<< Пред. стр. 18 (из 90) След. >>
Список литературы по разделу
кой 6% годовых.
Определить величину нового платежа.
Решение
Найдем сначала общую современную величину двух аннуите-
тов. По формуле (7.5) имеем
Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:
Нам остается теперь рассмотреть важное практическое прило-
жение теории аннуитетов - составление различных вариантов
(планов) погашения задолженности. При составлении плана по-
гашения интерес представляют размеры периодических платежей
заемщика - выплаты процентов и выплаты по погашению ос-
новной суммы долга - при различных условиях погашения (та-
кие платежи носят название срочных уплат).
Основных вариантов погашения задолженности - пять:
1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно
выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в
нахождении размера выплачиваемой суммы P при заданной про-
центной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Раз-
мер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем
2. Погашение долга в один срок
Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока,
целесообразным бывает создание погасительного (амортизацион-
ного) фонда, для чего периодически вносятся определенные сум-
мы, на которые начисляются проценты.
Если процентная ставка, под которую вносятся
средства, не превышает размеров ставки, под ко-
торую выдается заем, создание погасительного фонда не
имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими сум-
мами с кредитором.
Введем обозначения:
- основная сумма долга (без процентов);
- ставка процента по займу;
- процент по займу;
- размер взноса в погасительный фонд;
- ставка, по которой начисляются проценты на взносы
в фонд;
- величина срочной уплаты;
- срок займа.
Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (Y =
= /+/).
По определению / = D ic .
Сумма, накопленная в погасительном фонде за п лет, т. е. нара-
щенная сумма аннуитета с параметрами % п, g, должна составить
величину R По формуле (7.2) получаем
Отсюда
127
Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяет-
ся формулой:
(7.23)
Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основ-
ной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из
взносов в погасительный фонд.
Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину
откудаполучаем
3. Погашение долга равными суммами
Пусть долг погашается в течение п лет равными суммами, а про-
центы периодически выплачиваются. Тогда на погашение посто-
янно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты ежегод-
но сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга.
Обозначим
- сумма долга после к-го года:
- процентная выплата за к-й год.
Тогда
На конец второго года получаем
Для определения размера срочной уплаты и процентного пла-
тежа после к-го года получаем
На конец срока, т. е. л-го года имеем
Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале
периода погашения, что может в большинстве случаев расцени-
ваться как недостаток этого метода погашения задолженности.
4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат
Пусть займ величиной Д выданный под сложную годовую про-
центную ставкупогашается в течение п лет равными срочными
уплатами Y= I + P. Понятно, что со временем составляющая /
(проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается ос-
128
новная сумма задолженности. Соответственно, составляющая P
(сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.
Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и сум-
мы на погашение долга на конец к-то года.
Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной
процентной ставке ic в течение п лет является аннуитетом с соот-
ветствующими параметрами.
Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле
(7.9):
- коэффициент приведения ренты).
Обозначив через Рк сумму, идущую на погашение займа в кон-
це к-го года, запишем следующие соотношения:
Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим
Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:
откуда получаем
Так как
Следовательно,
Отсюда
Далееполучаем
Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их
величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача оп-
ределения периода погашения долга п. Вопрос определения срока
аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией аннуите-
тов. При этом для выполнения принципа эквивалентности необ-
129
ходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в ре-
зультате округления полученного л) в начале периода погашения.
Вместо этого возможно также небольшое изменение размера
срочных уплат.
Рассмотрим для прояснения ситуации пример.
Пример 30
Займ в размере 12 000 ам. долл. выдан под сложную процент-
ную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода
погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по
1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.
Решение
Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета я4 п :
12 000 ам. долл./1 500 ам. долл. = 8.
По таблице определим приблизительно п, соответствующее
данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как п = 10
соответствует коэффициент а4 10 = 8,11, возьмем п = 9 и рассчи-
таем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам.
долл. новое значение платежа P. Используем для этого формулу
(7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4
Приложения 2.
12 000 ам. долл./7,435 = 1 614 ам. долл.
Составим теперь график погашения долга, в который должны
входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, ос-
таток долга на конец каждого года.
Используя выведенные ранее формулы, находим искомые зна-
чения:
Год
Сумма долга на
конец года
Срочная
уплата (Y)
Проценты
(I)
Выплата на
погашение (P) \
1
10 866,0
1613,99
480,0
1133,98
2
9 686,67
1613,99
434,64
1179,35
3
8 460,2
1613,99
387,47
1226,5
4
7 184,6
1613,99
338,4
1275,58
5
5 858,0
1613,99
287,4
1326,6
6
4 478,32
1613,99
234,32
1379,67
7
3 043,5
1613,99
179,13
1434,86
8
1 551,23
1613,99
121,73
1492,25
1 9
0
1613,99
62,04
1551,9
130
Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и
сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округ-
ления некоторых значений предыдущих сумм.
5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат
Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение
долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уп-
латы могут изменяться в соответствии с некоторой закономерно-
стью или задаваться графиком погашения.
Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат
представляет собой арифметическую профессию с заданной раз-
ницей А. При сроке погашения п и процентной ставке ic , исполь-
зуя формулу(7.20), находим величину срочной уплаты P:
исходя из которой разрабатывается план погашения долга.
6. На практике часто встречается случай, когда заранее задают-
ся размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой
величиной остатка долга на начало последнего периода (см. при-
мер 31).
Пример 31
Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет,
размеры срочных уплат в первые четыре года - 2 000 ам. долл.,
2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину
последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годо-
вых.
Решение ,
Разработаем план погашения долга.
| Год
Сумма долга на
конец года
Срочная
уплата (Y)
Проценты
(D
Выплата на
погашение (P)
1
8 500,0
2 000,0
500,0
1 500,0
2
6 925,0
2 000,0
425,0
1 575,0
3
3 271,25
4 000,0
346,25
3 653,75
4
1 934,81
1 500,0
163,56
1 336,44
1 5
0
2 031,55
96,74
1 934,81 1
Проценты за первый год составляют
Отсюда
ш
Для последующих лет получаем
Итак, величина последней уплаты должна составить 2 031,55
ам. долл.
2.8. Дивиденды и проценты по ценным бумагам.
Доходность операций с ценными бумагами
Вложения денежного капитала в различного вида ценные бу-
маги (долевое участие в предприятиях, займы другим предпри-
ятиям под векселя или иные долговые обязательства) - важней-
ший элемент развивающейся рыночной экономики. Цель финан-
совых вложений - получение дохода и/или сохранение капитала
от обесценения в условиях инфляции. Следовательно, необходи-
мо уметь правильно оценивать реальный доход по разного вида
ценным бумагам. Рассмотрим сначала виды существующих в на-
стоящее время ценных бумаг и определим разницу в начислении
процентов и возможностях получения дохода по ним.
В зависимости от формы предоставления капитала и способа
выплаты дохода ценные бумаги делятся на долговые и долевые.
Долговые ценные бумаги (купонные облигации, сертификаты,
векселя) обычно имеют фиксированную процентную ставку и
являются обязательством выплатить полную сумму долга с про-
центами на определенную дату в будущем; по дисконтным обли-
гациям доход представляет собой скидку с номинала.
Долевые ценные бумаги (акции) представляют собой непосред-
ственную долю держателя в реальной собственности и обеспечи-
вают получение дивиденда в неограниченное время.
132
Все прочие виды ценных бумаг являются производными от
долговых либо долевых ценных бумаг и закрепляют право вла-
дельца на покупку или продажу акций и долговых обязательств.
Это опционы, фьючерсные контракты и др.
Расчет дохода по различным видам ценных бумаг производится
на основе полученных в предыдущих параграфах формул. Приве-
дем несколько примеров.
Пример 32
Депозитный сертификат номиналом 200 000 руб. выдан 14 мая
с погашением 8 декабря под 18% годовых. Определить сумму до-
хода при начислении точных и обыкновенных процентов и сумму
погашения долгового обязательства.
Решение
Находим сначала точное (17 дней мая + 30 дней июня + 31
день июля + 31 день августа + 30 дней сентября + 31 день октяб-
ря ++ 30 дней ноября + 8 дней декабря = 208 дней) и прибли-
женное (17 дней мая + 30-6 + 8 дней декабря = 205 дней) число
дней займа.
Для точных процентов из формул (1.2) и (1.3) получаем
/=0,18-200 000 • 208/365=20 515 (руб.).
По формуле (1.4) вычисляем сумму погашения обязательства:
S = 200 000 + 20 515 = 220 515 (руб.).
Для случая обыкновенных процентов возможно несколько
способов расчета:
a)d=208, K = 360. Тогда
/ = 0,18 • 200 000 • 208/360 = 20 800 (руб.);
S = 200 000 + 20 800 = 220 800 (руб.).
б) а = 205, K = 365. Тогда
/ = 0,18 200 000 - 205/365 = 20 219 (руб.);
S = 200 000 + 20 219 = 220 219 (руб.).
в) а = 205, K= 360. Тогда
/= 0,18 200 000 • 205/360 = 20 500 (руб.);
S = 200 000 + 20 500 = 220 500 (руб.).
Пример 33
Платежное обязательство выдано н^ три месяца под 25% годо-
вых с погашением по 20 000 000 руб. (год високосный). Опреде-
лить доход владельца данного платежного обязательства.
133
Решение
Сначала по формуле дисконтирования (1.9) определим теку-
щую стоимость платежного обязательства:
P = 20 000 000 /(I + 0,25 /4) = 18 823 529 (руб.).
Доход владельца определяется из формулы (1.4):
/ = 20 000 000 - 18 823 529 = 1 176 471 (руб.).
Пример 34
Сертификат номинальной стоимостью 28 000 000 руб. выдан на
200 дней (год високосный) с погашением по 30 000 000 руб. Опре-
делить доходность сертификата в виде простой ставки ссудного
процента.
Решение
Для определения процентной ставки используем формулу
(1.13):
I =[(30 000 000 - 28 000 000)/28 000 000] 366/200 = 0,13 = 13%.
При покупке (учете) векселей и других денежных обязательств
до наступления срока платежа используются учетные ставки. То-
гда доход, начисленный по учетной ставке (дисконт), становится
доходом лица, купившего вексель, когда наступает срок оплаты.
Владелец векселя получает указанную в нем сумму за вычетом
дисконта, но зато раньше срока.
Пример 35
Вексель выдан на сумму 10 000 000 руб. со сроком оплаты
21 июля. Владелец векселя учел его в банке 5 июля по учетной
ставке 20%. Определить доход банка и сумму, полученную по век-
селю (K= 365).
Решение
Срок от даты учета до даты погашения составляет 21 - 5 = 16
дней.
По формуле (2.3) получаем
D = 0,2 • 10 000 000 • 16/365 = 87 671 (руб.).
Соответственно, по формуле (2.4), сумма, полученная по век-
селю:
P = 10 000 000 - 87 671 = 9 912 329 (руб.).
При операциях с облигациями источником дохода являются
фиксированные проценты (в случае купонных облигаций), а так-
же разность между ценой, по которой облигация приобретается,
и ценой, по которой она выкупается. Выкупная цена облигации
обычно совпадает с ее номиналом.
134
Существуют облигации без выплаты процентов (дисконтные
облигации), инвестирование средств в которые будет доходным
только при покупке их со скидкой с номинала, т. е. с дисконтом.
Введем обозначения:
- номинальная стоимость облигации;
<< Пред. стр. 18 (из 90) След. >>
Список литературы по разделу