<< Пред.           стр. 2 (из 4)           След. >>

Список литературы по разделу

 и граничные условия следующие;
 1) граничное условие на стенке: у=0; ?х=0 (как и было ранее)
 ;
 2) на внешней границе пограничного слоя у=?; ?х=?х,?=??;
  Необходимо отметить, что если для ламинарного пограничного слоя метод интегрального соотношения не является единственным, то для турбулентного погранслоя этот метод является единственным методом решения задачи.
  В общем случае все задачи о ламинарном пограничном слое могут решаться двумя путями. В первом случае решают дифференциальные уравнения погранслоя с соответствующими граничными условиями и обычно получают значение скоростей во всей области пограничного слоя, т.е. ?х(х,у) и ?у(х,у), а следовательно, и трение на стенке. Такой способ называется точным методом решения задачи о ламинарном погранслое. Во втором случае пользуются не дифференциальными уравнениями, а интегральными соотношениями. При этом задаются некоторой формой профиля скоростей в пограничном слое и, используя интегральное соотношение Кармана, определяют напряжение трения ?w на обтекаемой поверхности, а также такие интегральные величины, как толщина пограничного слоя ?, толщина вытеснения ?* и толщина потери импульса ?**. Такой способ решения называют приближенным методом.
  В качестве примера рассмотрим приближенную математическую модель продольного обтекания вязкой жидкостью плоской бесконечно тонкой пластины. Очевидно, в этом случае давление во всей области потока, как и величина скорости вне пограничного слоя, будут величинами постоянными.
  Граничные условия будут следующие:
 а) при у=0 ?х=?у=0.
 Если рассмотреть первое дифференциальное уравнение пограничного слоя (1.20) - уравнение движения
 
 то, т.к. для бесконечно тонкой плоской пластины скорость потока не изменяется вдоль оси х, при у=0 имеем .
 Таким образом, при у ? 0 .
 б) при у=? ?х=??; и тогда .
  Уравнение импульсов (или интегральное соотношение К(рмана) для этой задачи имеет вид:
 , (1.28)
 т.к. для тонкой плоской пластины.
  Идея интегрального соотношения состоит в задании неизвестного поля скоростей простейшим полиномом:
  .
  Значения коэффициентов а0, а1, а2,... могут быть найдены из граничных условий, причем для определения одного коэффициента полинома требуется одно граничное условие. Таким образом, количество членов полинома должно соответствовать количеству поставленных граничных условий.
  Воспользуемся для начала тремя граничными условиями:
 а) на стенке при у=0 ? ?х=0,
 б) на границе слоя при у=? ? ?х=?? ; .
  Подставив эти граничные условия в полином, в котором берем три первых члена , получим:
 1) при у=0, ? а0=0,
 2) при ,
 3) при .
 Из последних двух уравнений:
 
 находим , и .
 Следовательно, поле скоростей будет иметь вид:
  или в безразмерном виде .
 Зная , можно найти ?*, ?**, ?w:
 
 ;
 
 .
 Отсюда видно, что ?>?*>?**, т.е. толщина пограничного слоя больше толщины вытеснения, а та, в свою очередь, больше толщины потери импульса.
  Из полученных значений ?* и ?** определим: и .
 Величина напряжения трения на стенке определяется формулой: .
 Найдем , продифференцировав выражение для поля скоростей
  по "у":
 , откуда , и, следовательно,
  .
 Тогда уравнение импульсов приобретет вид:
 или (т.к. ), откуда после интегрирования имеем:
 , и .
 Считая, что при х=0 ? ?=0, получим С1=0.
 Окончательно будем иметь: или ,
  где - местное значение числа Рейнольдса.
 Из формулы видно, что толщина пограничного слоя на пластине увеличивается пропорционально , т.е. ; и тогда ; .
 Зная выражение для толщины пограничного слоя ?, можно найти зависимость для напряжения трения на стенке:
 .
 Таким образом, , т.к. .
 Полное сопротивление (в данном случае полное сопротивление трения) можно определить для одной стороны пластины по формуле:
 ,
 где b - ширина пластины, ( - длина пластины.
 Если принять ширину пластины b=1, то Rx для одной стороны пластины будет , а для двух сторон:
 .
  Для пластины в целом величина трения будет определяться удвоенной величиной (две стороны пластины), т.е.
 или .
 
  При b=1 .
 Коэффициент сопротивления трения равен: , (1.29)
 где S=2b?( - площадь поверхности с двух сторон пластины.
 При b=1 ? ,
 где .
 Как видно, , т.е. коэффициент сопротивления обратно пропорционален .
 Еще раз напоминаем, что этот метод для ламинарного погранслоя был открыт Карманом и разработан далее Рэлеем. В действительности, скорости течения на практике так велики, что ламинарное движение переходит в турбулентное, где метод интегральных соотношений является единственным, позволяющим получить конечные результаты.
 
 
 1.5 Математическое моделирование обтекания ламинарным потоком профиля произвольной формы
 Существующие методы приближенного решения задачи о ламинарном пограничном слое на профиле произвольной формы основаны на решении уравнения импульсов. Рассмотрим один из наиболее простых методов, предложенный Н.Е. Кочиным и Л.Г. Лойцянским. Так как в уравнение, импульсов ( 1.26) входят три неизвестных: ?*, ?** и , то все приближенные методы сводятся к тому, чтобы прийти к уравнению с одним неизвестным путем выбора семейства профилей скоростей, зависящего от одного параметра. Выбрав такие профили, можно выразить ?*, ?** и через один параметр и, таким образом, получить обыкновенное дифференциальное уравнение относительно выбранного параметра.
 В качестве такого параметра можно ввести величину f (называемую формпараметром), которая определяется выражением:
 
 .
 Тогда семейство профилей скоростей в ламинарном пограничном слое будет выражаться зависимостью:
 ,
 а параметры ?*, ?** и ?w можно представить в виде:
 ,
  где ;
 .
 Эта формула получается следующим образом: , откуда , т.к. .
 Если обозначить через , то .
 Отсюда ,
 Тогда и уравнение импульсов (1.26) для ламинарного пограничного слоя будет выглядеть:
 .
 Умножив обе части этого уравнения на , получим:
 .
 Учитывая, что коэффициент при втором члене последнего уравнения равен , получим:
 .
 Обозначим: . (1.30)
 Учитывая, что ( из выражения для формпараметра f ), приведем уравнение импульсов к виду:
 .
 Так как , то окончательно уравнение примет вид:
 . (1.31)
 Это дифференциальное уравнение формпараметра.
 
 Зная F(f) , можно при заданном значении ?? решить уравнение (1.31) и найти f(x), а следовательно, ?** и ?w. Из точных решений, подтвержденных экспериментом, было установлено, что F(f) можно приближенно представить в виде линейной функции:
 F(f)=a-b?f.
 
 На рис.5 приведены кривые H(f), F(f) и ?(f), соответствующие точному решению уравнения для ламинарного пограничного слоя. При этом a=0.45; b=5.35. После подстановки значения F(f) в последнее уравнение окончательно получим уравнение импульсов в виде:
 .
 Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующее решение:
 .
 Если точка x=0 совпадает с передней критической точкой обтекаемого тела, в которой скорость внешнего потока ??=0, то из условия конечности значения формпараметра f в этой точке получим с=0 и решение будет иметь окончательный вид:
 .
 Поскольку из этого решения нельзя определить значение формпараметра в точке, где ??=0, то используют уравнение импульсов в виде:
 .
 В точке, где ??=0, для конечности производной необходимо, чтобы F(f)=0. Но тогда из формулы F(f)=a-f?b следует, что в этой точке f|x=0=a/b. Для определения формпараметра f в начальной точке (x=0) можно поступить и следующим образом: из формулы видно, что при х=0 и ??=0, эта точка является особой.
 Раскроем неопределенность типа по правилу Лопиталя, в соответствии с которым
 .
 Тогда .
 Таким образом, зная закон изменения скорости внешнего потока ??(х), по выражению для f можно найти значение формпараметра для любого сечения пограничного слоя.
  Выражая толщину ?** потери импульса через формпараметр f, будем иметь . Зная f и ?**, по кривым на рис. 5 находим H(f) и ?(f) и вычисляем: .
 Так вычисляют все параметры ламинарного пограничного слоя.
  Координаты точки отрыва S (как было показано ранее ) определяются из условия равенства нулю трения на стенке:
  или .
 Тогда .
 здесь .
 Таким образом, в точке S отрыва пограничного слоя от профиля?(f) = 0. Из рис. 5 видно, что ?(f) = 0 при значении формпараметра fs =-0.0681. Знак "-" свидетельствует о том, что отрыв происходит в области диффузора.
  Необходимо обратить внимание, что функция ??(х) определяется методами теории потенциальных течений в предположении, что пограничный слой отсутствует, и затем значения этой функции переносятся на его внешнюю границу. Это равносильно допущению, что ввиду малости толщины слоя он практически не изменяет потенциального потока, обтекающего данную. поверхность. Но в ряде случаев такое предположение оказывается недостаточно точным. Образование пограничного слоя приводит к изменению закона для скорости потенциального потока, т.е. имеет место обратное влияние пограничного слоя. Оно тогда должно учитываться в расчетах, особенно для течений в диффузорах, конфузорах, на начальных участках труб и каналов.
 
 
 
 1.6 Математическое моделирование ламинарного течения
 несжимаемой жидкости в трубах.
  Рассмотрим установившийся ламинарный поток в круглой цилиндрической трубе, предположив линии тока прямыми, параллельными оси трубы (см. рис. 6), Будем рассматривать стационарный процесс, для которого
 
 
 Предположим также, что среда несжимаема т.е. ?=const. Кроме того, будем считать, что скорость потока и профиль скоростей не зависят от продольной координаты. Это так называемое стабилизированное движение, имеющее место в цилиндрической трубе на значительном расстоянии от входа. Следовательно, если направление движения совпадает с осью Х, то проекции скоростей на оси y и z будут равны нулю:
 .
 Используя уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:
  получаем, что и , следовательно, скорость в трубе не зависит от координаты X (условие стабилизированного течения), т.е. ?x=?x(y,z) = ?(y,z).
 Тогда уравнения движения Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости, имеющие вид:
  а) в векторной форме
  б) в проекциях на оси декартовых координат:
 
 после подстановки значений
 ;
  ?x=?z=0; (т.е. );
  (т.е. );
 ?x=?;
 и отбрасывания внешних сил Fx =Fy =Fz =0 преобразуются к виду:
 
  Из этих уравнений следует:
  1) величина давления не зависит от поперечных координат y и z и есть функция только координаты x, т.е. в частности, в круглой трубе давление меняется только вдоль оси, а, следовательно, постоянно в каждом сечении и не зависит от радиуса r ;
  2) так как левая часть первого уравнения зависит только от у и z, а правая часть не зависит ни от у, ни от z, то следовательно, правая и левая части этого уравнения должны быть равны одной и той же постоянной величине, т.е.
 
 Таким образом, уравнение Навье - Стокса для стабилизированного движения жидкости в цилиндрической трубе вдоль оси X будет иметь вид:
  (1.32)
 Если прямоугольную систему координат заменить на цилиндрическую, в которой x=x, y=r*cos(?); z= r*sin(?), то уравнение (1.32) примет вид:
 . (1.33)
 Предполагая, что поток в трубе обладает осевой симметрией, заключаем, что все параметры не зависят от переменной ?, т.е. и . Тогда:
  .
 Так как , то уравнение Навье - Стокса перепишется в виде:
 .
 Выполним последовательно двойное интегрирование.
 После первого интегрирования получим:
  или .
 Проинтегрируем еще раз: (1.34)
 Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий. Для круглой трубы с радиусом R они могут быть записаны так: при r=R (внутренний радиус трубы) скорость ?=0; при r=0 скорость ? - конечная величина.
 Так как скорость потока в трубе должна иметь конечное значение (или нулевое при r=R ), а при r? 0 формула (1.34) дает бесконечное значение скорости на оси, то физически реальный результат получим лишь при C1 = 0. Используя первое граничное условие, найдем:
  и тогда (1.35)
 Таким образом, для круглой трубы имеем параболическое распределение скоростей по сечению (рис. 7).
 
 На оси трубы, т.е. при r=0, скорость потока достигает максимального значения:
 .
  Тогда
 или в безразмерном виде
 .
 Очевидно, что пространственная эпюра скоростей представляет собой параболоид вращения с основанием ?R2 и высотой ?max. Для цилиндрической трубы можно записать
 ,
 где ?p - перепад давления в трубе длиной (.
 Определим среднюю расходную и максимальную скорости в круглой трубе. Объемный расход жидкости равен:
 
 Этот результат получается следующим образом:
 .
 Тогда
 Поскольку расход Q связан со средней скоростью формулой , то , т.е. при ламинарном режиме течения в круглой трубе максимальная скорость жидкости в двое больше средней. Это очень важное свойство ламинарного установившегося движения жидкости в круглой трубе. Отсюда:
 , , .
 Перепад давлений на участке трубы длиной ( определяется как
 ,
 где D - внутренний диаметр трубы.
 Это формула Пуазейля, исследовавшего законы движения крови по капиллярным сосудам.
  С другой стороны, для установившегося движения в цилиндрических трубах перепад давления определяется по формуле Дарси - Вейсбаха:
  , где ? - коэффициент трения.
  Приравнивая оба равенства, получим: , откуда
  ,
 где - число Рейнольдса, составленное по средней (расходной) скорости и диаметру трубы D.
  Выражение коэффициента сопротивления ? как функции числа Рейнольдса () называется законом сопротивления ламинарного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.
  Необходимо отметить, что полученные соотношения пригодны для ламинарного течения только лишь на определенном расстоянии от входа в трубу, после исчезновения начального участка ламинарного потока (см. рис. 8).
 
 Если вход в трубу из резервуара выполнен достаточно плавно, то в начальном сечении 1-1 устанавливается практически равномерное распределение скоростей. По мере движения жидкости тормозящее влияние стенок распространяется на всё большую толщу потока. На некотором участке, называемым начальным, поток имеет ядро, где сохраняется равномерное распределение скоростей, и пристенный пограничный слой, где скорости распределяются неравномерно. Сечение ядра вниз по течению убывает, а толщина пограничного слоя возрастает. В конце начального участка (н пограничный слой смыкается на оси трубы, и ниже по течению устанавливается параболическое распределение скоростей в соответствии с полученными соотношениями.
  Этот характер течения и соответствующие ему зависимости имеют место только при устойчивом ламинарном режиме, т.е. при Re< Reкр. При Re, немного меньших Reкр, в ламинарном потоке периодически появляются кратковременные очаги турбулентности, которые могут на отдельных участках заполнять все сечение потока, образуя "турбулентные пробки".
  При возрастании числа Re, турбулентный режим в каждом сечении существует все более длительное время и, наконец, поток становится турбулентным. Появление турбулентных очагов наступает тем раньше, чем больше возмущений испытывает поток при входе в трубу. Если вход сделать плавным и устранить другие источники возмущений, то ламинарный режим можно получить и при больших числах Re (например 20.000). Однако такие "затянутые" ламинарные режимы оказывались неустойчивыми, т.е. внесение в поток даже очень малых возмущений приводило к турбулизации. Поэтому критические значения числа Re следует понимать как границу устойчивого ламинарного режима в том смысле, что при. Re < Reкр любые внешние возмущения, вносимые в поток, будут с течением времени затухать и поток сохранит ламинарный характер. При Re > Reкр в зависимости от условий опыта может существовать ламинарный или турбулентный режим. Для круглых труб Reкр = 2300. Такое определение Reкр соответствует так называемому нижнему критическому числу Re. Верхним критическим числом Re называют то его значение, при котором устанавливается стабильный турбулентный режим.
 
 2. МАТЕМАТИЧЕСОКЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
  ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
 
 2.1. Переход ламинарного течения в турбулентное
  Исторически первыми научными наблюдениями турбулентного движения были опыты английского физика 0. Рейнольдса, в которых он в 1893 году изучал движение воды в круглой цилиндрической трубе [5]. При повышении скорости ламинарно движущейся жидкости было замечено, как на подкрашенную и хорошо видимую вначале прямолинейную струйку начинают накладываться волны, распространение которых вдоль струйки говорит о появлении возмущений в ранее спокойном прямолинейном движении. Постепенно с ростом скорости воды число таких волн и их амплитуда возрастает, пока, наконец, струйка не разобьется на нерегулярные, перемешивающиеся между собой более мелкие струйки, хаотический характер которых позволяет судить о переходе ламинарного движения в турбулентное. Таким образом, с возрастанием скорости ламинарное движение теряет свою устойчивость, при этом случайные возмущения, которые вначале вызывали лишь колебания струек относительно устойчивого их прямолинейного положения, быстро развиваются и приводят к новой форме движения жидкости - турбулентному движению.
  Если местная скорость явно зависит от времени, т.е. изменяется с течением последнего, то движение и соответствующее ему поле скоростей называют неустановившимся или нестационарным. Если в каждой точке пространства вектор имеет постоянное во времени значение, то движение и поле скоростей будет установившимся или стационарным. Если ламинарные течения могут быть как установившимися, так и неустановившимися, то турбулентные течения, строго говоря, всегда являются неустановившимися. Неупорядоченное движение частиц в турбулентном потоке создает резкие изменения местных скоростей во времени, называемые пульсациями скорости.
 
 На рис. 9 приведено изменение местной мгновенной скорости ?х турбулентного потока. Видно, что местная скорость изменяется во времени достаточно резко, однако ее значение колеблется около некоторого среднего. Поскольку использование в расчетах мгновенных скоростей приводит к трудностям, вводится понятие местной осредненной скорости:
 ,
  где ?х - мгновенная местная скорость, Т - период осреднения. Такой способ осреднения не является единственным, но благодаря простоте его широко применяют в гидромеханике. При этом можно предположить, что для каждого турбулентного движения существует такой достаточно большой по сравнению с периодом турбулентных пульсаций постоянный период осреднения Т, что сглаживание по времени приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся, т.е. Если в результате осреднения, проведенного в данной точке в разные моменты времени t, будут получаться одни и те же значения ?х , то осредненное движение называется стационарным, а само турбулентное движение - квазистационарным. Разницу скоростей и называют пульсационной скоростью или просто пульсацией: . Нетрудно убедиться, что осредненное значение пульсации равно нулю:
 
 По правилу осреднения также следует, что среднее значение производной от скорости по координате равно производной от среднего значения скорости по той же координате, т.е., т.к. операции дифференцирования по координате и интегрирования по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная по времени, т.е. . Все вышесказанное относится и к другим проекциям скорости ?у и ?z
 
  Правила осреднения обладают еще и следующими свойствами [6]:
 
  и т.д.
 Величина , полученная в результате осреднения произведения двух пульсирующих функций ?x и ?y, носит наименование одноточечной (в знак того, что значения функций ?x и ?y при интегрировании берутся в одной и той же пространственно-временной точке) двойной корреляции, а отношение - называется коэффициентом корреляции между двумя статистически связанными величинами. Равенство коэффициента корреляции R=(1 говорит о полной, детерминированной связи явлений, описываемых ?х и ?у (причем знак "-" говорит о противоположных фазах колебаний), а равенство R=0 говорит о статистической независимости явлений. Коэффициент корреляции между пульсациями, происходящими в двух разных точках пространства и, вообще говоря, в различные моменты времени, называется коэффициентом двухточечной пространственно - временной корреляции, причем, в зависимости от количества коррелируемых пульсирующих функций, двойной, тройной и т.д. корреляции.
  Пульсационные составляющие скорости могут быть охарактеризованы частотой и амплитудой, которые при турбулентном движении изменяются в широких пределах. В каждой точке турбулентного потока имеют место пульсационные скорости с целым спектром частот: от низких (5-10Гц) до очень высоких(50-100кГц). Средняя амплитуда пульсаций скорости характеризуется величинами равными: ; ; . Обычно степенью интенсивности турбулентности называют среднюю квадратичную величину скорости пульсаций, отнесенную к средней скорости потока:
  где .
 Интенсивность турбулентности изменяется от 0.3% в атмосфере до 7-8% и более в машинах.
  В своих опытах Рейнольдс впервые обнаружил, что переход ламинарного движения в турбулентное обусловливается достижением критического значения некоторого безразмерного числа, или критерия, которое в дальнейшем получило его имя. По опытам самого, Рейнольдса критическое число оказалось равным
  ;
 здесь ?ср - средняя по расходу скорость, d - диаметр трубы. Впоследствии им же было открыто существование нижнего критического значения Reкр ? 2000, такого, что при Re < Reкр движение в трубе оставалось ламинарным, каковы бы ни были введенные в течение возмущения. Вместе с тем было замечено, что путем удаления возмущений на входе в трубу или уменьшения начальной их интенсивности можно искусственно затянуть ламинарное движение в область значительно б(льших значений числа Re, например, до 5?104. Конечно, такое затянутое ламинарное движение не терпит появления даже очень небольших возмущений и сразу же переходит в турбулентное.
 
 2.2. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости
  Явление перехода ламинарного движения в турбулентное в круглой цилиндрической трубе распространяется и на движение вязкой жидкости в пограничных слоях на поверхности твердых тел, в струях и в следах за телами. Если условиться количественно сопоставлять скорость на внешней границе пограничного слоя со скоростью на оси трубы, а толщину погранслоя с радиусом трубы, то можно ввести в рассмотрение число Re? пограничного слоя:, характеризующее поток в данном сечении слоя.
  Многочисленные опыты по определению критического числа для пограничного слоя на пластине привели к значениям, близким к критическому числу трубы. Тот же порядок Re?кр был найден и при обтекании круглого цилиндра, шара и крыловых профилей. При этом было обнаружено, что относительное расположение критического сечения пограничного слоя, в котором ламинарный слой переходит в турбулентный, существенно зависит от степени возмущенности набегающего на тело внешнего потока. При изменении этого фактора изменяется и критическое число Рейнольдса пограничного слоя.
  Наличие того или иного режима движения в пограничном слое обусловлено развитием течения вдоль пограничного слоя. Так, начальный участок слоя обычно бывает ламинарным, за ним располагается переходная область, где одновременно сосуществуют турбулентные зоны потока с ламинарными, и, наконец, область развитого турбулентного потока, состоящая из турбулентного ядра и тонкого вязкого ламинарного подслоя, граничащего с твердой стенкой.
 Вместо Re? можно рассматривать числа и , составленные по толщине вытеснения ?* и толщине потери импульса ?**. В настоящее время широко используется число Re**.
  По опытам на различных крыльях в разных аэродинамических трубах значение колеблется от 600 в сильно турбулентных трубах до 2300 в трубах с очень малой турбулентностью. Наблюдающиеся отличия в значениях для различных крыльев объясняются (кроме различной начальной турбулентности потока), во-первых, разной шероховатостью поверхности крыла, а также тем, попадет ли критическое сечение в конфузорную или диффузорную части пограничного слоя. В области ускоренного течения (конфузорная часть слоя) имеет б(льшие значения, чем в области замедленного течения (диффузорная часть слоя).
  В случае свободного пограничного слоя, как, например, в струе или следе вдалеке за телом, критические числа Reкр очень малы, и практически всегда приходится иметь дело с турбулентными струями и следами за телом.
 
 
 
 2.3. Математическая модель
 осредненного турбулентного движения
  Пусть имеем систему уравнений пограничного слоя:
  (2.1)
 Так как первый член в правой части первого уравнения системы (2.1) записан как , а не , то надо оставить и второе уравнение, чтобы сохранилась корректность системы уравнений пограничного слоя.
  Для описания турбулентного движения Рейнольдс предложил следующий прием. Регистрируя во времени скорости и давления в данной точке потока, можно их представить как:
  ,
 где - действительно существующие в потоке мгновенные (актуальные) проекции скорости и давления; - осредненные во времени их значения; - пульсации проекций скорости и давления.
  Под осредненным значением параметра понимается обычное интегральное среднее по времени t за промежуток T , называемый, периодом осреднения:
  ; ; .
  В турбулентном движении добавляется пульсационная составляющая скорости (рис.10), в результате чего наблюдается вихревое движение, при котором сопротивление значительно возрастает. Таким образом, турбулентное течение обладает б(льшим сопротивлением по сравнению с ламинарным движением.
  Предложение Рейнольдса имеет физический смысл, поскольку турбулентное движение жидкости характеризуется непрерывными случайными пульсациями давления, компонент скорости и других гидродинамических величин. При этом каждая реализация турбулентного движения в одних и тех же условиях индивидуальна, т.е. процесс является случайным (недетерминированным).
 
 Поскольку все пульсирующие величины можно разложить на средние по ансамблю реализаций турбулентного течения - математические ожидания (обозначаемые черточками сверху), и собственно пульсации (обозначаемые штрихами), то и приходим к Рейнольдсову представлению случайного поля:
 .
  (Если ограничиться несжимаемой однородной жидкостью, то ?=const и, следовательно, .
 Поле осредненных величин называется осредненным движением, а поле мгновенных значений - актуальным движением. Если осредненное движение не меняется со временем, поток называется установившимся или стационарным. В силу эргодического свойства стационарных случайных полей в установившемся потоке результат осреднения той или иной гидродинамической переменной по реализациям турбулентного движения совпадает с результатом осреднения по времени для любой одной реализации.
  В настоящее время турбулентное движение принято характеризовать осредненным по времени значением величин. В уравнениях сохранения массы, количества движения и энергии в потоке вязкой жидкости истинные (мгновенные) величины заменяются осредненными во времени их значениями следующим образом. Истинные величины в данной точке турбулентного потока раскладываются на осредненные и пульсационные их значения, что соответствует физическому представлению турбулентного движения. Тогда уравнения неразрывности, движения и энергии для осредненного турбулентного движения несжимаемой жидкости в общем случае получаются из исходных уравнений после замены в них истинных значений переменных осредненными их значениями и пульсациями с последующим осреднением этих параметров по времени. При введении в действие новых переменных добавляется три неизвестных: , и задача переходит в разряд неопределенных. Для устранения неопределенности и применяется усреднение по времени.
 
  Рассмотрим решение задачи. Возьмем, например, уравнение: .
 Проведя операцию осреднения, его можно записать следующим образом:
  или . (здесь , т.к. второе осреднение по условию не меняет результата). Так как левая часть уравнения равна, то . По аналогии ; . Следовательно, среднее значение пульсационных составляющих равно нулю. (Но надо учесть, что ; и т.д.). Применяя вышесказанное к исходной системе уравнений (2.1), можно после определенных преобразований получить уравнения турбулентного пограничного слоя в следующем виде:
 
  (2.2)
 Здесь а) б)в)
  г), где , д) ,
  где .
 Видно, что уравнения такие же, как и для ламинарного пограничного слоя, только с добавкой напряжений от турбулентных пульсаций и , называемых рейнольдсовыми напряжениями.
  Для вывода уравнений турбулентного пограничного слоя надо осреднить исходные уравнения погранслоя, несколько преобразовав первое уравнение - уравнение движения (аналогично случаю ламинарного пограничного слоя).
  Для этого уравнение неразрывности умножим на ?x
 
  и добавим его в левую часть первого уравнения системы (2.1)
  .
 В результате преобразований (как и в случае ламинарного погранслоя - уравнение (1.21)) первое уравнение системы (2.1) получим в виде:
 .
 Здесь: ; .
 Проведем над обеими частями этого равенства операцию осреднения:
  (2.3)
  (для первого члена используется правило осреднения ). Так как , то ;
 .
 Так как , то . Аналогично
  и
 Подставляя значения и в уравнение (2.3), получим:
  (2.4)
 Учитывая уравнение неразрывности в осредненном виде:
 , (2.5)
 можно уравнение движения (2.4) записать так:
  (2.6)
 С этой целью левая часть уравнения (2.4) преобразовывается с учетом уравнения неразрывности следующим образом:
 .
 Уравнения (2.5) и (2.6) входят в систему дифференциальных уравнений Рейнольдса осредненного турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости, которую можно окончательно представить в виде:
  (2.7)
 Эта система имеет одинаковый вид как для основного течения жидкости, так и для течения жидкости в погранслое.
  Сопоставим первое уравнение системы (2.7) с уравнением движения вязкой жидкости в напряжениях, которое выглядит следующим образом:
 .
 В случае одномерного стационарного движения и отсутствия массовых сил это уравнение имеет вид:
 . (2.8)
 Сравнивая уравнение Рейнольдса с уравнением движения в напряжениях, можно представить себе правую часть уравнения Рейнольдса как результат подстановки в уравнение в напряжениях вместо величин pxx и pxy суммы вязких напряжений, определяемых обобщенным законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений p'xx и p'xy, возникших за счет наличия в потоке пульсаций, т.е.:
 , .
 В нашем случае
 а) (т.к. в уравнении Прандтля пограничного слоя пропадает член при стремлении Re???).
 . Тогда .
 б) (т.к. в уравнении Прандтля пограничного слоя пропадает член при стремлении Re???). . Тогда .
 Таким образом получаем полную тождественность уравнений движения в напряжениях (2.8) и Рейнольдса (2.7).
  В общем случае трехмерного движения эти дополнительные турбулентные напряжения p'xx, p'xy и т.д. образуют, так же как и вязкие напряжения, симметричный тензор второго ранга:
  (2.9)
 называемый тензором турбулентных напряжений с компонентами , которые называются рейнольдсовыми напряжениями.
  Итак, приходим к выводу: уравнения осредненного турбулентного движения могут быть написаны в той же форме, что и уравнения действительного движения, если только, помимо вязких (ньютоновских) напряжений, учесть еще дополнительные турбулентные напряжения.
  Назовем тензором полного (суммарного) напряжения тензор P, равный

<< Пред.           стр. 2 (из 4)           След. >>

Список литературы по разделу