<< Пред.           стр. 15 (из 90)           След. >>

Список литературы по разделу

 быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, ко-
 гда d{%) приближается к 100%.
  В следующем разделе рассмотрим, какие учетные ставки дают
 результаты, одинаковые с наиболее распространенными в насто-
 ящее время ставками ссудных процентов.
  Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные
 варианты начисления антисипативных процентов (начисление за
 короткий - меньше года - интервал, начисление т раз в году и
 т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогич-
 ным образом.
  Так, для периода начисления, не являющегося целым числом,
 имеем
  (4.3)
  При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, на-
 ращенная сумма превращается в
  (4.4)
  Здесь /I1, /I2, ..., nN- продолжительность интервалов начисле-
 ния в годах, d{, d2, ..., dN - учетные ставки, соответствующие
 данным интервалам.
  Для начисления процентов т раз в году формула имеет такой
 вид:
  (4.5)
 или
  (4.6)
  При этом тп - целое число интервалов начисления за весь пе-
 риод начисления, / - часть интервала начисления.
  При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по
 формуле:
  (4.7)
  Из полученных формул путем преобразований получаем фор-
 мулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления
 и величины учетной ставки:
 101
 
 
 (4.8)
 (4.9)
 (4.10)
 (4.11)
 (4.12)
 
  Мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В
 заключение составим таблицу, дающую возможность наглядного
 представления результатов, получаемых при этих способах для
 одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине
 процентных ставок и периодов начисления п.
 Таблица 1. Величина наращенной суммы в зависимости
 от вида процентной ставки
 P = 10 000 ам. долл., величина процентной ставки - 10%
 
 Величина нара-
 щенной суммы л=1 л = 3 л=6 Is=P(I + in) 11000 13 000 16 000 I \S= P(I + i)" 11000 13 310 17 716 \S= Pe>" 11052 13 499 18 222 \S= P/(\-dri) 11 111 14 286 25 000 \S= P/(\ -d)" 11 111 13 717 18 816 I Результаты вычислений, вероятно, будут неожиданными для
 большинства читателей - наибольший рост капитала мы имели
 бы в случае начисления процентов по простой учетной ставке.
 (Следует заметить, что на практике она не применяется на дли-
 тельных, больше года, периодах начисления.)
  Однако, для того, чтобы выбрать в каждом конкретном случае
 наиболее выгодную процентную ставку, не обязательно считать
 получаемые суммы. Можно воспользоваться эквивалентными про-
 центными ставками, о которых пойдет речь в следующем разделе.
 Пример 15
  Первоначальная сумма долга равняется 25 000 000 руб. Опреде-
 лить величину наращенной суммы через три года при примене-
 102
 
 нии декурсивного и антисипативного способов начисления про-
 центов. Годовая ставка - 25%.
 Решение
 По формулам (3.1) и (4.1) получаем:
 51 = 25 000 000 (1 + 0,25)3 = 48 828 125 (руб.);
  52 = 25 000 000/(1 - 0,25)3 = 59 255 747 (руб.).
 Данный пример наглядно демонстрирует ощутимость различия
 в результатах при разных способах начисления процентов. Разни-
 ца составляет больше 10 млн. руб.
 Пример 16
  Определить современное значение суммы в 120 000 000 руб.,
 которая будет выплачена через два года, при использовании
 сложной учетной ставки 20% годовых.
 Решение
 Производим расчет по формуле (4.8):
 P = 120 000 000 (1 - 0,2)2 = 76 800 000 (руб.).
 2.5. Эквивалентность процентных ставок
 различного типа
  Часто при расчетах, проводимых по различным финансовым
 операциям, возникает необходимость в определении эквивалент-
 ных процентных ставок.
  Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные
 ставки разного вида, применение которых при одинаковых на-
 чальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.
  Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случа-
 ях, когда существует возможность выбора условий финансовой
 оперции и требуется инструмент для корректного сравнения раз-
 личных процентных ставок.
  Для нахождения эквивалентных процентных ставок использу-
 ют уравнения эквивалентности, принцип составления которых за-
 ключается в следующем. Выбирается величина, которую можно
 рассчитать при использовании различных процентных ставок
 (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух вы-
 ражений для данной величины и составляется уравнение эквива-
 лентности, из которого путем соответствующих преобразований
 получается соотношение, выражающее зависимость между про-
 центными ставками различного вида.
 Вспомним обозначения, использованные ранее:
 I - простая годовая ставка ссудного процента;
 103
 
 d - простая годовая учетная ставка;
 /с - сложная годовая ставка ссудного процента;
 dc - сложная годовая учетная ставка;
 j - номинальная ставка ссудного процента;
 / - номинальная учетная ставка.
  Повторим формулы для определения наращенной суммы при
 различных способах начисления процентов, полученные в пре-
 дыдущих параграфах этой главы:
 (1.7)
 (2.5)
 (3.1)
 (3.6)
 (4.1)
  (4.5)
  Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотно-
 шения, выражающие зависимость между любыми двумя различ-
 ными процентными ставками.
 Рассмотрим несколько случаев.
 
 откуда
 (5.1)
  (5.2)
 Из формул (1.7) и (3.1) имеем
  (5.3)
 Приравнивая соотношения (1.7) и (2.5), получим
  (5.4)
 Приравнивание формул (1.7) и (3.6) дает
 (5.5)
  (5.6)
 104
 
  Для различных случаев сложных процентов получаем уравне-
 ние эквивалентности, приравнивая формулы (3.1) и (3.6):
  (5.7)
  (5.8)
  Полученная по формуле (5.7) годовая ставка сложных про-
 центов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называ-
 ется эффективной ставкой сложных процентов.
  Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы
 оценить реальную доходность финансовой операции, или срав-
 нить процентные ставки в случае, когда используются различные
 интервалы начисления. Очевидно, что значение эффективной
 процентной ставки больше значения номинальной, а совпадают
 они при т=1.
 Далее из формул (3.1) и (4.1) имеем
 (5.9)
  (5.10)
  Аналогичным образом получаем зависимости между любыми
 другими эквивалентными процентными ставками.
  Проанализировав полученные формулы, можно
  сделать два замечания.
  1. Эквивалентность различных процентных ставок нико-
 гда не зависит от величины первоначальной суммы р (для
 данного рассматриваемого случая, когда первоначальная
 сумма р предполагается одинаковой).
  2. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от
 продолжительности периода начисления за исключением
 случая эквивалентности между собой сложных процентных
 ставок разного вида (если период начисления один и тот
 же).
  Используя для вычислений формулы (3.1) и (4.1), можно по-
 строить таблицу, отражающую зависимость между эквивалентны-
 ми сложными учетными ставками и ставками ссудных процентов
 (табл. 2). Видно, что небольшие учетные ставки имеют эквива-
 105
 
 лентные ставки ссудного процента, сопоставимые по величине,
 но с ростом учетных ставок разница увеличивается очень быстро.
  Таблица 2. Зависимость между эквивалентными сложными
 учетными ставками dc(%) и ставками ссудных процентов ic(%)
 
 I dA%) "%) "%) UK) 5% 5,26% 50% 100% I 6% 6,4% 60% 150% 8% 8,7% 70% 233% 10% 11% 80% 400% 20% 25% 85% 567% 30% 43% 90% 900% 40% 66,7% 95% 1900% I 45% 82% 99% 9900% | Можно определить также процентную ставку, эквивалентную
 данной, когда начальные условия полностью или частично не со-
 впадают. Данная ситуация может возникнуть, например, если
 есть возможность выбора между различными коммерческими
 предложениями.
 Рассмотрим следующую задачу:
  Какова должна быть сложная учетная ставка d0 чтобы сумма
 Pj, вложенная под эту ставку на /ij лет, достигла той же величи-
 ны, что и сумма P2, вложенная под сложную ставку ссудного про-
 цента ic на Ai2 лет?
  Поскольку финансовые результаты обеих операций должны
 быть равны, составляем следующее уравнение эквивалентности:
 
 Отсюда
  (5.11)
 Можно решить уравнение относительно /, тогда
  (5.12)
  Аналогичные зависимости можно получать для любых видов
 процентных ставок.
  Принцип эквивалентности также используется при решении
 вопросов финансовой эквивалентности платежей.
 106
 
  Как определить, что выгоднее, заплатить сумму ^1 через п^ лет
 или сумму S2 через п2 лет? Будем считать, что Sx < S2 и пх < п2
 (иначе задача имеет тривиальное решение).
  В зависимости от размера процентной ставки (возьмем для
 примера сложную ставку ссудного процента), под которую могут
 быть вложены деньги, суммы ^1 и S2 имеют различные современ-
 ные величины Р{и P2.
 
 Очевидно, что для i = О S1 = P1 и S2= P2.
  В этом случае выгоднее выплачивать меньшую сумму Sj. По-
 скольку Л|< п2, для достаточно больших ic будет выполняться
 Px > P2 (см. рис. 4). Тогда найдется /0, уравнивающая ставка, при
 которой современные величины обеих сумм совпадут.
 
 Рис. 4
 
 Т.е.
 
 
 откуда
 
 (5.13)
 
  Для всех ic < /0 предпочтительнее вариант с меньшей суммой и
 меньшим сроком. Для /с > /0 -• с большими. При i = Z0 финансо-
 вые результаты обеих операций эквивалентны.
  Аналогичные формулы могут быть получены для всех видов
 процентных ставок.
 Пример 17
  Срок уплаты по долговому обязательству - полгода, учетная
 ставка равна 18%. Какова доходность данной операции, измерен-
 ная в виде простой ставки ссудного процента?
 107
 
 Решение
 Используем формулу (5.1):
 I = 0,18/(1 - 0,5 • 0,18) = 0,198 = 19,8%.
 Пример 18
  Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если но-
 минальная ставка равна 24% и начисление процентов происходит
 ежемесячно.
 Решение
 Вычисление проводим по формуле (5.7):
 ic = (1 + 0,24/12)12 - 1 = 0,268 = 26,8%.
 Пример 19
  Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить
 капитал в 10 000 000 руб. на пять лет:
 а) под простую ставку процентов 30% годовых;
 б) под сложную ставку в 25% при ежеквартальном начислении?
 Решение
  В данном случае не обязательно считать величину наращенной
 суммы, получаемой при различных процентных ставках. Поэтому
 не важна величина первоначального капитала. Достаточно найти,
 например, простую процентную ставку, эквивалентную данной
 сложной ставке, воспользовавшись формулой (5.5):
 I = [(I + 0,25/4)20 - 1] /5 = 0,472 =47,2%.
  Так как простая процентная ставка (47,2%), которая дала бы
 одинаковый с данной сложной процентной ставкой результат,
 значительно превышает предложенную (30%), ясно, что гораздо
 выгоднее использовать сложную процентную ставку. Посчитаем
 теперь наращенные суммы, получаемые в обоих случаях, чтобы
 выяснить, насколько более выгодна сложная ставка. Используем
 для этого формулы (1.7) и (3.6):
 а) S = 10 000 000 (1 + 5 • 0,3) = 25 000 000 (руб.).
 б) S = 10 000 000 (1 + 0,25/4)20 = 33 618 521 (руб.).
 
 Ощутимая разница в результатах подтверждает
 сделанный ранее вывод. Можно заметить, что ре-
 шение примера с использованием эквивалентных про-
 центных ставок требует в два раза меньше вычислений.
 Пример 20
  Определить номинальную ставку процентов, которая обеспе-
 чивала бы годовую доходность в 26%, если начисление процентов
 происходит ежемесячно.
 108
 
 Решение
 По формуле(5.8) получаем
 Пример 21
  Капитал, взятый в кредит, вложен под сложную ставку ссудно-
 го процента 22% годовых. Для расчета с кредиторами необходимо
 выплатить 30 000 000 через два года или 36 000 000 через три года.
 Какой вариант предпочтителен?
 "Решение
 По формуле (5.13) найдем уравнивающую процентную ставку /0:
 
  Данная нам ставка 22% больше найденной, следовательно, со-
 временная величина второй (большей) суммы оказывается мень-
 ше, предпочтительнее отдать ее через три года.
 2.6. Учет инфляционного обесценения денег
 в принятии финансовых решений
  Инфляция характеризуется обесценением национальной валю-
 ты (т. е. снижением ее покупательной способности) и общим по-
 вышением цен в стране. Очевидно, что в различных случаях
 влияние инфляционного процесса сказывается неодинаково.
 Так, если кредитор (инвестор) теряет часть дохода за счет обесце-
 нения денежных средств, то заемщик может получить возмож-
 ность погасить задолженность деньгами сниженной покупатель-
 ной способности.
  Во избежание ошибок и потерь в условиях снижения покупа-

<< Пред.           стр. 15 (из 90)           След. >>

Список литературы по разделу