<< Пред. стр. 16 (из 90) След. >>
Список литературы по разделу
тельной способности денег рассмотрим механизм влияния ин-
фляции на результат финансовых операций и проведем неслож-
ные математические расчеты и преобразования.
Пусть Sa - сумма, покупательная способность которой с уче-
том инфляции равна покупательной способности суммы при от-
сутствии инфляции. Через AS обозначим разницу между этими
суммами.
Отношение AS /S9 выраженное в процентах, называется уров-
нем инфляции.
При расчетах используют относительную величину уровня ин-
фляции - темп инфляции а.
109
Тогда для определения Sa получаем следующее выражение:
(6.1)
Величину (1 + а), показывающую, во сколько раз Sa больше S
(т. е. во сколько раз в среднем выросли цены), называют индексом
инфляции /и .
(6.2)
Динамика индекса инфляции за несколько лет отражает изме-
нения, происходящие в инфляционных процессах. Понятно, что
повышение индекса инфляции за определенный период по срав-
нению с предыдущим таким же периодом указывает на ускорение
инфляции, снижение - на уменьшение ее темпов.
Пусть а - годовой уровень инфляции. Это значит, что через
год сумма S'a будет больше суммы S в (1 + а) раз. По прошествии
еще одного года сумма S^ будет больше суммы S'a в (1 + а) раз,
т. е. больше суммы SB (1 + а)2 раз. Через п лет сумма S? вырастет
по отношению к сумме 5в (1 + а)п раз. Отсюда видно, что инфля-
ционный рост суммы S при годовом уровне инфляции а - то же
самое, что наращение суммы S по сложной годовой ставке про-
центов а.
Разумеется, те же рассуждения применяются, если вместо года
берется любой другой временной интервал (квартал, месяц, день
и т. д.).
Очень важно запомнить данную аналогию со
сложным процентом, так как одна из наиболее
часто встречающихся ошибок, связанных с расчетом уров-
ня инфляции за некоторый период, связана именно с не-
учетом данного обстоятельства.
Например, если цены каждый месяц растут на 2%, то за
годовой уровень инфляции, недолго думая, принимают
2% • 12 = 24%. Такие расчеты часто используют банки и
финансовые компании, привлекая клиентов вкладывать
средства, к примеру, под 25% годовых. Между тем, если
уровень инфляции составляет 2% в месяц, это значит, что
за месяц цены вырастают в (1 + 0,02) = 1,02 раза, а за год -
в 1,0212 = 1,268 раза. Значит годовой темп инфляции со-
ставляет 1,268 - 1 = 0,268, т. е. годовой уровень инфляции
достигает 26,8%. После такого расчета процентная ставка
25% годовых теряет свою инвестиционную привлекатель-
ность и может рассматриваться лишь в плане минимиза-
ции потерь от инфляции.
по
Рассмотрим теперь различные случаи задания уровня инфля-
ции.
Если известен годовой уровень инфляции а, то за период в п
лет (при том, что п = па + пь и па - целое число лет, пь - остав-
шаяся нецелая часть года) индекс инфляции, очевидно, составит
следующую величину:
(6.3)
В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции ат
за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляю-
щий т таких интервалов, индекс инфляции будет равен
(6.4)
Теперь можно приложить изложенные в предыдущих па-
раграфах варианты начисления процентов к условиям инфляци-
онной экономики.
Если в обычном случае первоначальная сумма P при заданной
ставке процентов превращается за определенный период в сумму
S, то в условиях инфляции она должна превратиться в сумму Sa,
что требует уже иной процентной ставки.
Назовем ее ставкой процентов, учитывающей инфляцию.
Пусть
- ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию;
- учетная ставка, учитывающая инфляцию;
- номинальная ставка сложного процента, учитываю-
щая инфляцию;
- номинальная сложная учетная ставка, учитывающая
инфляцию.
Зададим годовой уровень инфляции а и простую годовую став-
ку ссудного процента /. Тогда для наращенной суммы S, превра-
щающейся в условиях инфляции в сумму Sa, используем формулу
(1-7):
Для данной суммы можно записать еще одно соотношение:
а затем составить уравнение эквивалентности:
ill
из которого следует, что
(6.5)
Мы получили, таким образом, известную формулу И. Фишера,
в которой сумма (а + /а) является величиной, которую необходи-
мо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации ин-
фляционных потерь. Эта величина называется инфляционной
премией.
Зная формулу И. Фишера, можно избежать еще
одной распространенной ошибки. Часто для под-
счета процентной ставки, учитывающей инфляцию, к вели-
чине реальной ставки доходности просто прибавляют ве-
личину темпа инфляции, т. е. если / = 25% и а = 15%, то за
процентную ставку, учитывающую инфляцию, принимается
сумма (/ + а) = 25 + 15 = 40%. Но нужно помнить, что суще-
ствует еще произведение (/ а), величина которого тем
больше, чем больше значения / и а. В нашем примере оно
составляет 0,15 • 0,25 = 0,0375 = 3,75%. Наверное не стоит
пренебрегать даже такой, на первый взгляд, небольшой
величиной. Ведь когда счет идет на десятки миллионов,
каждый процентный пункт - это сотни тысяч рублей.
Рассмотрим теперь различные случаи начисления процентов с
учетом инфляции. При этом всегда удобно пользоваться значени-
ем индекса инфляции за весь рассматриваемый период.
Для простых процентных ставок по формуле (1.7) получаем
В то же время должно выполняться равенство:
Составим уравнение эквивалентности:
из которого получаем
(6.6)
Для простых учетных ставок аналогичное уравнение эквива-
лентности будет иметь вид:
112
(6.7)
Для случая сложных процентов используем формулу (3.1):
Отсюда
(6.8)
Если начисление процентов происходит несколько (/и) раз в го-
ду, используем формулу (3.6):
Отсюда
(6.9)
Таким же образом получаем две формулы для случая сложных
учетных ставок:
(6.10)
(6.П)
Используя полученные формулы, можно находить процентную
ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы
процентная ставка, обеспечивающая желаемую доходность фи-
нансовой операции, и уровень инфляции в течение рассматри-
ваемого периода. Эти формулы можно преобразовать и получить
зависимость / от /а или любую другую. Например, из формулы
(6.6) можно получить формулу, позволяющую определить реаль-
ную доходность финансовой операции, когда задан уровень ин-
фляции и простая ставка процентов, учитывающая инфляцию:
(6.12)
Из формулы (6.8) получаем аналогичную формулу для случая
сложных процентов:
(6.13)
Подставив в последнюю формулу вместо индекса инфляции
выражениеполучим простую формулу:
(6.14)
отражающую несколько очевидных соображений:
из
если ica = а (доходность вложений и уровень инфляции рав-
ны), то /с = 0, т. е. весь доход поглощается инфляцией;
если ica < а (доходность вложений ниже уровня инфляции), то
/с < 0, т. е. операция приносит убыток;
если /са > а (доходность вложений выше уровня инфляции), то
ic > 0, т. е. происходит реальный прирост вложенного капитала.
Пример 22
Кредит в размере 50 000 000 руб. выдан на два года. Реальная
доходность операции должна составить 10% годовых по сложной
ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции состав-
ляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную став-
ку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.
Решение
По формуле (6.3) получаем
I11 = (I +0,15)2= 1,3225.
Множитель наращения и номинальная ставка доходности рав-
ны:
Далее для наращенной суммы получаем
Пример 23
Первоначальный капитал в размере 20 000 000 руб. выдается на
три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по но-
минальной ставке 8% годовых. Определить номинальную ставку
процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожи-
даемый годовой уровень инфляции составляет 12%.
Решение
Воспользуемся формулой (6.3):
/и = (1 +0,12)3=1,4.
По формуле (6.9) имеем
ja= [(I + 0,08/4) 1^M - 1] 4 = 0,107 = 10,7%.
Отсюда
S = 20 000 000 (1 + 0,107/4)12 = 27 454 048 (руб.).
Пример 24
При выдаче кредита должна быть обеспечена реальная доход-
ность операции, определяемая учетной ставкой 5% годовых. Кре-
дит выдается на полгода, за которые предполагаемый индекс ин-
фляции составит 1,06. Рассчитать значение учетной ставки, ком-
пенсирующей потери от инфляции.
Решение
Производим вычисления по формуле (6.7):
Пример 25
Определить реальную доходность финансовой операции, если
при уровне инфляции 0,9% в месяц выдается кредит на два года
по номинальной ставке сложных процентов 15% годовых. Про-
центы начисляются ежеквартально.
Решение
Принимая заданную номинальную процентную ставку за став-
ку, учитывающую инфляцию, получим из формулы (6.9) соотно-
шение для определения реальной номинальной ставки сложных
процентов:
(6.15)
По формуле (6.4):
Отсюда
Пример 26
Определить, какой реальной убыточностью обладает финансо-
вая операция, если при уровне инфляции 14% в год капитал вкла-
дывается на один год под номинальную ставку 8% при еже-
месячном начислении.
Решение
Находим сначала индекс инфляции:
Далее используем формулу (6.15):
Таким образом, данная операция будет приносить 5,1%-ный
убыток.
115
2.7. Аннуитеты
В большинстве современных коммерческих операций подразу-
меваются не разовые платежи, а последовательность денежных
поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного
периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого
предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегу-
лярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая
последовательность называется потоком платежей.
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами
между последовательными платежами в течение определенного
количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой
математики. Она применяется при рассмотрении вопросов до-
ходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наибо-
лее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в
пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата
процентов по ценным бумагам.
Аннуитеты различаются между собой следующими основными
характеристиками:
• величиной каждого отдельного платежа;
• интервалом времени между двумя последовательными плате-
жами (периодом аннуитета);
• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода
(бывают и неограниченные по времени - вечные аннуитеты);
• процентной ставкой, применяемой при наращении или дис-
контировании платежей.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале со-
ответствующих интервалов, носит название аннуитета пренуме-
рандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы
получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -
пожалуй, самый распространенный случай.
Наибольший интерес с практической точки зрения представ-
ляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (по-
стоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некото-
рой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в
дальнейшем.
Введем следующие обозначения:
- величина каждого отдельного платежа;
116
- сложная процентная ставка, по которой начисляются
проценты;
- наращенная сумма для к-го платежа аннуитета постну-
мерандо;
- наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постну-
мерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);
- современная величина fc-го платежа аннуитета постну-
мерандо;
- современная величина всего аннуитета постнумерандо
(т. е. сумма современных величин всех платежей);
- наращенная сумма аннуитета пренумерандо;
- современная величина аннуитета пренумерандо;
- число платежей.
Рис. 5. Будущая стоимость аннуитета постнумерандо
Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами
P в течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной
годовой ставке ic (рис. 5).
Сумма Si для первого платежа, проценты на который будут на-
числяться, очевидно, (п - 1) раз, составит по формуле (3.1):
Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на
один год меньше) имеем
<< Пред. стр. 16 (из 90) След. >>
Список литературы по разделу