Доказательства теорем
Т.Сумма смежных углов = 180°
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Признаки параллельности прямых. Е
А В В А А В
С Д Д
Д С С
∠ВАС ∠ДСА внутр. одностор. (1рис)
∠ВАС ∠ДСА внутр. накрест лежащ. (2)
∠ЕАВ ∠АСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. ∠ =, то прямые параллельны.
Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,рпрямые| |.
Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. ∠1=∠2
Но ∠1=∠3 (вертикальные)р∠3=∠2.Но ∠2 и ∠3-накрестлежщие.рПо Т 1 a | | bn
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. ∠=180°, то прямые | |n
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой, то внутр.накрестлеащие ∠=, со-
ответств.∠=, сумма внутр.одност∠=180°.
Перпедикулярные пр-е пересек-ся ∠90°.
1.Через кажд.тчку прямой можно провести ⊥ ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки (∉ данной прямой) можно опустить перпендикуляр⊥ на данную прямцю и только 1.
3. две прямые ⊥ 3-й параллельны.
4. Если прямая ⊥ 1-й из | | прямых, то она ⊥ и другой.
Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого∇ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. ∇ пересек. в 1 тчке -
центр впис. Круга.
4. Все 3 ⊥, восстановленные из середин сторон ∇, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.
5. Средняя линия | | и = ? основания
H(опущ. на стор. a) = 2vp(p-a)(p-b)(p-c)
a
M(опущ на стор a) = ? v 2b2+2c2 -a2
B (-тАШтАЩ-)= 2v bcp(p-a) / b+c
p - полупериметр
a?=b?+c?-2bx, х-проекция 1-й из сторон
Признаки равенства ∇: 2∇=, если = сотв.
1. 2 стороны и ∠ между ними.
2. 2 ∠ и сторона между ними.
3. 2 ∠ и сторона, противолеж. 1-му из ∠
4. три стороны
5. 2 стороны и ∠ , лежащий против большей из них.
Прямоугольный ∇ C=90В° a?+b?=c?
NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний ∇ H= v3 * a/2
S ∇= ? h a =? a b sin C
Параллелограмм
d?+d`?=2a?+ 2b?
S =h a=a b sinA(между а и b)
= ? d d` sinB (между d d`)
Трапеция S= (a+b) h/2 =?uvsinZ= Mh
Ромб S=a h =a?sinA= ? d d`
Окружность L= πRnВ° / 180В°,nВ°-центр∠
Т.Впис.∠= ? L , L-дуга,на ктрую опир∠
S(cектора)= ? R?α= πR?nВ° / 360В°
Векторы. Скалярное произведение
-а-b=|-a| |-b| cos (-a ∧-b),
|-a| |-b| - длина векторов
Скалярное произведение |-a|{x`; y`} и |-b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, =
|-a| |-b| = x` ⋅ y` + x`` ⋅ y``
Преобразование фигур
1. Центр. Симметрия
2. Осевая симметрия (⊥)
3. Симм. Отн-но плоскости (⊥)
4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
- все точки оси переходят сами в себя
- любая точка А∉ оси р АрА` так, что
А и А` ∈ α, α⊥р, ∠АОА` = φ= const, О- точка пересеч. α и р.
Результвт 2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос (x,y,z)р(x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 - движение.
Св-ва подобия.
1. АВС∈(а); A`B`C` ∈(a`)
2. (p) р (p`); [p)р[p`); αрα`; ∠Aр∠A`
3. Не всякое подобие- гомотетия
NB! S` = k? S``; V ` = k 3 V ``
Плоскости.
Т. Если прямая, ∉ к.-л. плоскости α , | | к.-л. прямой, ∈ α, то она | | α
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й α | | двум пересек. прямым другой β, то α | | β.
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак ⊥ прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, ⊥каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ⊥.
Т. 2 ⊥ к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ⊥, то и другая ⊥ плоскости.
Т. Признак ⊥ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ⊥ к др. п-сти, то он ⊥ этой л-сти.
Дано [a)⊥ β,[a) ∈α,α ∪β= (p).Д-ть: α ⊥ β
Док-во. [a)⊥ β=•М. Проведем (b) через М, (b)⊥(p). (a)∧(b) - линейный ∠ двугранного угла между α и β. Так как [a)⊥ βр(a)⊥(b)р (a)∧(b)=90В°рα ⊥ βn
Т. Если 2 пл-сти взаимно ⊥, то прямая
1-й пл-сти ⊥ линии пересеч. пл-стей, ⊥ 2-й пл-сти.
Т. О 3-х ⊥. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ⊥ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ⊥ проекции наклонной.
Многогранники
Призма. V = S осн ⋅ a - прямая призма
a - боковое ребро , S пс- S ⊥-го сечения
V = S пс ⋅ а - наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех ∇.
Фигуры вращения
Цилиндр V=πR?H; S= 2πR (R+H)
Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * πR?H
S= Sосн+ Sбок= πR (r + L); L-образующая
Сфера ВлоболочкаВ» S= 4πR?
Шар М= 4/3 πR3
Вместе с этим смотрят:
Евклид - жизнь и сочиненияЖенщины-математикиЗадания по численным методамЗадача оперативного планирования производства