Приближенный метод решения интегралов
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЛОВ
Ва
Задачи различных областей человеческой деятельности зачастую сводятся к решению определенного интеграла, где f(x) - функция, непрерывная на отрезке [a; b], по формуле Ньютона-Лейбница. Если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления данного интеграла применяют приближенные формулы, т.е. используют метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла необходима помнить следующее: если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то результат вычисления будет численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции
Покажем на примере: разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Точки деления будут: x 0 =a; x 1 =a+h; x 2 =a+2*h, .. , x n-1 =a+(n-1)*h; x n =b. Числа y 0 , y 1 , y 2 , .. , y n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x 0 , x 1 , x 2 , .. , x n .Построить прямоугольники можно воспользовавшись несколькими методами:
- Левые прямоугольники (построение слева на право)
- Правые прямоугольники (построение справа на лево)
- Средние прямоугольники (построение посредине)
Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяют площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников
Сделаем вывод: вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников, где h=(b-a)/n тАУширина прямоугольников
Формула средних прямоугольников: S средих = (S правых + S левых ) /2
МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Создадим программу решения интегралов методом левых прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующеетАж
Program levii;{Метод левых прямоугольников} uses crt; var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real; function f(x:real):real; begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end; begin clrscr; write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a); write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b); write('Введите количество отрезков '); readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a; for i:=0 to n-1 do begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end; writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln; end
a=1 b=2 n=10 S= 18,077
a=1 b=2 n=20 S= 18, 208
a=1 b=2 n=100 S= 18, 270
Ва
МЕТОД СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Создадим программу решения интегралов методом средних прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующеетАж
Program srednii; {Метод средних прямоугольников} uses crt; var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real; function f(x : real):real; begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end; begin clrscr; write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a); write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b); write('Введите количество отрезков '); readln(n); dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2; for i:=0 to n-1 do begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end; write('Интеграл равен ',s:15:10); readln; end
a=1 b=2 n=10 S=18,07667
a=1 b=2 n=20 S=18,368
a=1 b=2 n=100 S= 18,156
ВЫВОДЫ
Ва
Из рассмотренных выше примеров легко заметить, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников мы не можем достигнуть точного значения, т.е. чем больше значение n, тем точнее значение интеграла
Ва
Вместе с этим смотрят:
ПризмаПрикладной нестандартный анализПрименение графиков в решении уравненийПрименение двойных интегралов к задачам механики и геометрии