<< Пред.           стр. 7 (из 10)           След. >>

Список литературы по разделу

  Суммирование в формулах (8.1) - (8.4) производится от i = 1 до m, где m- общее количество поставщиков и потребителей.
  Очевидно, что при Ti =const., формулы (8.1), (8.2) и (8.3), (8.4) совпадают.
  С другой стороны, транспортные тарифы Ti в формуле (8.3), (8.4) играют роль весовых коэффициентов, которые могут принимать различные значения и , следовательно, расширяют возможности учета различных факторов по сравнению с формулами (8.1), (8.2). Однако, не следует забывать, что тарифы функционально связаны с грузооборотом (т.км) и объемом перевозок (т), поэтому их упрощенный учет в расчетных зависимостях требует дополнительного обоснования, либо введения более сложных зависимостей.
  Рассмотрим пример расчета координат склада по первому и второму вариантам. Исходные данные о координатах расположения поставщиков Пi и клиентов Кi приведены в табл.8.1; также представлены вспомогательные расчеты. При подстановке значений в формулы (8.1),(8.2) находим
  Аx = км,
  Ay = км.
  Второй вариант расчета, формулы (8.3), (8.4) дает
  Аx = км,
  Ay = км.
  Приведенные на рис.8.1 местоположение складов показывают, что в данном конкретном случае их координаты различаются незначительно.
 
 
  Таблица 8.1
  Определение координат склада
 
 Исходные данные По формулам (8.1), (8.2) По формулам (8.3), (8.4) xi yi Ti Qi xiQi yiQi TixiQi TiQi TiyiQi 0 575 0,8 300 0 172500 0 240 138000 300 500 0,5 250 75000 125000 37500 125 62500 550 600 0,6 150 82500 90000 49500 90 54000 150 125 1 150 22500 18750 22500 150 18750 275 300 1 75 20625 22500 20625 75 22500 400 275 1 125 50000 34375 50000 125 34375 500 100 1 100 50000 10000 50000 100 10000 600 550 1 150 90000 82500 20000 150 82500 Суммы 1300 390625 555625 320125 1055 422625
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  0
 Рис.8.1 Расположение поставщиков П, клиентов К и складов: С1 - первый вариант; С2 - второй вариант.
 
  Третий вариант [23, 28]. Координаты склада определяются исходя из условия, что сумма расстояний от данных точек m с учетом спроса Qi до точки (x,y)- координат склада- была минимальной. Целевая функция записывается в виде:
  (8.5)
  где ai, bi- координаты i-го поставщика или потребителя.
  Принципиальное отличие третьего варианта заключается в том, что, во-первых, он сформулирован как классическая оптимизационная задача, во-вторых, расстояние между складом и другими объектами определяется как "гипотенуза", тогда как в задачах первом и втором вариантах рассматриваются расстояния по осям X и Y.
  Для нахождения координат склада используется аналитический метод, согласно которому на первом этапе определяется система из 2-х уравнений в виде частных производных функций P (x,y).
  ; (8.6)
 
  Поскольку решение данной системы затруднено, на втором этапе используется итерационный метод. Так первое приближение для x(1) рассчитывается по формуле:
  (8.7)
  Входящее в формулу определяется из уравнения
  (8.8)
  На третьем этапе значения x(1) подставляется во второе уравнение системы (8.6) для частной производной по Y и находится первое приближение для y(1). Затем y(1) подставляется в уравнение для частной производной по X и находится второе приближение x(2) и т.д. до тех пор, пока разница итераций P(k) (x,y) и P(k+1) (x,y) не станет меньше достаточно малого положительного числа E.
  Однако, попытка использовать описанный итерационный метод решения наталкивается на такие же трудности, как и аналитическое решение системы (8.6). Это нетрудно показать на следующем примере. Запишем в явном в виде первое уравнение системы (8.9).
  (8.9)
 
  Допустим, что m=2, ax(1) рассчитано по формуле (8.7)
  Тогда, для нахождения y(1) надо решить уравнение:
  (8.10)
  После преобразований получим кубическое уравнение для определения y(1): очевидно, что с увеличением m расчетные формулы усложняются, следовательно, использование итерационного подхода не упрощает поиск координат склада.
  Рассмотрим подход, основанный на непосредственном поиске минимума функции (8.5). Исходные данные для расчетов приведена в табл.8.1.
  Для примера рассчитаем величину транспортной работы при перевозках от производителей на склад и со склада клиентам, выбрав в качестве координат склада следующие значения:
 x1=250 км, y1 = 425 км. Тогда по формуле (8.5) для первого поставщика (а1 = 300 км, в1 = 575 км) находим:
 т.км.
 Результаты расчетов Р(x1, y1) для всех поставщиков и клиентов приведены в табл. 8.2: Р(x1, y1)?342 тыс.км
 
 
 Таблица 8.2
 Определение транспортной работы при координатах склада
 х1 = 250 км, у1 = 425 км
 
 
 Qi, Т Координаты, км км
 QiRi, т.км. ai bi 300 0 575 291 87300 250 300 500 90 22500 150 550 600 347 52050 150 150 125 316 47400 75 275 300 127 9525 125 400 275 212 26500 100 500 100 410 41000 150 600 550 371 55650 Сумма 341925
  Расчеты были выполнены в виде трех блоков. В первый блок вошли расчеты для пяти точек (рис.8.2), координаты которых и результаты расчетов приведены в табл. 8.3.
  Анализ результатов позволил выявить направление поиска координат склада (второй блок, три точки), изменив его вдоль координаты х = 300 км. Наконец, минимальное значение транспортной работы оказалось равным Р = 329950 т.км. (при принятом в расчетах шаге ? = 25 км), что соответствует координатам склада: х = 300 км; у = 500 км.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Рис.8.2 Графическая интерпретация поиска минимума функции P (x, y): 342(1) - транспортная работа в тыс.км (номер варианта расчета в табл.8.3)
 Таблица 8.3
  Определение координат склада (численный метод)
 Расчетный блок Вариант Координаты склада Р (х, у), т.км х у
 
 I 1 250 425 342200 2 275 400 336170 3* 300 425 334200 4 275 450 333360 5 275 425 336800
 II 6 300 450 331700 7 300 475 330030 8 325 450 336100
 III 9** 300 500 329950 10 300 525 343400 Примечания: * вариант, соответствующий координатам "центра тяжести";
  ** минимальное значение Р (х, у) из приведенных в таблице. Следует подчеркнуть, что разница значений Р (х, у) между 6 и 7 вариантами составляет 0,46%, а между 9 и 7 - 0,1%. С одной стороны это затрудняет поиск минимума функции Р(х, у), с другой стороны говорит о том, что минимум Р(х, у) при заданном выражении целевой функции соответствует область значений, незначительно отличающихся друг от друга. Таким образом, с небольшой погрешностью координаты склада могут быть выбраны внутри этой области, что позволяет учесть всевозможные и часто противоречивые ограничения: административные, правовые и т.п.
  Заметим, что для поиска минимума Р(х, у) можно воспользоваться ускоренным алгоритмом, суть которого сводится к итерационному процессу расчета координат склада по формулам:
  , (8.11)
  , (8.12)
 где
  (8.13)
  Вывод зависимостей (8.11), (8.12) покажем на примере первой из них. За основу берутся частные производные dP(x, y)/dx и dP(x, y)/dy, см. формулу (8.6). После суммирования, находим
 
  Решая уравнение относительно Х, получим формулу, представляющую собой итерационное выражение
  (8.14)
 
 
 
 Таблица 8.4
 Определение координат склада (первая итерация ускоренного алгоритма)
 
 Qi ai bi (ai-300)2 (bi-425)2 Ri Qi/Ri Qiai/Ri Qibi/Ri 300 0 575 90000 22500 335 0,895 0 515,9 250 300 500 0 5625 75 3,333 999,9 1666,5 150 550 600 62500 30625 305,2 0,491 270,3 294,6 150 150 125 22500 90000 335 0,448 67,2 56,0 75 275 300 625 15625 127,5 0,588 161,8 176,4 125 400 275 10000 22500 180,3 0,693 277,3 190,6 100 500 100 40000 105625 385,6 0,262 131,0 26,2 150 600 550 90000 15625 325 0,461 276,6 253,5 Суммы 7,171 2184,1 3179,9
  Расчет начинается с первого шага при и , определяемых по формулам (8.1), (8.2) для координат "центра тяжести"
  При подстановке х0 = 300 км, у0 = 425 км по формулам (8.11), (8.12), рассчитываем значения сумм (табл.8.4) и находим первое приближение:
  = 303 км; = =440 км
  Второе приближение для координат склада:
  = 305 км; = 460 км
 Транспортная работа для второй итерации:
 Р(,) = 330 900 т.км.
  В заключение сопоставим варианты расчетов координат склада при использовании различных подходов, табл.8.5
  Транспортная работа рассчитывалась по формуле (8.5), исходные данные для расчета приведены в табл. 8.1.
 
 
 Таблица 8.5
  Сопоставление результатов расчета координат склада
 
 
 Вариант расчета Координаты склада, км
 Р* (х, у), т.км. х у Формула (1) 300 427 334200* Формула (2) 303 400 338250 Формула(3)
 - численный метод поиска минимума;
 - ускоренный алгоритм поиска, формулы (8.11), (8.12).
 300
 
 305
 500
 
 460
 329950
 
 330900 Примечание: при расчетах Р(x, y) координаты х, у округлены до значений кратных ? = 25 км.
  Анализ результатов позволяет констатировать, что в рассматриваемом условном примере наблюдается незначительная разница значений транспортной работы, рассчитанной при различных подходах к определению координат склада, тогда как сами координаты, в частности по оси у, различаются существенно.
  В работе [2] помимо приведенных формул даны итерационные зависимости для определения координат склада x и y по критерию "часы-тонны-километры", в котором помимо объемов перевозных грузов Qi и расстояний Rij учитывается время перевозки tij. Считается, что в этом случае координаты склада будут выбраны с минимальными издержками на транспортировку. Однако, данное утверждение требует, на наш взгляд, проведения соответствующих расчетов и сравнительного анализа с другими вариантами.
 
 8.2 Транспортная составляющая логистических издержек в зависимости от количества складов в регионе
 
 Одна из наиболее интересных задач теории логистики - определение количества складов в регионе и координат их расположения. Предполагается, что известны:
 * координаты поставщиков (x i, y i) и потребителей (x j, y j);
 * объемы производимой (Q i) и потребляемой клиентурой (P j) продукции;
 * даны характеристики транспортной сети региона (например, для крупного города имеется сеть дорог, позволяющих осуществлять перевозки между поставщиками, потребителями и складами, количество и расположение которых требуется определить).
  Данной задаче уделено много внимания в работах зарубежных и отечественных специалистов. Так, в ряде изданий приводятся графики для отдельных составляющих и обобщенных логистических издержек от количества складов (рис.8.3). Считается, что транспортные затраты и упущенная выгода от продаж уменьшаются с увеличением количества складов, тогда как расходы на содержание запасов, эксплуатацию складского хозяйства и управление складской системой возрастают. Наличие указанных противоречивых тенденций приводит к тому, что зависимость общих затрат на функционирование системы распределения от количества складов имеет параболический характер с явно выраженным оптимумом. К сожалению, отсутствие соответствующих формул и количественных характеристик не позволяет проводить необходимые расчеты; т.е. вышеуказанные зависимости носят качественный характер, основанный на логике и здравом смысле.
  Другое направление, связанное с решением рассматриваемой задачи, может быть охарактеризовано как аналитическое. В этом случае целевая функция для решения оптимального количества складов представляет собой так называемую транспортно-производственную задачу, решение которой предполагает использование алгоритма "комбинаторного поиска последовательных оценок вариантов" [23] или методов динамического программирования. Однако, как и в первом случае, отсутствие примеров расчетов говорит о необходимости дальнейших исследований.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Рис. 8.3 Зависимость совокупных затрат на функционирование системы распределения от количества складов.
 1 - совокупные затраты;
 2 - затраты на хранение запасов, эксплуатацию складов и на управление системой распределения;
 3 - общие затраты по доставке товаров;
 4 - потери из-за удаленности склада от потребителя.
  Учитывая важность транспортной составляющей в общих издержках, нами были проведены расчеты для конкретных ситуаций расположения поставщиков и потребителей в регионе. Каждый расчет включил следующие варианты.
  Первый вариант - отсутствие складов. В этом случае решается классическая транспортная задача закрепления n потребителей за m поставщиками. Расстояние между объектами определяется как корень квадратный из суммы квадратов разностей их координат, см. формулу (8.5). Для распределения объемов перевозок используется ускоренный алгоритм Фогеля с последующим поиском оптимального варианта - минимума транспортной работы методом потенциалов.
  Второй вариант - один склад. При определении координат склада используется алгоритм численного поиска с минимизацией транспортной работы (см. раздел 8.1).
  Третий вариант - два и более складов в распределительной сети региона.
  Особенности расчетов задач третьего варианта характеризуется тем, что, во-первых, вводится условие о примерном равенстве мощностей складов. Если мощности складов могут варьироваться, то задача становится многокритериальной.
  Во-вторых, расстояние между складами по оси Х (или У) не должно быть меньше определенной величины. Если не ввести это искусственное ограничение, то возможно вырождение общей задачи поиска искомой зависимости транспортных издержек от количества складов при оптимальном варианте.
  Рассмотрим итерационный алгоритм поиска координат на примере 2-х складов.
  Первый этап. Выбираются координаты первого и второго складов, затем решается транспортная задача (см. первый вариант) при наличии m поставщиков и 2-х потребителей (склады).
  Второй этап. Вновь решается транспортная задача, но при условии
 2-х поставщиков (склады) и n потребителей.
  Третий этап. Результаты расчетов транспортной работы для первого и второго этапа суммируются и фиксируются в качестве первого приближения.
  Четвертый этап. По выбранному правилу меняются координаты складов и повторяются расчеты первого - третьего этапов. Поиск вариантов координат складов прекращается в случае, когда разница величин транспортной работы двух последовательных итераций становится меньше заданной величины.
  В табл.8.6 для примера приведены результаты расчетов транспортной работы. Анализ данных позволяет сделать следующие выводы:
  1. В реальных логистических распределительных сетях транспортная работа и транспортные издержки не всегда уменьшаются по гиперболической зависимости при увеличении количества складов в регионе.
  2. Исследования по поиску решений задачи определения количества складов в регионе должны быть продолжены, при этом расчет транспортной составляющей общих логистических издержек может быть выполнен на основе предложенного алгоритма.
 Таблица 8.6
  Результаты расчетов транспортной работы при разном количестве складов в регионе *
 Количество складов Координаты склада, км; загрузка, т. Транспортная работа, т.км. Нет складов - 249 500 Один склад хА = 320 км, уА = 370 км
  388 230
 Два
 склада ** 1 вариант :
 - склад А: хА = 200 км, уА = 300 км; 300 т;
 склад В: хВ = 400 км, уВ = 300 км, 400т. 334 250 2 вариант :
 - склад А: хА = 300 км, уА = 200 км, 300 т;
 склад В: хВ = 300 км, уВ = 400 км, 400т. 343 875 Три
 склада *** склад А: хА = 200 км, уА = 400 км, 200 т.
 склад В: хВ = 300 км, уВ = 200 км, 300т.
 склад С: хС = 400 км, уС = 400 км, 200т. 343 150 Примечания:
 *исходные данные с незначительной корректировкой взяты из [11];
 ** приведены результаты после нескольких итераций;
 *** приведен один из вариантов.
 
 8.3 Алгоритм оценки влияния размещения складской сети на транспортные расходы
  Рассмотренный в предыдущем разделе подход к оценке транспортной составляющей логистических издержек при выборе количества и расположения складов в регионе представляет собой принципиально новое направление исследований: при количестве складов больше двух традиционно транспортная задача решается дважды - сначала от m поставщиков к k складам, затем от k складов к n потребителям.
  С целью обработки предложенного подхода были проведены дополнительные расчеты с использованием алгоритма, блок-схема которого приведена на рис.8.4 [14]. Рассмотрим подробнее этапы расчета.
 Этап 1. Решение задачи оптимального закрепления потребителей за поставщиками однородной продукции при прямых поставках.
  Если расположение поставщиков и потребителей задано координатами их размещения на плоскости, то кратчайшие расстояния между поставщиками и потребителями Lij,км могут быть определенны по формуле:
  (8.15)
 где xi,yi - координаты поставщика;
  xj,yj - координаты потребителя.
  Поскольку минимизируется транспортная работа P, ткм, то целевая функция имеет вид:
  (8.16)
 где i=(1,...,m) - поставщики;
  j=(1,...,n) - потребители;
 Qij - объем груза, перевозимого от i-го поставщика к j-му потребителю, т;
 Wij - произведение весовых долей i-го поставщика и j-го потребителя.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Рис.8.4 Алгоритм определения транспортных расходов для различного количества складов
 
 
  При проектировании распределительной сети часто требуется учесть дополнительные факторы, влияющие на план оптимального закрепления потребителей за поставщиками, например, невозможность прямых транзитных поставок от i-го поставщика к j-му потребителю или приоритетность j-го потребителя по отношению к другим. Названные факторы учитываются весовыми долями i-го поставщика Wi и j-го потребителя Wj .
  Расчет суммарных расходов на перевозку S производится по формуле:
  (8.17)
 где Zij - количество груженых ездок от i-го поставщика к j-му потребителю;
  C0 - тариф на перевозку, у.е./км.
  Количество груженых ездок Zij рассчитывается следующим образом:
  (8.18)
 где qij - номинальная грузоподъемность подвижного состава, используемого при перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю, т;
 ?ij????коэффициент использования грузоподъемности подвижного состава, используемого при перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю.
  Этап 2. Решение задачи позиционирования склада.
  При решении задачи позиционирования склада целевая функция имеет вид:
  (8.19)
 где Li,Lj - соответственно расстояние от склада до i-го поставщика и до j-го потребителя;
  Qi,Qj - соответственно объем груза перевозимый на склад от i-го
  поставщика и со склада до j-го потребителя.
  Расстояние от склада до i-го поставщика или j-го потребителя находится по формуле (1), где X=xi ,Y=yi - искомые координаты склада, при которых достигается минимум целевой функции (8.19).
  Транспортные расходы рассчитываются по формуле:
  (8.20)
 где Zi, Zj - соответственно количество ездок от i-го поставщика до склада и от склада до j-го потребителя.
  Этап 3. Определение координат складов относительно "центра тяжести".
  Принимают найденные координаты склада X и Y в качестве "центра тяжести" размещения складской сети и устанавливают правила нахождения координат складов относительно "центра тяжести". Расстояние от складов до "центра тяжести" определяют по правилу:
 - определяют расстояния между координатами максимально удаленных друг от друга пунктов
  (8.21)
 где xi,yi - координаты поставщиков;
  xj,yj - координаты потребителей.
 - выбирают минимальное расстояние и определяют радиус окружности R, на которой диаметрально располагаются склады
  (8.22)
 - склады располагают сначала горизонтально, а затем вертикально относительно осей координат;
 - первоначально принятый радиус R = 0,1? увеличивают до 0,2?, затем до 0,3? и т.д.
 Этап 4. Расчет минимальных суммарных расходов на перевозку при различном расположении складов.
  При наличии двух и более складов целевая функция имеет вид:
  (8.23)
 где i=(1,...,m) - поставщики;
  k=(1,...,l) - склады;
  j=(1,...,n) - потребители;
 Lik,Lkj - соответственно расстояние от i-го поставщика до k-го склада и от k- го склада до j-го потребителя;
 Qik,Qkj - соответственно объемы перевозок грузов от i-го поставщика до k-го склада и от k- го склада до j-го потребителя;
 Wik,Wkj - соответственно произведение весовых долей i-го поставщика и k-го склада, k- го склада и j-го потребителя.
  Расстояния от i-го поставщика до k-го склада и от k- го склада до j-го потребителя вычисляются по формуле (1).
  Суммарные расходы на перевозку рассчитываются по формуле:
  (8.24)
 где Zik,Zkj - соответственно количество груженых ездок от i-го поставщика до k-го склада и от k- го склада до j-го потребителя.
  Количество груженых ездок вычисляется по формуле (8.18).
  По приведенному выше алгоритму было проведено моделирование размещения складской сети и оценка ее влияния на транспортные расходы. Все расчеты были проведены в Excel с помощью средства "Поиск решения". Расчеты были проведены для двух вариантов. В первом варианте доставка грузов от поставщиков на склады и развозка его со складов потребителям производится однотипным подвижным составом, имеющем грузоподъемность q равную 10 т, при ??? 1. Во втором варианте доставка грузов от поставщиков на склады и от поставщиков потребителям при прямых поставках осуществляется подвижным составом, имеющем грузоподъемность q равную 10 т, при ? = 1, а развозка его потребителям производится малотоннажным подвижным составом, имеющим грузоподъемность q равную 1,5 т, при ? = 1. Величина тарифа на перевозку C0 при осуществлении перевозки крупнотоннажным подвижным составом принята равной 1,3 у.е., а при перевозках малотоннажным подвижным составом - 0,4 у.е. Во всех вариантах значение Wij принято равным 1. Исходные данные для расчета представлены в табл.8.7.
 Таблица 8.7
 Исходные данные для расчета
 № п/п Поставщики Потребители Объем предложения, т Координаты, км Объем
 спроса, т Координаты, км Qi xi yi Qj xj yj 1 100 200 125 100 575 400 2 50 300 400 50 400 100 3 150 550 300 150 400 250 4 150 150 725 150 700 600 5 750 275 300 750 200 350 6 125 800 675 125 275 575 7 300 500 100 300 600 700 8 500 750 550 500 550 650
  Результаты расчетов по первому варианту представлены в табл.8.8 и на рис.8.5.
 Таблица 8.8
 Результаты расчета величины транспортных расходов в зависимости
 от количества складов и их расположения по первому варианту

<< Пред.           стр. 7 (из 10)           След. >>

Список литературы по разделу