2 млн руб.) была бы помещена в банк под 18% годовых (сложные проценты) на два года, то по истечении этого срока наращенная сумма составит:
 

<< Пред.           стр. 7 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу