<< Пред.           стр. 1 (из 4)           След. >>

Список литературы по разделу

  МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
 
  САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
 
  КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В МЕХАНИКЕ
 
 
 
 
 
 
 
  И.С. Загузов, К.А. Поляков
 
  Математическое моделирование течений вязкой жидкости
  вблизи твердых поверхностей
 
 
 
 
  Учебное пособие для студентов
  механико - математического факультета
  специальности "прикладная математика"
 
 
 
 
 
 
 
  Издательство "Самарский университет"
  САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
 
 
 
 
 
  Кафедра математического моделирования в механике
 
  И.С. Загузов, К.А. Поляков
 
 
 
 
  МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
  ВБЛИЗИ ТВЕРДЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
 
 
 
 
 
 
  Учебное пособие
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  БКК 22.253
  3 148
  УДК 532.517
  Загузов И.С., Поляков К.А. Математическое моделирование течений вязкой жидкости вблизи твердых поверхностей. Самара: Изд-во Самарского университета, 1999. ...........с.
 ISBN. 5-230-06019-0
 
 
  В учебном пособии к спецкурсу "Математические модели в теории пограничного слоя" даны теоретические основы аэрогидромеханических течений несжимаемой вязкой жидкости вблизи ограниченных твердых поверхностей. Приведены математические модели течения вязкой жидкости в ламинарном пограничном слое и осредненного турбулентного движения. Рассмотрены решения актуальных задач течений в трубах и обтеканий профилей тел произвольной формы.
  Пособие предназначено для студентов механико - математических факультетов университетов (специальность - прикладная математика) и может быть полезным для научных работников в области аэрогидромеханики.
 Рецензенты: Шахматов Евгений Владимирович, доктор технических наук, профессор, проректор по научной работе Самарского государственного аэрокосмического университета,
 Астафьев Владимир Иванович, доктор физико - математических наук, профессор, проректор по научной работе Самарского государственного университета.
 
 3без объявл,
 
 
 ISBN. 5-230-06019-0 (c) Загузов И.С., Поляков К.А. 1999
 
  ВВЕДЕНИЕ
  В конце XIX столетия наука о движении жидкости распалась на две ветви, почти не связанные между собой. С одной стороны, достигла большого совершенства теоретическая гидродинамика, исходившая из уравнений Эйлера для движения идеальной жидкости. Однако результаты этой так называемой классической гидромеханики во многом резко противоречили опыту. Особенно резкое противоречие получалось в весьма важных вопросах о потере давления в трубах и каналах и о сопротивлении, которое оказывает жидкость движущемуся в ней телу; поэтому классическая гидромеханика имела для практики лишь небольшое значение, что и побудило создать для решения важных проблем, выдвигавшихся быстро развивавшейся техникой, свою собственную науку о движении жидкости, так называемую гидравлику. Эта наука, принявшая резко выраженный эмпирический характер, опиралась на большое число экспериментальных результатов и очень сильно отличалась от теоретической гидродинамики как своими методами, так и своей целью.
  В начале настоящего столетия Л.Прандтль нашел путь, позволивший вновь соединить в одно целое указанные выше далеко отошедшие друг от друга ветви науки о движении жидкости. Кроме того, связав теорию с практикой, Л.Прандтль положил начало направлению, дальнейшее развитие которого в современной гидродинамике привело на протяжении первой половины настоящего столетия к неожиданным успехам. В этом состоит большая заслуга Л.Прандтля. Правда, уже давно было известно, что резкое расхождение между результатами классической гидродинамики и действительностью возникало в очень многих случаях вследствие пренебрежения в теоретических исследованиях вязкостью жидкости. Тогда же были составлены уравнения движения жидкости с учетом трения, так называемые уравнения Навье - Стокса для движения вязкой жидкости. Однако эти уравнения вследствие больших математических трудностей не удалось применить к теоретическому исследованию движений жидкости с трением (за исключением немногих частных случаев). Между тем для воды и воздуха, т.е. для жидкостей, особенно важных в технике, коэффициент вязкости весьма мал, и, следовательно, силы трения, обусловленные вязкостью, получаются в целом очень небольшими по сравнению с остальными силами (силою тяжести и силами давления); поэтому долгое время не удавалось понять, каким образом малые силы трения, которые в классической теории считалось возможным отбрасывать, оказывали тем не менее решающее влияние на процесс движения.
  В 1904 г. Л. Прандтль в своем докладе "О движении жидкости при очень малом трении", прочитанном на математическом конгрессе, указал путь, сделавший доступными теоретические, исследования течений жидкости с трением в практически важных случаях. А именно, исходя из теоретических соображений и некоторых простых экспериментов, Л. Прандтль показал, что течение в окрестности тела можно разделить на две области: на область очень тонкого слоя вблизи тела (пограничный слой), где трение играет существенно роль, и на область вне этого слоя, где трением можно пренебрегать. Эта гипотеза, с одной стороны, позволила получить физически очень наглядное объяснение важной роли вязкости в проблеме сопротивления, а с другой стороны, дала возможность преодолеть математические трудности и тем самым открыла путь теоретическому исследованию течений жидкости с трением. Свои теоретические соображения Л. Прандтль уже тогда подтвердил некоторыми очень простыми опытами в небольшом, построенном им самим, гидроканале. Таким образом, гипотеза Л. Прандтля положила начало восстановлению утраченной связи между теорией и практикой. Теория пограничного слоя Прандтля оказалась чрезвычайно плодотворной и сразу же после своего опубликования дала мощный толчок к дальнейшему развитию теоретических исследований[1]. Под влиянием задач, поставленных в нашем столетии расцветом авиационной и космической техники, новая теория весьма быстро развивалась и вскоре превратилась, вместе с другими важными теориями - теорией крыла и теорией движения газа при больших скоростях, - в основу современной механики жидкости и газа.
  В качестве областей применения теории пограничного слоя упомянем о вычислении сопротивления, возникающего при обтекании тела вследствие трения жидкости о поверхность тела (корабля, профиля крыла, фюзеляжа самолета или корпуса ракеты и т.д.). Особенностью пограничного слоя является его свойство допускать при некоторых обстоятельствах возникновение возвратного течения в непосредственной близости от стенки. С этим свойством связаны отрыв пограничного слоя от тела и возникновение более или менее сильных вихрей на кормовой части обтекаемого тела. Эти явления обусловливают значительное изменение распределения давления вдоль поверхности обтекаемого тела по сравнению с распределением давления в потоке без трения, что приводит к возникновению так называемого сопротивления давления обтекаемого тела. Теория пограничного слоя указывает путь к вычислению этого сопротивления. Далее, теория пограничного слоя дает ответ на важный вопрос о том, какую форму должно иметь обтекаемое тело для того, чтобы не возникало вредного отрыва потока от тела. Однако отрыв потока от тела может возникать не только при обтекании тела, но и при течении жидкости в канале. Следовательно, теория пограничного слоя дает возможность исследовать особенности течения в межлопаточных каналах гидравлических и газовых машин (насосов, турбин). Только на основе теории пограничного слоя могут быть объяснены явления, возникающие при достижении подъемной силой крыла максимального значения и также связанные с отрывом потока. Наконец, теплопередача между телом и обтекающей его жидкостью (или газом) также связана с особенностями течения в пограничном слое.
  Вначале теория пограничного слоя развивалась главным образом в применении к ламинарным течениям несжимаемой жидкости. Эта область применения теории пограничного слоя была в дальнейшем столь глубоко развита в многочисленных исследованиях, что в настоящее время ее можно считать в основных чертах исчерпанной. Позже теория пограничного слоя была распространена также на практически более важные случаи несжимаемых турбулентных течений в пограничных слоях. Существенный успех в этой области, был достигнут только после введения Л. Прандтлем понятия пути перемешивания. Введение этого понятия наряду с выполнением систематических опытов позволило применить теорию пограничного слоя для теоретического исследования турбулентных течений. В дальнейшем, под влиянием сильного возрастания скоростей в аэрокосмической технике, были тщательно исследованы пограничные слои для движений сжимаемой среды. При таких движениях, наряду с динамическим пограничным слоем, образуется температурный пограничный слой, играющий большую роль в теплопередаче между текущей средой и обтекаемым телом. При больших числах Маха тепло, выделяющееся вследствие трения между движущимся телом и средой, приводит к сильному нагреванию поверхности обтекаемого тела. Расчет этого нагревания представляет собой трудную проблему, особенно для ракет и искусственных спутников ("тепловой барьер").
  Все реальные жидкости обладают вязкостью и поэтому их называют вязкими. В некоторых задачах влиянием вязкости можно пренебречь и ввести понятие - идеальная жидкость, вязкость которой равна нулю[2]. Для всех реальных жидкостей и газов такие физические характеристики, как вязкость, теплоемкость, теплопроводность и т.д. зависят от их параметров, например, от температуры. Но во многих задачах с достаточной степенью точности можно полагать эти величины постоянными.
  Идеальная жидкость - это жидкость, не обладающая трением. При движении жидкости без трения между отдельными ее соприкасающимися слоями возникают только нормальные силы (давления), касательные же силы (напряжения сдвига) отсутствуют. Это означает, что идеальная жидкость не оказывает изменению формы никакого внутреннего сопротивления.
  Теория движения идеальной жидкости математически очень глубоко разработана и во многих случаях дает вполне удовлетворительную картину действительных движений. В то же время теория идеальной жидкости совершенно бессильна для решения проблемы изучения сопротивления тела, движущегося в жидкости, так как в этом случае она приводит к результату, что тело, равномерно движущееся в неограниченно распространенной жидкости, не испытывает никакого сопротивления (парадокс Даламбера). Такой совершенно неприемлемый результат теории идеальной жидкости объясняется тем, что в действительных жидкостях между жидкостью и поверхностью обтекаемого тела действуют не только нормальные, но и касательные силы. Эти касательные силы, или, другими словами, силы трения действительных жидкостей, связаны как раз с тем свойством жидкости, которое и называется вязкостью.
  В идеальной жидкости касательные силы отсутствуют, поэтому на поверхности соприкосновения твердого тела с жидкостью в общем случае имеется разность касательных скоростей, т.е. происходит скольжение жидкости вдоль стенки. Напротив, в действительной жидкости на обтекаемую твердую стенку передаются касательные силы (силы трения), и это приводит к тому, что жидкость прилипает к стенке.
  Наличие касательных напряжений (напряжений сдвига) и прилипание жидкости к твердым стенкам существенно отличают действительную жидкость от идеальной. Некоторые жидкости, важные в практическом отношении, например, вода и, особенно, воздух, обладают малой вязкостью. Течения таких маловязких жидкостей во многих случаях хорошо совпадают с течениями идеальной жидкости, так как касательные силы в них в общем являются очень малыми. Поэтому в теории идеальной жидкости вязкость совершенно не учитывают, поскольку это проводит к существенному упрощению уравнений движения, что позволяет построить широкую математическую теорию. Необходимо, однако, подчеркнуть, что в жидкостях даже с очень малой вязкостью, в противоположность идеальной жидкости, прилипание к стенкам все же существует, что является физической причиной указанного выше несоответствия между законами сопротивления для действительной и идеальной жидкостей (парадокс Даламбера).
 Сущность вязкости жидкости можно уяснить на опыте Куэтта. Рассмотрим течение между двумя очень длинными параллельными плоскими пластинами, из которых одна, например, нижняя, неподвижна, в то время как другая движется в собственной плоскости с постоянной скоростью? (см. рис 1). Обозначим расстояние между пластинами через h
 
 и предположим, что давление во всем пространстве, занимаемом жидкостью, постоянно. Опыт показывает, что жидкость прилипает к обеим пластинам, следовательно, непосредственно около нижней пластины скорость жидкости равна нулю, а непосредственно около верхней пластины она совпадает со скоростью ? верхней пластины. Далее, опыт показывает, что в пространстве между пластинами имеет место линейное распределение скоростей, т.е. скорость пропорциональна расстоянию "у" от нижней пластины и выражается формулой
 
  Для того, чтобы существовало такое состояние движения, к жидкости со стороны верхней пластины должна быть приложена касательная сила в направлении движения, уравновешивающая силы трения жидкости. На основании результатов опыта эта сила (отнесенная к единице площади пластины) пропорциональна скорости ? верхней пластины и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинами. Следовательно, сила трения ?, отнесенная к единице площади, т.е. касательное напряжение, пропорционально отношению ?/h, вместо которого можно взять отношение d?/dy. Множитель пропорциональности между ? и d?/dy , обозначенный через ?, зависит от природы жидкости. Он мал для так называемых маловязких жидкостей, например, для воды и спирта, и, напротив, велик для очень вязких жидкостей, например, для масла и глицерина. Таким образом, имеем элементарный закон трения жидкости в следующем виде:
 
  Величина ?[Па?с] называется динамическим коэффициентом вязкости и представляет собой физическую характеристику жидкости. Закон трения, выражаемый вышеприведенным равенством, называют законом Ньютона.
  Необходимо подчеркнуть, что рассмотренное нами движение представляет очень простой, частный случай. Течение, изображенное на рис.1, называется движением чистого сдвига.
  Во многих движениях жидкости, где наряду с силами вязкости действуют также силы инерции, важную роль играет отношение вязкости ? к плотности ?, называемое кинематическим коэффициентом вязкости
 
 Необходимо отметить, что динамическая вязкость сильно зависит от температуры, причем для жидкостей при повышении температуры она уменьшается, а для газов - возрастает. Давление мало влияет на значения ?.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
 
 1.1. Понятие о пограничном слое
  Под пограничном слоем понимают тонкую при известных условиях в поперечном направлении к потоку область течения, где, в отличие от окружающего ее безвихревого потока, движение является вихревым и характеризуется сосредоточенными в этой области резкими изменениями скорости (скоростной пограничный слой), температуры (температурный пограничный слой), концентрации примеси (концентрационный или диффузионный пограничный слой). Скоростным (или динамическим) пограничным слоем называют тонкий слой жидкости, прилегающий к поверхности обтекаемого тела и заторможенный вследствие трения. Температурным (или тепловым) пограничным слоем называется примыкающая к поверхности тела область течения, в которой температура жидкости изменяется от ее значения на стенке до значения температуры внешнего потока жидкости. При этом температура стенки и температура жидкости у стенки принимаются равными друг другу. Диффузионным пограничным слоем называется область течения вблизи стенки, в которой происходит изменение концентрации примеси от ее значения на стенке до значения во внешнем потоке.
 Различают ламинарные и турбулентные пограничные слои в зависимости от ламинарного или турбулентного режима течения в них. Основным условием образования скоростных ламинарных погранслоев является малая вязкость жидкости, или точнее, большое значение числа Рейнольдса
 
 (? - скорость потока; ( - характерный размер), не достигающее, однако, той критической величины, при которой режим течения в пограничном слое становится турбулентным. Аналогично для температурных слоев подобным условием становится достижение больших значений числа Пекле Ре=Pr?Re (число Прандтля , где ? - коэффициент теплопроводности, ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении) , для концентрационных слоев - больших значений диффузионного числа Пекле Реd.
 Физическая картина образования пограничных слоев на твердых поверхностях состоит в следующем. Однородный безвихревой поток, достигнув поверхности твердого тела, "прилипает" к нему частицами, непосредственно соприкасающимися с поверхностью тела, в то время как соседние слои продолжают двигаться с резко увеличивающимися по мере удаления от поверхности скоростями, что приводит к завихренности потока. Образовавшиеся вблизи поверхности вихри, с одной стороны, сносятся набегающим потоком, участвуя в конвекции, а с другой - диффундируют в жидкость, окружающую тело. Если конвекция велика по сравнению с диффузией (что соответствует большим числам Рейнольдса), на поверхности сохраняется весьма тонкий слой заметно завихренной жидкости - так называемый пристенный пограничный слой.
  Имея некоторую начальную завихренность, возникшую при выходе из сопла или сходе с поверхности обтекаемого тела, аналогично образуются "свободные" пограничные слои: "затопленные струи" и "следы" за кормой тела.
  Под толщиной пограничного слоя ? подразумевают расстояние от поверхности обтекаемого тела до такой точки в потоке (у=?), где практически с заданной степенью приближения можно принять продольную скорость в пограничном слое равной ее значению в той же точке внешнего безвихревого потока. Геометрическое место таких точек дает приближенное представление о внешней границе пограничного слоя.
  Необходимо отметить, что безразмерная толщина пограничного слоя , что эквивалентно ?<<(, т.е. поперечные размеры в пограничном слое значительно меньше продольных ( ( - продольный размер обтекаемого тела). Исходя из предположения, высказанного Прандтлем, что силы инерции и силы вязкости внутри пограничного слоя одинакового порядка, и учитывая, что порядок сил вязкости на единицу объема внутри пограничного слоя будет равен (по формуле ), а порядок сил инерции -
  ( в соответствии с выражением ), получим:
  или, откуда
  (где знак ~ означает порядок величины).
  В результате получаем первое основное свойство ламинарного пограничного слоя: , т.е. безразмерная толщина пограничного слоя обратно пропорциональна .
 Полученное равенство выражает общий для всех плоских, стационарных ламинарных пограничных слоев закон изменения их относительных толщин обратно пропорционально корню квадратному из рейнольдсова числа потока.
  Опыт показывает, что в потоках вязких жидкостей или газов около поверхности твердого тела действие сил вязкости в разных областях течения проявляется неодинаково. Оно проявляется заметно там, где возникают большие поперечные градиенты скорости и, как следствие, касательные напряжения велики. По мере увеличения расстояния от стенки действие сил вязкости ослабевает и становится малым на сравнительно небольшом удалении. В обычных условиях течения скорость частиц жидкости ? относительно обтекаемой поверхности на самой поверхности равна нулю. (Необходимо заметить, что область течения, в которой газ можно рассматривать как сплошную среду, прилипающую к обтекаемой поверхности, характеризуют условием . В сильно разреженных газах скорость на стенке не равна нулю). С увеличением расстояния от стенки скорость обтекания быстро увеличивается, приближаясь к скорости внешнего потока??, где поперечные градиенты скорости практически равны нулю, а касательные напряжения, возникающие вследствие трения, пренебрежимо малы. Течение в области, удаленной от поверхности, можно считать совпадающим с потенциальным течением идеальной жидкости и применять к нему закономерности теории идеальной жидкости. В пределах пограничного слоя касательное напряжение от трения очень велико даже при малой вязкости, поскольку очень велик градиент скорости в направлении, перпендикулярном поверхности тела. Во внешнем потоке инерционные силы преобладают над силами вязкости, поэтому уравнения Навье - Стокса переходят в уравнения движения идеальной жидкости.
 Уравнения Стокса движения реальной, вязкой несжимаемой жидкости отличаются от уравнений Эйлера движения идеальной жидкости наличием члена, представляющего влияние вязкости. С математической стороны, этот член меняет общий характер дифференциальных уравнений движения, повышает их порядок. Кроме того, что особенно существенно, к граничному условию непроницаемости твердых стенок (нормальная скорость относительно стенки равна нулю) прибавляется новое граничное условие - отсутствие скольжения жидкости на стенке (составляющая скорости в касательной плоскости к стенке равна нулю). Можно показать, что уравнения Эйлера вообще не имеют решений, удовлетворяющих последнему граничному условию, однако опыты показывают, что распределение давлений по поверхности хорошо обтекаемого крылового профиля и картина линий тока вокруг него мало отличаются от теоретически рассчитанных по формулам безвихревого обтекания идеальной жидкостью. Этот важный экспериментальный факт объясняется тем, что при сравнительно больших числах Re, характерных для практических (в авиации, кораблестроении, турбостроении и т.д.) обтеканий тел, область потока, в которой проявляется влияние вязкости, сводится к весьма тонкому по сравнению с размерами обтекаемого тела пограничному слою, расположенному непосредственно вблизи поверхности тела и распространяющемуся вниз по потоку за телом в виде так называемого аэродинамического следа (рис. 2).
  Вне тонкого, постепенно увеличивающегося по толщине вниз по потоку пограничного слоя реальная жидкость ведет себя как идеальная;
 
 характер движения в ней (слабая по сравнению с пограничным слоем и аэродинамическим следом завихренность) не может привести к сколько-нибудь значительным проявлениям сил вязкости. Наоборот, в пограничном слое, где касательные к стенке составляющие скорости резко меняются от нуля до величины порядка скорости набегающего потока, за счет больших величин производных от скорости по нормами к поверхности тела возникают значительные силы вязкости (), оказывающие резкое влияние на общий характер движения жидкости в пограничном слое. В аэродинамическом следе нет тормозящего влияния твердых стенок, но в нем происходит также связанное с вязкостью вырождение созданного на протяжении пограничного слоя течения в однородный поток вдалеке за телом.
  Принимая жидкость вне пограничного слоя и аэродинамического следа за идеальную, можно считать движение в этой области безвихревым, потенциальным. Только пройдя сквозь область пограничного слоя на поверхности обтекаемого тела, поток становится вихревым и затем, уже оставив тело и попав в область аэродинамического следа, постепенно теряет полученную завихренность, исчезающую вследствие диффузии, причем энергия вихрей превращается в тепло, рассеивающееся благодаря теплопроводности.
  Как показывают непосредственные измерения, пограничный слой при тех больших значениях чисел Re, с которыми приходится иметь дело на практике, очень тонок. Возрастая по толщине от носка крыла к его хвосту, пограничный слой даже в точке максимальной толщины слоя вблизи хвоста крыла, достигает обычно лишь порядка сотых частей хорды. Так, на крыле самолета с хордой 1,5-2 м пограничный слой на режиме максимальной скорости имеет порядок нескольких сантиметров, а на корабле, длина которого имеет порядок 100 м, может достигать толщины 1 м. Такой тонкий сравнительно с размерами тела слой не может произвести значительных возмущений во внешнем по отношению к нему безвихревом потоке, чем и объясняется совпадение картин обтекания тел реальной и идеальной жидкостью. Важно отметить, что характерная для движения вязкой жидкости в тонких слоях неизменность давления в поперечном к потоку направлении приводит к тому, что давление на внешней границе пограничного слоя передается сквозь пограничный слой без изменений на поверхность обтекаемого тела.
 В приведенном рассуждении терминам границы и толщины пограничного слоя не придается точного количественного смысла. Эти понятия лишь качественно характеризуют поперечный размер области, где скорости от нулевого значения на стенке изменяются до величины порядка скоростей внешнего потока. Так, например, под толщиной погранслоя можно подразумевать такое расстояние от стенки, на котором скорость будет отличаться от скорости внешнего потока на 1%. По свойству вязкости жидкости тормозящее влияние стенки распространяется на всю область движущейся жидкости, однако влияние это имеет асимптотический характер и практически исчезает на конечном расстоянии от поверхности тела, что и позволяет в допустимом приближении говорить о толщине пограничного слоя и о его внешней границе. Следует обратить внимание на то, что эта граница не совпадает с какой-нибудь линией тока. Линии тока внешнего безвихревого потока входят в пограничный слой, пересекая его границы.
  Малость толщины пограничного слоя по сравнению с протяженностью обтекаемого тела позволяет упростить уравнения Стокса движения вязкой жидкости в области погранслоя, заменив их некоторой приближенной системой уравнений.
  Уравнения плоского движения вязкой жидкости в пограничном слое были получены впервые Прандтлем. Рассмотрим эти уравнения применительно к ламинарному пограничному слою.
 
 1.2. Ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
 Он образуется при больших числах Re, при которых уравнения движения Навье-Стокса превращаются в уравнения Эйлера. При этом порядок уравнений Эйлера ниже, чем у уравнений Стокса. Такой прием можно использовать для внешней (вне пограничного слоя) области потока с обычными для уравнений Эйлера граничными условиями равенства нулю нормальной составляющей скорости на поверхности тела (условие непроницаемости поверхности) и задания скорости в бесконечном удалении от тела. Это означает, что во внешней области жидкость рассматривается как идеальная (невязкая). В пограничном же слое, имеющем поперечную к потоку толщину порядка происходит падение скорости потока, и главным граничным условием является равенство нулю касательной составляющей скорости на поверхности обтекаемого тела (условие "прилипания"). Падение скорости в погранслое обусловливается вязкостью жидкости, которой здесь пренебречь нельзя, несмотря на большие значения чисел Re. Математически это проявляется в том, что градиенты скорости в погранслое велики и поэтому вязкие члены в уравнениях движения, содержащие производные от скорости по координатам, конечны, несмотря на малость коэффициента вязкости ?. Поэтому во внутренней (определяемой погранслоем) вязкой области потока порядок уравнений, определяемый наличием вязких членов, должен быта сохранен и граничное условие "прилипания" жидкости к твердой стенке должно быть удовлетворено. Оценка сравнительной величины отдельных членов уравнений Стокса во внутренней области потока показывает, что в ней уравнения Стокса, относящиеся к эллиптическому типу, могут быть упрощены и сведены к уравнениям параболического типа, что правильно отражает особенности движения вязкой жидкости в погранслое.
  В классической постановке теории пограничного слоя предполагается, что движение невязкого потока во внешней области заранее рассчитано, а внутреннее решение (для погранслоя) подчинено условию "прилипания" вязкого потока на твердой стенке и должно асимптотически переходить во внешнее решение при удалении от стенки.
  Тот факт, что влияние вязкости жидкости должно сказываться лишь вблизи самой обтекаемой поверхности, был указан еще Д.И.Менделеевым в 1880 году в его исследованиях по сопротивлению жидкостей движущимся телам. Математическая теория пограничного слоя была дана Л.Прандтлем в 1904 году.
  Изучение движения вязкой жидкости в области пограничного слоя основывается на интегрировании уравнений пограничного слоя, выведенных Прандтлем. Решение этих уравнений (как будет показано ниже) представляется первым членом разложения решения уравнений Стокса в ряд по степеням малого безразмерного параметра (отношения масштаба толщины пограничного слоя к характерному для потока в целом масштабу обтекаемого тела, например, хорде крыла), имеющего порядок .
  Пограничный слой играет основную роль в процессах динамического (сопротивление, подъемная сила) и термодинамического (тепло- и массообмен) взаимодействия потока реальной жидкости или газа с омываемым ими твердым телом.
 
 
 1.3 Математическая модель движения вязкой несжимаемой жидкости в ламинарном пограничном слое
 Выведем уравнения пограничного слоя в случае плоского движения несжимаемой вязкой жидкости, отвлекаясь для простоты от действия объемных (массовых) сил. Кроме того, пользуясь малостью толщины погранслоя по сравнению с размерами твердого тела (?<  
  (1.1)
 (1.2)
 и уравнение неразрывности:
  (1.3)
 Левые части первых двух уравнений - нелинейные, что делает задачу весьма сложной. Вводя теорию пограничного слоя, можно в значительной части упростить математическую формулировку задачи плоского обтекания тела дозвуковым потоком.
  Используем далее метод афинных преобразований, у которых собственные масштабы продольных и поперечных координат будут различными (в отличие от подобных преобразований, где существует один собственный масштаб по всем координатам).
  Обозначим собственный масштаб продольных величин через (x, собственный масштаб поперечных величин - через (y. Соответственно этому, масштабы для чисел Маха запишутся как Мх,? и Му,? а для скоростей потока - ?х,?; ?у,?. Тогда:
 .
 Введем также значение р=р??р1. Параметры х1, у1, ?x1,?у1, р1 - безразмерные величины.
 Подставляя эти выражения в систему уравнений (1.1) - (1.3), получим:
  (1.4)
  (1.5)
  (1.6)
 Приведем систему уравнений (1.4)-(1.6) к безразмерному виду, используя правило Бертрана, которое гласит, что если уравнение описывает физический процесс, то размерности правой и левой частей уравнения одинаковы. Тогда, разделив уравнение (1.4) на член , уравнение (1.5) - на , а уравнение (1.6) - на , получим безразмерную систему уравнений:
  (1.7)
  (1.8)
  (1.9)
 Для того, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности (1.9), необходимо, чтобы в нем . Поскольку для пограничного слоя (х=(, (у=?, то получим или .
 Это второе основное свойство ламинарного пограничного слоя, в соответствии с которым поперечная скорость в области поперечного слоя имеет тот же порядок, что и толщина слоя.
  Продолжим вывод уравнений Прандтля.
  Поскольку на величины (у и ?у,? не наложено ограничений, их можно выбрать такими, чтобы в уравнениях (1.7) и (1.8) и. Тогда из уравнения (1.7) получим следующее:
  (1.10)
 Здесь учтено, что число ; число Эйлера .
 Уравнение (1.8) преобразуется к следующему виду:
 (1.11)
 Здесь проведены следующие преобразования для первого члена в правой части уравнения (8):
 а) из условия ? , следовательно .
 Это выражение аналогично первому основному свойству ламинарного пограничного слоя , т.к. (у~?, (х~(;
 б) из условия ? ;
 в) тогда член
 Уравнение (1.9), как было сказано выше, вновь приобретает вид уравнения неразрывности:
  (1.12)
 Известно, что ламинарный погранслой образуется при очень больших числах Re. Если число Re??, то уравнения (1.10), (1.11) приобретут вид (т.к. 1/Re?0):
 ; (1.13)
  (1.14)
 В уравнении (1.14) присутствует член (), для упрощения разделим все члены этого уравнения на Re?, тогда оно примет вид
  (т.к. ). (1.15)
 Получили систему уравнений: (1.13), (1.15), (1.12).
  Вернемся вновь к размерным параметрам.
  Используем для этого уже известные соотношения:
 .
 Подставим эти соотношения в уравнение (1.13):
 
 Разделим полученное уравнение на
 .
 Так как было принято, что и , откуда , то с учетом этого получим окончательно:
  (1.16)
 Теперь подставим известные афинные соотношения в уравнение (1.12):
 
 Разделим оба члена на , тогда
 Так как было принято, что , то получим окончательно:
  (1.17)
 Уравнение (1.15) преобразуется к виду: .
 Как видно, система уравнений упрощается. В уравнении (1.16) пропадает член , бывший до афинного преобразования в уравнении (1.1), уравнение (1.2) пропадает из рассмотрения вовсе, так как остается только условие ; сохраняется лишь уравнение неразрывности (1.3) или (1.17).
  Выражение является условием, означающим физически, что перепада давления в направлении нормали к обтекаемому телу нет, имеется перепад давления только вдоль обтекаемого тела (вдоль оси X).Это третье основное свойство погранслоя: во всех точках данного, нормального к поверхности тела, сечения погранслоя давление имеет одно и то же значение. Однако, несмотря на упрощение системы уравнений, остаются следующие трудности:
 а) уравнение (1.16) нелинейно за счет первого члена в левой части;
 б) имеем три неизвестных величины ?х, ?у, р, а уравнений только два, т.е. задача в математическом отношении является некорректной (неопределенной).
 Прандтль преодолевает эти трудности следующим образом: условие , означающее постоянство давления во всех точках данного, нормального к поверхности тела сечения пограничного слоя, позволяет, во-первых, заменить частную производную полной, т.е. , и, во-вторых, считать, что распределение давления р(х) вдоль пограничного слоя совпадает с распределением давления во внешнем безвихревом потоке. Это распределение по теореме Бернулли, справедливой для набегающего на тело безвихревого потока идеальной жидкости, можно связать со скоростью ?? во внешнем потоке. Благодаря тонкости пограничного слоя можно снести эту скорость на поверхность, положив ее равной той, зависящей только от продольной координаты Х скорости скольжения ?х,? жидкости по поверхности тела, которая имела бы место в идеальной жидкости, т.е. при отсутствии пограничного слоя. Таким образом, имеет место обтекание Эйлеровского типа, и согласно уравнению движения Эйлера для стационарных условий обтекания и отсутствия массовых сил получим:
  или (1.18)
 Это условие зависимости давления только от координаты Х (условие на бесконечности). Оно получается из уравнения Эйлера для идеальной среды, которое в векторной форме имеет вид:
 ,
 а в проекции на ось Х:
 .
 При и Fx=0, получаем исходное уравнение (1.18). Внося условие (1.18) в уравнение (1.16), получим окончательную систему уравнений ламинарного пограничного слоя:
  (1.19)
 Эти уравнения, представляющие систему нелинейных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа, были получены Прандтлем в 1904 г. Согласно идее Прандтля внешняя скорость ?х,?, входящая в первое уравнение, считается заданной, заранее рассчитанной по теории плоского безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью. В такой постановке задачи предполагается, что пограничный слой, по всему контуру обтекаемого тела настолько тонок, что его искажающее влияние на внешний поток пренебрежимо мало. Можно сказать, что в этом случае не учитывается обратное влияние пограничного слоя на внешний безвихревой поток. Необходимо отметить, что в некоторых случаях (например, плавное обтекание тонких тел) такое пренебрежение обратным влиянием пограничного слоя на внешний поток вполне допустимо, а в других случаях оно может быть настолько велико, что внешнюю скорость ?х,? приходится вычислять по формуле
 ,
 используя экспериментально замеренное распределение давления по контуру тела.
  Граничными условиями для решения полученной системы уравнений являются следующие:
 1) граничное условие на стенке: при у=0 ?х=?у=0. Оно выражает условие прилипания вязкой жидкости к твердой стенке ( у = 0) - контуру обтекаемого тела;
 2) при у?? ?х??х,?. Это требование асимптотического стремления продольной скорости ?х в области пограничного слоя к скорости ?х,? на границе пограничного слоя с безвихревым потоком. Второе граничное условие можно интерпретировать как операцию "сращивания" решения уравнений Прандтля движения вязкой жидкости в пограничном слое с решением уравнений Эйлера для безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью.
  Теория пограничного слоя позволила объяснить природу явления отрыва потока от твердой поверхности тела плавной формы [3]. Явление это тесно, связано со свойствами прилипания вязкой жидкости к твердой поверхности обтекаемого ею тела и образованием на ней пограничного слоя. Если рассмотреть стационарный отрыв, то он является результатом взаимодействия трех факторов:
 а) инерции потока:,
 б) вязкого взаимодействия между смежными слоями жидкости и твердой поверхностью;
 в) обратного перепада давления, направленного в сторону, противоположную движению.
 ОВ - конфузорный участок;
 ВД - диффузорный участок.
 
  На рис. 4 показаны профили скоростей в потоке, обтекающем тело. Точки А и В находятся в конфузорной области, где отрыв невозможен, так как здесь (скорость вниз по потоку возрастает), а , т.е. давление по потоку убывает. Следовательно, давление в каждой последующей точке будет меньше, чем в предыдущей. Такой градиент давления на стенке будет содействовать движению жидкости в пограничном слое, а не противодействовать ему. В кормовой (диффузорной) области профиля вниз по течению за точкой минимума давления В (см. рис. 4) , (поток замедляется) а также происходит возрастание давления на стенке, и в каждой последующей точке оно больше, чем в предыдущей. Такой градиент давления противодействует потоку, и жидкость в пограничном слое движется из области меньшего давления в область большего давления против подтормаживающего ее перепада давлений. Если бы жидкость была идеальна и скорость на поверхности тела не равнялась бы нулю, то запас кинетической энергии жидкости оказался бы достаточным для преодоления тормозящего поля давлений. В пограничном слое поле давлений, как уже известно, не отличается от поля давлений в идеальной жидкости, между тем как скорости в непосредственной близости к поверхности тела очень малы, а следовательно, и кинетическая энергия частиц жидкости ничтожна. В этих условиях торможение может вызвать остановку, а далее и обратное (см. рис. 4) движение под действием перепада давления, направленного против движения. Встреча набегающего потока с обратно движущейся в пограничном слое жидкостью приводит к резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению пограничного слоя и к отрыву его от поверхность тела. До точки отрыва С (т.т. А,В), как видно из рис. 4,
  , за точкой отрыва (т. Д) ? .
  В самой точке С будет иметь условие отрыва:
 .
 Математически точка отрыва С определяется как точка, в которой трение на стенке равно нулю, т.е.
  или просто
 Приведенное объяснение явления вязкого отрыва показывает, что отрыв потока может возникнуть только в диффузорной области пограничного слоя, где вязкие взаимодействия в жидкости сосуществуют с обратным по отношению к направлению потока перепадом давлений. Таким образом, точка отрыва С всегда располагается ниже по течению, чем точка В минимума давления (максимума внешней скорости).
  Тормозящее влияние обратного перепада давления является необходимым условием отрыва пограничного слоя с поверхности тела. Так, при постоянстве давления вдоль пограничного слоя отрыв произойти не может . Условие постоянства давления возникает, например, при обтекании тела тонкой сравнительно с размерами тела струей. Внешняя граница такой струи является свободной поверхностью, т.к. граничит с неподвижной средой, в которой давление повсюду одинаково. Отрыв пограничного слоя от поверхности тела в такой струе не происходит, тонкие струи прилипают к поверхности тела, вдоль которой они распространяются. Это любопытное, часто наблюдаемое явление иногда называют эффектом Коанда по имени румынского инженера А.Коанда, который обратил внимание на это явление в 1910 году.
  Отрыв пограничного слоя обычно относят к числу вредных явлений, вызывающих резкое повышение сопротивления обтекаемых жидкостью тел, опасные вибрации их, а в случае внутренних течений по трубам и каналам, проводящие к уменьшению полезного расхода жидкости, возрастанию потерь энергии и уменьшению КПД (коэффициента полезного действия) системы.
 1.4. Интегральные соотношения для ламинарного
 пограничного слоя
  Существует несколько приближенных методов расчета ламинарного пограничного слоя, которые по наглядности результатов расчета и физичности самого процесса расчета конкурируют с численными методами расчета на ЭВМ. Один из них - метод интегральных соотношений - значительно упрощает решение системы (1.19) уравнений Прандтля движения вязкой жидкости в ламинарном пограничном слое:
  (1.20)
 Здесь введено обозначение:, т.к. считаем направление потока на бесконечности параллельным оси ОХ
 Умножим второе уравнение на ?х
 
 и введем этот член, равный нулю, в первое уравнение системы (1.20)
 
 или
 .
 Поскольку и ,
 то первое уравнение системы (1.20) перепишем в виде:
 . (1.21)
 Второе уравнение системы (1.20) - уравнение неразрывности - можно записать в следующем виде:
 . (1.22)
 Покажем это:
 
 ,
 поскольку не зависит от у, и, следовательно, . Сложив оба последних равенства, получаем:
 .
 Второй член в правой части этого уравнения равен нулю, т.к. выражение
  - это исходное уравнение неразрывности, равное нулю.
 Таким образом, приходим к уравнению (1.22).
  Уравнения(1.21) и (1.22) определяют уравнения ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Для решения задачи о пограничном слое выведем интегральное соотношение Кармана, выражающее теорему количеств движения (теорему импульсов) в применении к потоку жидкости в области пограничного слоя.
 Преобразуем оба уравнения в одно, для чего вычтем по отдельности из левой и правой частей уравнения (1.22) уравнение (1.21):
 
 Произведем почленное интегрирование по у от у=0 до у=?, при этом будем пользоваться обычными производными (т. к. производную по времени мы опустили в силу стационарности процесса):
  (1.23)
 В первом члене левой части уравнения (1.23) воспользуемся правилом допустимости перемены порядка дифференцирования и интегрирования, т.е. получаем .
 Второй член левой части уравнения (1.23) имеет после интегрирования вид:
 .
 Используя граничные условия, в соответствии с которыми при у=0 ?х=0 и ?у=0, а при у=? ?х=??, получаем, что этот член уравнения
 .
 Тогда уравнение (1.23) примет вид
 .
 Поскольку при у=? ? ?х=??, то , т.к. ?? не зависит от у. Тогда получим:
 . (1.24)
 Используя выражение для напряжения трения на твердой поверхности обтекаемого тела и учитывая, что , получим в правой части уравнения (1.24) .
  Введем в рассмотрение так называемые интегральные толщины пограничного слоя:
  - толщина вытеснения масс в пограничном слое, учитывающая смещение линий тока из-за наличия вязкости (торможение жидкости в пограничном слое [4]); - толщина потери импульса, учитывающая потерю количества движения на преодоление трения. Преобразуем уравнение (1.24) следующим образом:
 
 Введем интегральные толщины:
 Разделив обе части последнего уравнения на , получим:
 . (1.25)
 Дифференцируя первый член левой части уравнения (1.25), получим:
 
 или окончательно:
  (1.26)
 Это интегральное соотношение или уравнение импульсов впервые было выведено учеником Прандтля -К(рманом и носит название интегрального соотношения Кармана.
  В выводе этого соотношения есть одна некорректность, т.к. используем уравнение Эйлера (см. уравнение (1.21)) на произвольном расстоянии от обтекаемого тела (). Но эта некорректность пропадает, если в интеграле вместо ? взять верхним пределом ? - внешнюю границу пограничного слоя, т.е. .
  Тогда интегральные толщины пограничного слоя будут таковы:
  ; (1.27)
 

<< Пред.           стр. 1 (из 4)           След. >>

Список литературы по разделу