ТEОРEТИЧEСКАЯ МEХАНИКА ТИПОВЫE ЗАДАЧИ И МEТОДЫ РEШEНИЯ ЧАСТЬ 2 КИНEМАТИКА ХАБАРОВСК 2001 92 С 4

см/с2;
угловое ускорение звена АВ
.
У звена АВ теперь нам известны ускорение полюса А, угловая скорость и угловое ускорение звена. Это позволяет определить ускорение любой точки звена, например, точки С (задача типа 1).
Составим для точки С векторное уравнение типа (3.10):
. (м)
Ускорение точки С неизвестно по направлению, разложим его на составляющие по направлениям координатных осей аСх и aCy. Направления остальных векторов из уравнения (м) показаны на рис. 3.40, где
см/с2,
.
Проектируя векторное уравнение (м) на оси координат, получим
;
.
Отсюда
см/с2.
см/с2.
Полное ускорение точки С:
см/с2.
5. Решение задачи определения ускорений звена ВО1, совершающего вращательное движение.
По модулю вращательной составляющей , найденному из решения векторного уравнения (л), определим угловое ускорение стержня ВО1
1/с2.
Направлено угловое ускорение звена ВО1, в соответствии с действительным направлением вектора (см. замечание по поводу знака ), т.е. дуговую стрелку ? ВО1 надо направить по часовой стрелке.
В рассмотренном примере основное векторное уравнение типа (3.10) для точки В преобразовано из обычного вида в уравнение (л), в котором неизвестными являются два угловых ускорения ? АВ и ? ВО1. Подчеркнем, что уравнение (л) получилось в результате приравнивания двух различных выражений для ускорения точки В: первое выражение (и) записано в предположении, что точка В принадлежит звену АВ; второе (к), - что точка В принадлежит звену ВО1.
С уравнениями вида (л) приходится встречаться в тех случаях, когда точка В в плоском стержневом механизме является центром шарнира, соединяющего два звена, из которых одно совершает плоскопараллельное движение, а второе - вращательное движение.
4. КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
4.1. Основные понятия и определения
С исследованием движения точки мы уже ознакомились при изучении раздела "Кинематика точки". Тогда предполагалось, что точка движется по заданному закону относительно неподвижного тела (или относительно неподвижной системы отсчета).
Если же точка движется по заданному закону относительно тела, а тело, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета, то движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется сложным или составным: оно складывается из движения точки по телу и движения вместе с этим телом.
Например мяч, катящийся по палубе плывущего вдоль берега теплохода, совершает относительно берега сложное движение, которое состоит из качения по палубе и движения вместе с палубой (теплоходом). Сложное движение относительно платформы совершает человек, идущий внутри вагона движущегося поезда. Шарик, вылетающий из вращающейся трубки, совершает сложное движение относительно неподвижной стойки. Под стойкой здесь и в дальнейшем понимается некоторое неподвижное основание.
Рассмотрим движение точки М (рис. 4.1) по траектории 1-1 внутри тела А, которое, в свою очередь, движется относительно неподвижного тела В (стойки). Движение точки М по отношению к телу В есть сложное движение.
Система координатных осей О1х1у1z1, связанная с движущимся телом А, называется подвижной системой

Рис. 4.1
Система осей Охуz, связанная с неподвижным телом В (стойкой), называется неподвижной системой отсчета.
Движение точки относительно тела (или относительно О1х1у1z1) по траектории 1-1 называется относительным движением точки М. Скорость и ускорение точки М в этом движении есть относительная скорость и относительное ускорение точки М, их обозначают ? Vr и? ar соответственно.
Движение тела А (или системы О1х1у1z1) относительно стойки (относительно Охуz) называется переносным движением. Переносной скоростью (ускорением) точки М называется скорость (ускорение) точки тела А, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка М. Поясним это определение.

Рис. 4.2. В каждый момент времени точка М совпадает с некоторой точкой М' тела А (рис. 4.2). Скорость (ускорение) точки М' и есть переносная скорость (ускорение) точки М. Переносную скорость и переносное ускорение обозначают ? Vе и ? ае. Движение точки М (рис. 4.1) относительно стойки (или относительно Охуz) называется абсолютным движением точки М. Скорость и ускорение точки в этом движении есть абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки М, их обозначают ? Vа и? aа.
Обратите внимание на взаимную связь относительного и переносного движений: относительное движение - движение точки по перемещающемуся телу, движение же этого тела - переносное движение. Обратите также внимание на различие в определениях относительного и абсолютного движений, хотя эти определения формально очень похожи.
Важной операцией исследования кинематики сложного движения является выделение относительного, переносного и абсолютного движений в конкретном случае сложного движения точки. Эту операцию будем называть анализом сложного движения точки. Анализ выполняется в соответствии с установленными выше определениями относительного, переносного и абсолютного движений. Для рассмотренного выше случая (см. рис. 4.1) результат анализа будет таким:
* относительное движение - движение точки М по телу А;
* переносное движение - движение тела А относительно тела В (относительно стойки);
* абсолютное движение - движение точки М относительно тела В (относительно стойки).
При анализе сложного движения точки надо иметь в виду, что объектом относительного и абсолютного движений является одна и та же точка; объектом же переносного движения является тело, по которому точка совершает относительное движение. Из-за наличия взаимной связи относительного и переносного движений их выделение происходит всегда одновременно: если Вы указали относительное движение точки по перемещающемуся телу, то перемещение этого тела следует назвать переносным движением.
Рассмотрим выполнение анализа сложного движения точки на конкретных примерах.
Пример 1

Рис. 4.3. Мостовой кран АВ (рис. 4.3) перемещается вдоль цеха, изображенного на рисунке прямоугольником ОСDE.По крану движется тележка М. Требуется выполнить анализ сложного движения тележки. Начнем с выделения относительного движения, учитывая, что это движение точки по перемещающемуся телу. В данном примере относительное движение - движение тележки М (точки М) по крану.
После того как относительное движение названо, становится очевидным, что переносное движение - движение крана АВ вдоль цеха OCDE.
В завершение укажем абсолютное движение. По определению - это движение точки относительно стойки (неподвижной системы отсчета). В рассматриваемом примере абсолютное движение - движение тележки относительно цеха OCDE.
Пример 2

Рис.4.4. По трубке, изогнутой в форме окружности, непрерывно течет жидкость. Трубка, в свою очередь, вращается вокруг оси О, перпендикулярной стойке (рис. 4.4). Требуется выполнить анализ сложного движения частицы М жидкости. Относительным движением или движением точки по перемещающемуся телу здесь будет движение частицы М по трубке. Переносное движение - вращение трубки вокруг оси О стойки. Абсолютное движение - движение частицы М относительно стойки.
Возвращаясь к условию двух приведенных примеров, отметим, что относительное и переносное движения в них были, по существу, заданы: была известна траектория относительного движения (прямая - в первом примере, окружность - во втором). Так же был определен и вид переносного движения (в первом примере - поступательное движение крана, во втором - вращение трубки вокруг оси). Траектория же абсолютного движения точки в этих примерах не определялась, так как предполагалось, что все параметры абсолютного движения могут быть найдены по заданным параметрам относительного и переносного движений.
Значительная часть задач на сложное движение точки имеет иной характер: условием задачи определяется траектория абсолютного движения точки, а параметры относительного или переносного движения требуется найти. Такие задачи можно считать обратными по отношению к задачам, рассмотренным в первых примерах.
Приведем примеры обратных задач.
Пример 3

Рис. 4.5. На неподвижную проволочную окружность надето колечко М (рис. 4.5), через него проходит стержень ОА, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной стойке. Требуется выполнить анализ сложного движения колечка М. Абсолютное движение или движение точки относительно неподвижного тела в этом примере отчетливо видно: это движение колечка М по проволочной окружности, расположенной на стойке. Относительное движение или движение точки по перемещающемуся телу здесь - скольжение колечка М по стержню ОА, а переносное движение - вращение стержня ОА вокруг оси О стойки.
Пример 4
В кулисном механизме (рис. 4.6) при вращении кривошипа ОМ вокруг оси О, перпендикулярной стойке, ползун М, перемещаясь вдоль стержня АВ, заставляет его вращаться вокруг оси А, так же перпендикулярной стойке. Требуется выполнить анализ сложного движения ползуна М.
Абсолютное движение здесь тоже легко определить: это движение ползуна (точки М) по окружности, расположенной на стойке. На рис. 4.6 эта окружность изображена штрихами, ее радиус ОМ. Относительное движение или движение точки по перемещающемуся телу здесь - скольжение ползуна М по стержню АВ, а переносное движение - вращение стержня вокруг оси А.
Во всех рассмотренных примерах под точкой, совершающей сложное движение, подразумевается тело, размерами которого мы пренебрегали. Это была тележка крана, частица жидкости, колечко, ползун.
В ряде задач на сложное движение такого тела нет.
Это задачи из кинематики кулачковых механизмов, у которых ведущие и ведомые звенья (кулачок и толкатель) касаются друг друга в одной точке. В таких случаях можно считать, что сложное движение совершает точка одного из звеньев в месте контакта.
Поясним сказанное на примере.
Пример 5

Рис. 4.7. Кулачок А (рис. 4.7), перемещаясь по горизонтальной плоскости вдоль оси х, приводит в движение толкатель ВМ, скользящий в вертикальных направляющих. Требуется выполнить анализ сложного движения точки М толкателя. Точка М толкателя движется относительно неподвижной плоскости (стойки) по вертикали. Это, очевидно, абсолютное движение точки М. Можно заметить также, что точка М толкателя скользит по поверхности движущегося кулачка. Это знакомое нам сочетание относительного и переносного движений: относительное - движение точки М по поверхности кулачка, переносное - движение кулачка.
Выполнить разделение движений в подобных задачах будет значительно проще, если в месте контакта звеньев поместить дополнительное тело пренебрежимо малых размеров. Это точечное тело должно проскальзывать по одному звену и в то же время совпадать с точкой контакта второго звена. Таким дополнительным телом может быть колечко, ползун, шарик. Дополнительное тело можно считать точкой, совершающей сложное движение.

Рис.4.8. В условиях примера 5 поместим в точке контакта кулачка и толкателя шарик М (рис. 4.8).
При движении кулачка вдоль оси х (переносное движение) шарик М будет перекатываться по поверхности кулачка (относительное движение шарика) и подниматься вверх вместе с толкателем (абсолютное движение шарика). Как видим, после установки шарика легче выявить относительное и переносное движения.
Введение дополнительных тел особенно целесообразно в случаях, когда передача движения от звена к звену осуществляется с помощью гибких поворачивающихся нитей.
Пример 6
В механизме на рис. 4.9 движение штока АМ в горизонтальных направляющих передается посредством гибкого троса грузу В. Чтобы установить зависимость между характеристиками движения штока АМ и груза В, надо представить, что точка М совершает сложное движение.
Ее движение относительно стойки по горизонтали, очевидно, - абсолютное движение.
Увидеть относительное и переносное движения поможет введение стержня ОС (рис. 4.10), поворачивающегося вокруг О, и ползуна М, скользящего на этом стержне. (Шток АМ и ползун М соединены шарнирно).

Рис. 4.9 Рис. 4.10
При таком дополнении механизма горизонтальное движение штока АМ вызывает не только подъем (или опускание) груза В, но и поворот стержня ОС вокруг О, а также скольжение ползуна М по стержню. Очевидно, относительным движением точки М (ползуна М) надо считать ее движение вдоль стержня ОС, а переносным движением - поворачивание стержня ОС вокруг О.
Если теперь вернуться к схеме механизма на рис. 4.9, то можно считать, что относительное движение точки М есть ее движение вдоль троса МN, а переносное движение - поворачивание троса вокруг N. Увидеть это без рассмотрения схемы на рис. 4.10 затруднительно.
4.2. Определение скоростей в сложном движении точки
Напомним установленные в подразд. 4.1 определения и обозначения:
* относительной скоростью точки называется ее скорость в движении относительно перемещающегося тела, обозначение -? Vr;
* переносной скоростью называется скорость точки перемещающегося тела, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка (см. рис. 4.2), обозначение -? Vе;
* абсолютной скоростью точки называется ее скорость в движении относительно неподвижного тела, обозначение -? Vа.
Зависимость между скоростями определяется теоремой:
абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей, т.е.
? Vа = ? Vе +? Vr . (4.1)

Рис. 4.11. Из уравнения (4.1) следует, что абсолютная скорость есть диагональ параллелограмма, построенного на переносной и относительной скоростях. Если параллелограмм Меаr (рис. 4.11) построить в масштабе, то тем самым задача по определению? Vа будет решена: модуль абсолютной скорости равен длине диагонали Ма в принятом масштабе, а направление абсолютной скорости - от М к а. Но при решении задач кинематики параллелограмм скоростей Меаr обычно рассматривается как вспомогательный чертеж, а модуль и направление искомой скорости определяется аналитически с использованием известных из геометрии соотношений между элементами треугольника (имеется в виду теорема косинусов и т.д.), иначе говоря, задача сводится к решению треугольника Mear. При этом искомой величиной может быть не только Va, а любой из пяти элементов треугольника - Va, Ve, Vr, ? , ? .
Задача будет разрешимой, если из пяти указанных элементов неизвестными будут два, например, Va и ? , Vе и Vr. Это значит, перед тем, как решать треугольник, надо по условию задачи определить, по крайней мере, три элемента треугольника. Эти три элемента или три кинематические характеристики будем в дальнейшем называть предварительно определяемыми.
Во многих случаях предварительно определяемые величины легко отождествляются с величинами, заданными условием задачи. В остальных случаях их можно найти по данным задачи с использованием формул "Кинематики точки" или "Кинематики твердого тела" (см. разд. 1, 2, 3 данного пособия).
При решении задач определенную сложность для начинающих представляет правильное построение параллелограмма скоростей по уравнению (4.1). Рекомендуется делать это в следующем порядке.

Рис. 4.12. Вначале на расчетной схеме надо провести три линии, по которым должны быть направлены? Vа,? Vе и? Vr. Эти линии будем обозначать соответственно а-а, е-е, r-r (рис. 4.12); они должны проходить через точку М, которая по условию задачи совершает сложное движение. Линия а-а проводится по касательной к траектории абсолютного движения; линия r-r - по касательной к траектории относительного движения; линия e-e - проводится в соответствии с правилами, установленными для соответствующего движения тела.
Если положение какой-либо линии скорости установить по условию задачи нельзя, то ее следует провести под некоторым углом ? к уже проведенной линии скорости, считая в дальнейшем ? искомой величиной.

Рис.4.13. Далее на расчетной схеме надо изобразить в произвольном масштабе скорость, направление которой задано условием задачи; ее надо отложить от точки М по соответствующей линии; построить параллелограмм скоростей, следя за тем, чтобы? Vа была диагональю этого параллелограмма (рис. 4.13). Как обобщение вышесказанного, предлагается такая последовательность операций при решении задачи скоростей в сложном движении точки.
1. По условию задачи нарисовать расчетную схему, на которой отметить точку М, совершающую сложное движение.
2. Указать относительное, переносное и абсолютное движение в соответствии с рекомендациями подразд. 4.1.
3. Провести через точку М линии скоростей а-а, е-е, r-r в соответствии с пояснениями к рис. 4.12.
4. Отложить от точки М заданную скорость по соответствующей линии, а затем построить параллелограмм скоростей (рис. 4.13).
5. Найти по условию задачи три предварительно определяемые величины.
6. Решая треугольник Меа (рис. 4.11 или 4.13), найти оставшиеся искомые величины.
Задача 4.1
Задача 4.2 (20)
Задача 4.3 (20)
Задача 4.4 (21)
Задача 4.5 (22)
Задача 4.6 (22)
Задача 4.7 (25)
Задача 4.8 (27)
Задача 4.9 (23)
Задача 4.10 (26)
Задача 4.1
Вдоль цеха по рельсам с постоянной скоростью 0,1 м/с перемещается мостовой кран АВ, по которому с постоянной скоростью 0,2 м/с движется тележка М. Определить абсолютную скорость тележки.
Решение

Рис. 4.14. 1. На расчетной схеме (рис. 4.14) изображена точка М (тележка), совершающая сложное движение и подвижное тело - кран АВ в заданный момент времени.
2. Результаты анализа сложного движения тележки (пример 1): * относительное движение - движение тележки М по крану АВ;
* переносное движение - движение крана АВ относительно цеха ОСDE;
* абсолютное движение - движение тележки М относительно цеха.
3. Проводим через точку М линии скоростей. Траектория относительного движения точки М - прямая АВ, поэтому линия r-r совпадает с АВ; переносным движением является поступательное движение крана вдоль стороны ОЕ цеха, поэтому линия e-e проведена параллельно OE; траекторию абсолютного движения точки М установить по условию задачи нельзя, поэтому линию а-а проводим под некоторым углом ? к линии е-е, считая ? искомой величиной.
4. Построим параллелограмм скоростей: по условию задачи известны направления относительной скорости точки (она равна скорости движения тележки по крану) и переносной скорости (она равна скорости точки крана, с которой в данный момент совпадает тележка); откладываем от точки М по линии r-r вектор относительной скорости? Vr, а по линии е-е - вектор переносной скорости ? Vе; затем достраиваем параллелограмм скоростей.
5. По условию задачи имеем Vr = 0,2 м/с, Vе = 0,1 м/с, угол ? = 90? .
6. Решая треугольник Меа (рис. 4.14), находим
м/с;
.
Задача 4.2 (20)
По трубке, изогнутой в форме окружности радиуса R = 20 см (рис. 4.15), течет жидкость с постоянной относительно трубки скоростью 40 см/с. Трубка вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью ? = 1 1/с. Найти абсолютную скорость частицы жидкости, когда она занимает в трубке положение, определяемое углом ОСМ, равным 120? . Направления вращения трубки и течения жидкости (по трубке) - против хода стрелки часов.
Решение

Рис. 4.15. 1. Расчетная схема с указанием частицы М жидкости в заданном положении изображена на рис. 4.15.
2. Результаты анализа сложного движения частицы М (пример 2):
* относительное движение - движение частицы М по трубке;
* переносное движение - вращение трубки вокруг оси О стойки;
* абсолютное движение - движение частицы М относительно стойки. 3. Проводим через точку М линии скоростей: траектория относительного движения точки М - окружность с центром в точке С, поэтому линия r-r проведена по касательной к этой окружности; переносным движением здесь является вращение трубки вокруг оси О, поэтому линия е-е проведена перпендикулярно ОМ, т.е. по направлению скорости точки М' трубки; траекторию абсолютного движения точки М здесь, как и в задаче 4.1, заранее установить нельзя, поэтому линию а-а проводим под углом ? к линии е-е, считая ? искомой величиной.
4. Построение параллелограмма скоростей: по условию задачи известны направления? Vr (? Vr - скорость движения по трубке) и? Vе (? Vе - скорость точки М' трубки), откладываем от точки М векторы ? Vr и? Vе по линиям r-r и e-e; затем достраиваем параллелограмм скоростей.
5. Предварительные вычисления: по условию задачи имеем Vr = 40 см/с, модуль переносной скорости определяем по формуле
см/с,
из схемы на рис. 4.15 следует, что ? = 150? .
6. Решая треугольник Mea, находим
см/с;
.
Задача 4.3 (20)
На неподвижную проволочную окружность радиуса20 см надето колечко М (рис. 4.16); через него проходит стержень ОА, который вращается вокруг оси О против часовой стрелки с угловой скоростью w = 1 1/с. Найти относительную, переносную и абсолютную скорости колечка М в момент, когда угол ОСМ равен 90° .
Решение

Рис. 4.16. 1. Расчетная схема с указанием колечка М в заданном положении (угол ОСМ равен 90? ) изображена на рис. 4.16.
2. Результаты анализа сложного движения колечка М (пример 3):
* относительное движение - движение колечка М по стержню ОА;
* переносное движение - вращение стержня ОА вокруг оси О стойки;
* абсолютное движение - движение колечка М относительно стойки по окружности радиуса СМ. 3. Проводим через точку М линии скоростей: линия r-r проведена вдоль ОА - траектории относительного движения; линия е-е проведена перпендикулярно ОА, - так направлена скорость точки М' стержня ОА (переносная скорость? Ve); траектория абсолютного движения колечка М - окружность с центром в точке С, поэтому линия а-а проведена по касательной к этой окружности.
4. Построение параллелограмма скоростей: по условию задачи известно направление? Ve (? Ve - скорость точки М' стержня ОА), откладываем ее от точки М по линии е-е; далее достраиваем параллелограмм скоростей, чтобы? Vа была диагональю.
5. Предварительные вычисления: по условию задачи определяем
см/с;
из схемы на рис. 4.16 следует, что ? = 45? , ? = 90? .
6. Решая треугольник Меа, находим см/с,
см/с.
Задача 4.4 (21)
В кулисном механизме (рис. 4.17) при вращении кривошипа ОМ вокруг оси О ползун М, перемещаясь вдоль стержня АВ, приводит этот стержень во вращательное движение вокруг оси А. Для положения механизма, изображенного на рисунке, определить скорость перемещения ползуна М по стержню АВ и угловую скорость стержня АВ, если угловая скорость кривошипа ОМ ? ОМ = 2 1/с, длина кривошипа ОМ равна 10 см. Кривошип вращается против часовой стрелки. Решение
1. Расчетная схема механизма изображена на рис. 4.17.
2. Результаты анализа сложного движения ползуна М (пример 4):
* относительное движение - движение ползуна М по стержню АВ;
* переносное движение - вращение стержня АВ вокруг оси А стойки;
* абсолютное движение - движение ползуна М относительно стойки по окружности радиуса ОМ.
3. Проводим через точку М линии скоростей: линия r-r проведена вдоль АВ, т.е. по траектории относительного движения ползуна М; линия е-е проведена перпендикулярно АВ - так направлена скорость точки М' стержня АВ (или переносная скорость); линия а-а проведена перпендикулярно ОМ, что соответствует направлению касательной к окружности радиуса ОМ - траектории абсолютного движения ползуна М.
4. Построение параллелограмма скоростей: по условию задачи известно направление? Vа, откладываем ее от точки М по линии а-а. Далее достраиваем параллелограмм скоростей, в котором? Vа - диагональ.
5. Предварительные вычисления: по условию задачи определяем
см/с;
из схемы на рис. 4.17 следует ? = 30? , ? = 90? .
6. Решая треугольник Меа, находим
см/с;
см/с.
После этого определяем угловую скорость стержня АВ
1/с.
Задача 4.5 (22)
Кулачок А (рис. 4.18), перемещаясь по горизонтальной плоскости вдоль оси х, приводит в движение толкатель ВМ, скользящий в вертикальных направляющих. Определить скорость толкателя в вертикальных направляющих в положении
механизма, изображенного на рис. 4.18, если в этот момент скорость кулачка равна 30 см/с. Решение
1. Расчетная схема изображена на рис. 4.18.
2. Результаты анализа сложного движения точки М (см. пример 5):
* относительное движение - движение точки М по поверхности кулачка А;
* переносное движение - движение кулачка А относительно стойки;
* абсолютное движение - движение точки М относительно стойки по вертикали.
3. Проводим через точку М линии скоростей: линия r-r проведена по касательной к поверхности кулачка или иначе - по касательной к траектории относительного движения; линия e-e проведена параллельно оси х - так направлена скорость точки кулачка, с которой в данный момент совпадает конец М толкателя ВМ (или переносная скорость? Vе); линия а-а проведена по вертикали - по траектории абсолютного движения.
4. Построение параллелограмма скоростей: по условию задачи известно направление? Vе, откладываем ее от точки М по линии е-е; далее достраиваем параллелограмм скоростей, в котором? Vа - диагональ.
5. По условию задачи имеем Vе = 30 см/с. Из схемы на рис. 4.18 следует, что ? = 90? , ? = 30? .
6. Решая треугольник Меа, находим искомую скорость толкателя
см/с.
Задача 4.6 (22)
В механизме на рис. 4.19 определить зависимость между скоростью штока АМ и скоростью опускания груза В (угол ? задан).
Решение
1. Расчетная схема изображена на рис. 4.19.
2. Результаты анализа сложного движения точки М (см. пример 6): * относительное движение - движение точки М вдоль троса МN;
* переносное движение - вращение троса MN вокруг точки N;
* абсолютное движение - движение точки М относительно стойки по горизонтали.
3. Проводим через точку М линии скоростей; линии а-а и r-r совпадают с прямолинейными траекториями абсолютного и относительного движений; линия е-е проведена перпендикулярно MN - так направлена скорость точки M' троса в переносном вращательном движении вокруг N.
4. Построение параллелограмма скоростей: по условию задачи известно направление скорости? VВ (вниз), для точки М это соответствует заданию? Vr; откладываем? Vr по линии r-r, а затем достраиваем параллелограмм скоростей, в котором? Va - диагональ.
5. Из схемы на рис. 4.19 следует, что ? = 90? - ? , ? = 90? .
6. Решая треугольник Меа, находим
.
Учитывая, что Vr = VB, Va = VАМ, получим
.
4.3. Определение ускорений в сложном движении точки
Зависимость между ускорениями определяется теоремой Кориолиса: абсолютное ускорение? аа точки равно геометрической сумме переносного? ае, относительного? аr и кориолисова? аk ускорений, т.е.
. (4.2)
Прежде чем приступить к решению этого уравнения в конкретной задаче, надо установить по каким формулам определяются? аа,? аe, ? аr, ? аk.
Абсолютное ускорение? аа. Напомним определение (см. подразд. 4.1): абсолютным ускорением точки называется ее ускорение в движении относительно неподвижного тела. Вид формулы? аа зависит от формы траектории абсолютного движения точки.
Если траектория - прямая линия, то
. (4.3)
Ускорение? аа в этом случае совпадает с траекторией точки. Направление вектора? аа по траектории точки определяется знаком производной (4.3): при знаке "плюс" направлено в сторону положительного отсчета расстояний на траектории, при знаке "минус" - в противоположную сторону.
Если траектория абсолютного движения - окружность, то
, (4.4)
где - касательное абсолютное ускорение; - нормальное абсолютное ускорение; R - радиус окружности.
Направление вектора по касательной устанавливается с учетом знака производной [см. пояснения к формуле (4.3)]. Вектор всегда направляется по радиусу окружности к ее центру.
Если траектория абсолютного движения не задается, то абсолютное ускорение следует разложить на составляющие по направлениям осей прямоугольной системы координат Охуz:
для плоских кривых
; (4.5)
для пространственных кривых
. (4.6)
Переносное ускорение? ае. Напомним определение (см. подразд. 4.1): переносным ускорением называется ускорение точки перемещающегося тела, с которой совпадает в данный момент движущаяся по этому телу точка.
Вид формулы? ае определяется характером переносного движения.
Если переносное движение тела - поступательное, то в качестве? ае можно взять ускорение любой точки этого тела. (Напомним, что все точки тела при поступательном движении имеют одинаковые ускорения).
Если переносное движение тела - вращение вокруг неподвижной оси, то
, (4.7)
где - вращательное переносное ускорение; - осестремительное переносное ускорение.
В этих формулах ? е и ? е - угловая скорость и угловое ускорение тела; h - расстояние от точки М до оси вращения или радиус вращения точки.
Вектор направлен перпендикулярно радиусу вращения в сторону дуговой стрелки углового ускорения ? е. Вектор направлен по радиусу к оси вращения.
Если переносным движением будет плоскопараллельное или какое-либо более сложное движение тела, то формулы для определения ае следует взять из соответствующего раздела кинематики твердого тела.
Относительное ускорение? аr. Напомним определение (см. подразд. 4.1): относительным ускорением точки называется ее ускорение в движении относительно перемещающегося тела.
Вид формулы? аr определяется характером траектории относительного движения.
Если траектория - прямая линия, то
. (4.8)
Ускорение? аr в этом случае совпадает с траекторией точки. Направление вектора? аr по траектории определяется знаком производной (4.8): при знаке "плюс"? аr направлено в сторону положительного отсчета расстояний на траектории, при знаке "минус" - в противоположную сторону.
Если траектория относительного движения - окружность, то
, (4.9)
где - касательное относительное ускорение; - нормальное относительное ускорение; R - радиус окружности.
Направление вектора по касательной устанавливается с учетом знака [см. пояснения к формуле (4.8)]. Вектор направляется по радиусу окружности к ее центру.
Если траектория относительного движения не задается, то относительное ускорение следует разложить на составляющие по направлению осей прямоугольной системы координат Oxyz:
для плоских кривых
; (4.10)
для пространственных кривых
. (4.11)
Ускорение Кориолиса выражается формулой
. (4.12)
Чтобы определить модуль и направление? аk, нужно выполнить следующие операции:
- отложить от точки M (рис. 4.20) вектор переносной угловой скорости? ? e и вектор относительной скорости точки? Vr. (Напомним, что вектор? ? e направляется по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта); - определить по правилу векторного произведения (4.12) направление ускорения? аk: для этого надо провести через векторы? ? e и? Vr плоскость Q; затем провести прямую 1-1, перпендикулярную плоскости Q; наконец, направить по прямой 1-1 вектор? аk в ту сторону, откуда вращение вектора? ? e к? Vr видно происходящим против хода часовой стрелки (см. рис. 4.20);
- определить модуль ускорения? аk как модуль векторного произведения (4.12):
, (4.13)
где аk - угол между векторами? ? e и? Vr.
Если переносное движение поступательное, то? ? e = 0, следовательно,? аk равно нулю. Ускорение Кориолиса равно нулю также, если векторы? ? e и? Vr параллельны, или когда один из этих векторов обращается в нуль в рассматриваемый момент времени.
После того, как вид формул определения? аа,? ае,? аr и? аk установлен, рекомендуется переписать уравнение (4.2) с учетом того, что некоторые члены уравнения будут представлены составляющими.
Допустим, по условию задачи траектория абсолютного движения - окружность, переносное движение - вращение тела вокруг оси, а траектория относительного движения - прямая линия; в этом случае уравнение (4.2) с учетом (4.4), (4.7), (4.8) примет вид
. (4.14)
В других задачах число слагаемых в левой и правой частях уравнения (4.14), конечно, может быть иным.
Для решения уравнения типа (4.14) оно проектируется на оси подвижной или неподвижной системы координат. Если все векторы этого уравнения лежат в одной плоскости, то будем иметь два уравнения проекций, для пространственной задачи - три уравнения проекций.
Отсюда следует, что в плоских задачах уравнение (4.14) будет разрешимо, если в нем содержится не более двух, а в пространственных - не более трех неизвестных величин.
В качестве неизвестных могут быть любые величины, входящие в выражения абсолютного, переносного, относительного и Кориолисова ускорений или же сами эти ускорения.
Значит, решению уравнения типа (4.14) должно предшествовать предварительное определение части величин, входящих в выражения? аа,? ае,? аr и? аk. Они определяются из условия задачи по известным соотношениям кинематики точки и тела; во многих случаях используются результаты определения скоростей в данной задаче.
Как обобщение всего вышесказанного, предлагается такая последовательность операций при решении задачи в сложном движении точки.
1. Нарисовать по условию задачи расчетную схему, на которой отметить точку М, совершающую сложное движение.
2. Указать относительное, переносное и абсолютное движение точки в соответствии с рекомендациями подразд. 4.1.
3. Записать векторное уравнение (4.2) и провести его анализ: установить формулы для определения? аа,? ае,? аr и? аk [см. формулы (4.3)... (4.13)]; преобразовать уравнение (4.2) в уравнение типа (4.14); выполнить предварительные вычисления так, чтобы в уравнении типа (4.14) осталось не более двух неизвестных величин в плоских задачах, и не более трех - в пространственных задачах; отложить все указанные ускорения или их составляющие от точки М на расчетной схеме.
4. Спроектировать уравнение типа (4.14) на оси выбранной системы координат. Из получившихся алгебраических уравнений проекций определить оставшиеся неизвестные величины.
Задача 4.7 (25)
Со стержня ОА (рис. 4.21), вращающегося с постоянной угловой скоростью ? вокруг вертикальной оси z, слетает колечко M. В условиях пренебрежимо малого трения движение колечка по стержню описывается законом
, (а)
где S0 - расстояние от оси вращения до колечка в начальный момент. Положительное направление отсчета расстояний показано на рис. 4.21 стрелкой ; e - основание натурального логарифма.
Определить абсолютное ускорение колечка.
Решение
1. Расчетная схема с указанием колечка М, совершающего сложное движение, изображена на рис. 4.21.
2. Анализ движения: движение колечка М по отношению к стойке (абсолютное движение) складывается из движения колечка вдоль стержня ОА и движения вместе со стержнем. Первое из складываемых движений является относительным, второе - переносным.
3. Запишем векторное уравнение (4.2):
???????????????????????????????????? аа =? ае +? аr +? аk. (б)
Установим формулы для определения ускорений, входящих в уравнение (б), и выполним предварительные вычисления.
Абсолютное ускорение? аа. Напомним, что вид формулы? аа зависит от формы траектории абсолютного движения точки. Эта траектория в рассматриваемом примере - плоская кривая, форма которой не задается. Поэтому вектор? аа представляем в соответствии с (4.5) составляющими по направлению осей х и у (см. рис. 4.21)
? аа =? аах +? аау.
Переносное ускорение? ае. Напомним, что вид формулы? ае определяется характером переносного движения. В данной задаче переносным движением является вращение стержня ОА вокруг оси z. Поэтому вектор? ае представим в соответствии с (4.7) в виде
,
где ; ;
S - расстояние от точки M до оси вращения z [см. формулу (а)];
? e - переносная угловая скорость, равная заданной угловой скорости стержня ОА,? ? e =? ? ОА =? ? ; вектор? ? направлен по оси вращения z в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 4.21); ? e - переносное угловое ускорение, равное в данном случае нулю, так как по условию задачи ? = const.
В результате
, .
Вектор направлен по радиусу к оси вращения z. Так как , то окончательно будем иметь
.
Относительное ускорение? аr. Напомним, что вид формулы? аr определяется характером траектории относительного движения. В данной задаче эта траектория - прямая линия ОА. Поэтому по формуле (4.8) имеем:
.
Производная получилась со знаком "плюс", поэтому вектор? аr направляется по прямой ОА в сторону положительного отсчета координаты S, т.е. от M к А. Отметим, что аr = ae для любого момента времени.
Ускорение Кориолиса? аk. Модуль и направление вектора? аk выражается формулой (4.12):
.
Вектор? ? e направлен по оси z, его модуль задан условием задачи. Относительная скорость Vr определяется по формуле
.
Производная получилась со знаком "плюс", поэтому вектор ? Vr направляется по прямой ОА в сторону положительного отсчета координаты S, т.е. от М к А.
Перенесем векторы? ? e и? Vr в точку М.
Определим по правилу векторного произведения направление ускорения? аk. Для этого сначала проведем через векторы? ? e и? Vr плоскость Q (см. рис. 4.21). Затем проведем прямую 1-1, перпендикулярную плоскости Q. Наконец, направим по прямой 1-1 вектор? аk в ту сторону, откуда вращение вектора? ? e к? Vr видно происходящим против часовой стрелки (см. рис. 4.21).
Определим модуль ускорения ? аk по формуле (4.13):
,
так как здесь угол ? = 90? .

<< Пред. стр. 4 (из 5) След. >>

Список литературы по разделу