<< Пред. стр. 13 (из 90) След. >>
Список литературы по разделу
ваться на интервалы начисления.
Интервал начисления - это минимальный период, по прошест-
вии которого происходит начисление процентов.
Существуют две концепции и, соответственно, два способа оп-
ределения и начисления процентов.
Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисля-
ются в конце каждого интервала начисления. Их величина опре-
деляется исходя из величины предоставляемого капитала. Соот-
ветственно декурсивная процентная ставка, или, что то же, ссуд-
ный процент, представляет собой выраженное в процентах отно-
84
шение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сум-
ме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный способ (предварительный) начисления процен-
тов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начис-
ления. Сумма процентных денег определяется исходя из нара-
щенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в про-
центах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный
интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошест-
вии этого интервала. Определяемая таким способом процентная
ставка называется (в широком смысле слова) учетной ставкой
или антисипативным процентом.
В мировой практике декурсивный способ начисления про-
центов получил наибольшее распространение. В странах развитой
рыночной экономики антисипативный метод начисления процен-
тов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.
При обоих способах начисления процентов процентные став-
ки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и
той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода
начисления), либо сложными (если по прошествии каждого ин-
тервала начисления они применяются к сумме долга и начислен-
ных за предыдущие интервалы процентов).
российской практике понятия ссудного процента и
учетной ставки обычно не различаются и обознача-
ются собирательным термином "процентная ставка" (тер-
мин "учетная ставка" можно также встретить применитель-
но к ставке рефинансирования Центрального банка и к
вексельным операциям).
В связи с этим необходимо подчеркнуть, что по мере
развития рыночных отношений вопрос различия декурсив-
ного и антисипативного методов начисления приобретает
все большую актуальность.
Финансисту - инвестору ли (вкладчику), заемщику ли средств -
в любом случае необходимо иметь представление о способе на-
числения процентов, подразумеваемом в каждой конкретной
сделке, тем более, что при укрупнении масштабов операции каж-
дый процентный пункт становится все "тяжелее" и "тяжелее".
В последующих разделах будут приведены вычисления и даны
примеры и графики, наглядно демонстрирующие, сколь ощути-
мыми могут быть различия в результатах при разных способах на-
числения процентов. Непонимание различия между видами про-
85
центных ставок может при этом вылиться не только в упущенную
выгоду, но и в значительные убытки.
2.1. Простые ставки ссудных процентов
Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применя-
ются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда ин-
тервал начисления совпадает с периодом начисления (и составля-
ет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждо-
го интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.
Естественно, простые ставки ссудных процентов могут приме-
няться и в любых других случаях по договоренности участвующих
в операции сторон.
Введем следующие обозначения:
/(%) - простая годовая ставка ссудного процента;
i - относительная величина годовой ставки процентов;
1г - сумма процентных денег, выплачиваемых за год;
/ - общая сумма процентных денег за весь период на-
числения;
P - величина первоначальной денежной суммы;
S - наращенная сумма;
кн - коэффициент наращения;
п - продолжительность периода начисления в годах;
д - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях.
Величина К является временной базой для расчета процентов.
В зависимости от способа определения продолжительности
финансовой оперции рассчитывается либо точный, либо обыкно-
венный (коммерческий) процент.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один
день. При этом возможны два варианта:
вариант I используется точное число дней ссуды, определяе-
мое по специальной таблице, где показаны порядковые номера
каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания
займа, вычитают номер первого дня;
вариант 2 берется приблизительное число дней ссуды, когда
продолжительность полного месяца принимается равной 30
дням; этот метод используется, когда не требуется большая точ-
ность, например, при частичном погашении займа.
Точный процент получают, когда за временную базу берут факти-
ческое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.
86
Приведенным выше определениям соответствуют формулы:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), по-
лучаем основную формулу для определения наращенной суммы*:
(1.7)
или
(1.8)
На практике часто возникает обратная задача: узнать величину
суммы ? которая в будущем должна составить заданную величину
S. В этом случае P называется современной (текущей, настоя-
щей , приведенной) величиной суммы S.
Определение современной величины P наращенной суммы S
называется дисконтированием, а определение величины наращен-
ной суммы S - компаундингом.
В применении к ставке ссудного процента может также встре-
титься название математическое дисконтирование, несовмести-
мое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут рассмат-
риваться в следующем разделе.
Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую опера-
ции дисконтирования:
(1.9)
* В литературе нередко можно встретить синонимы термина "наращен-
ная сумма": "будущая сумма", "будущая стоимость денег" (от англ. Fu-
ture Value of Money) и т. п.
**От англ. Present Value of Money.
Преобразуя формулу (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее выра-
жения на эквивалентные и выражая одни величины через дру-
87
гие), получаем еще несколько формул для определения неизвест-
ных величин в различных случаях:
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Иногда на разных интервалах начисления применяются разные
процентные ставки. Если на последовательных интервалах на-
числения /I1, л2, -> nN используются ставки процентов Z1, /2,...,
iff то по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце
первого интервала составит
в конце второго интервала:
и т. д.
При N интервалах начисления наращенная сумма составит
(1.14)
Для множителя наращения, следовательно, имеем
(1.15)
Рассмотрим несколько примеров, соответствующих различным
наборам исходных данных.
Пример 1
Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой став-
ке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение
По формуле (1.7)
S = 50 000 (1 + 0,5 0,28) = 57 000 (руб.).
Пример 2
Кредит в размере 10 000 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря
под 30% годовых, год високосный. Определить размер наращен-
88
ной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного)
расчета процентов.
Решение
1. В случае точных процентов берем д = 284.
По формуле (1.8) получаем
S = 10 000 000 (1 + 284/366 • 0,30) = 12 327 868 (руб.).
2. Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды
имеем
S = 10 000 000 (1 + 284/360 0,30) = 12 366 666 (руб.).
3. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней
ссуды (д = 280) по формуле (1.8) получаем
S = 10 000 000 (1+280/360 0,30) = 12 333 333 (руб.).
Пример 3
Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка
процентов за первый год - 30%, а за каждое последующее полу-
годие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения
и наращенную сумму.
Решение
По формуле (1.15):
Icn = 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 + 0,27 + 0,26 + 0,25) = 1,975.
По формуле (1.14):
S = 20 000 000 • 1,975 = 39 500 000 (руб.).
Пример 4
Определить период начисления, за который первоначальный
капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если
используется простая ставка процентов 28% годовых.
Решение ,*
По формуле (1.10) получаем
п = (40 000 000 - 25 000 000)/(25 000 000 • 0,28) = 2,14 года.
Пример 5
Определить простую ставку процентов, при которой первона-
чальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000
руб. через год.
Решение
По формуле (1.13) определяем
I = (30 000 000 - 24 000 000)/(24 000 000 • 1) = 0,25 = 25%.
Пример 6
Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней.
Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных
денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.
89
Решение
По формуле (1.9) (операция дисконтирования) имеем
P = 40 000 000 /(I + 250/365 • 0,26) = 33 955 857 (руб.).
Из формулы (1.4) получаем
/ = 40 000 000 - 33 955 857 = 6 044 143 (руб.).
2.2. Простые учетные ставки
При антисипативном способе начисления процентов сумма
получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получае-
мой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной
суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита
(или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в
начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно,
получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая опера-
ция называется дисконтированием по учетной ставке, а также ком-
мерческим или банковским учетом.
Дисконт - это доход, полученный по учетной ставке, т. е. раз-
ница между размером кредита и непосредственно выдаваемой
суммой.
Пусть теперь
d(%) - простая годовая учетная ставка;
d - относительная величина учетной ставки;
D2 - сумма процентных денег, выплачиваемая за год;
D - общая сумма процентных денег;
S - сумма, которая должна быть возвращена;
P - сумма, получаемая заемщиком.
Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:
(2.1)
42.2)
(2.3)
(2.4)
Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для оп-
ределения наращенной суммы:
(2.5)
90
Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая про-
стых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут
принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение
(2.5) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в пра-
вой части был строго больше нуля, т. е. (1 - nd) > 0, или d < \/n.
Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли мож-
но встретиться в жизни.
На практике учетные ставки применяются главным образом
при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств.
Вопрос получения дохода по векселям будет подробно рассмот-
рен в разделе 2.8.
Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для
определения периода начисления и учетной ставки при прочих
заданных условиях:
(2.6)
(2.7)
Пример 7
Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%.
Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта,
если требуется возвратить 30 000 000 руб.
Решение
По формуле (2.4) получаем
P = 30 000 000 (1 - 0,5 • 0,2) = 27 000 000 (руб.).
Далее
D = S - P = 30 000 000 - 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).
Пример 8
Кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной
ставке 25% годовых. Определить срок, на который предоставляет-
ся кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.
Решение
Расчет проводится по формуле (2.6):
п = (40 000 000 - 35 000 000)/(40 000 000 • 0,25) = 0,5 года.
Пример 9
Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение
9 000 000 руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдается в ссуду на
полгода.
Решение
По формуле (2.7):
d = (10 000 000 - 9 000 000)/(10 000 000 • 0,5) = 0,2 = 20%.
91
2.3. Сложные ставки ссудных процентов
Если после очередного интервала начисления доход (т. е. на-
численные за данный интервал проценты) не выплачивается, а
присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого
интервала, для определения наращенной суммы применяют фор-
мулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоя-
щее время являются весьма распространенным видом применяе-
мых в различных финансовых операциях процентных ставок.
Пусть
- относительная величина годовой ставки сложных
ссудных процентов;
- коэффициент наращения в случае сложных процен-
тов;
- номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее
определение будет дано в дальнейшем).
Если за интервал начисления принимается год, то по про-
шествии первого года наращенная сумма, в соответствии с фор-
мулой (1.7), составит
<< Пред. стр. 13 (из 90) След. >>
Список литературы по разделу