Колебания. Правила сложения колебаний

КОЛЕБАНИЯ. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

Ва

Ва

Содержание

Определение колебаний.         *

Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма.         *

Методом вращающегося вектора амплитуды.         *

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.         *

Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты.         *

Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу.         *

Ва

Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва Ва

Ва

Определение колебаний.

       Колебаниями называются движения или процессы, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени. Колебания, описываемые уравнением

,

где x тАУ смещение колеблющийся величины от положения равновесия; w - циклическая частота, определяющая число колебаний, совершаемые за время 2 ПА секунд;t - время

называют гармоническими

Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма.

Методом вращающегося вектора амплитуды.

Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды

Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически

1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x

2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый О±

3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ПЙ 0 , получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A , а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой

Ва

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y , изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ПЙ по гармоническому закону:

(1)

Где e x и e у тАФ орты координатных осей x и y, А и B тАФ амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия

В случае колеблющейся частицы величины x и y можно представить в виде:

,                (2)

Они определяют координаты частицы на плоскости xy.

Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой будет двигаться частица. Вид траектории зависит от разности фаз обоих колебаний

Исключив из уравнений (2) параметр t, получим уравнение траектории в обычном виде. Из первого уравнения: (3). Соответственно (4)

По формуле для косинуса суммы:

, тогда

Преобразуем это уравнение

       (5)

Получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз О±

Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х 1 и x 2 одного направления и одинаковой частоты:

, (1)

Оба колебания представим с помощью векторов A 1 и А 2 . Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A 1 и А 2

Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:

Вектор A вращается с той же угловой скоростью ПЙ 0 , как и векторы А 1 и А 2 , так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой (ПЙ 0 , амплитудой A и начальной фазой О± . Используя теорему косинусов получаем, что

Ва

(2)

(3)

Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления

Ва

Ва

Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу.

1. Разность фаз О± равна нулю.

При разности фаз, равной нулю, уравнение (5) упрощается следующим образом:

Отсюда :

- уравнение прямой

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ПЙ и амплитудой, равной (рис. 1 а)

1. Разность фаз О± равна В±ПА.

При разности фаз О± равной В±ПА уравнение (5) имеет вид

- результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

(рис. 1 б)

Ва

Ва Ва Ва Ва

                                               Рис.1

Ва

1. Разность фаз равна

.

Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности

При разности фаз, равной .уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Если амплитуды А и В равны, эллипс превращается в окружность

Равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ПЙ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

,

(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус тАФ движению по часовой стрелке)

При разных частотах взаимно перпендикулярных колебаний, траектории результирующего движения будут имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу

Ва

Ва Ва Ва Ва Ва

Фигура Лиссажу для

отношения частот 1:2 и

разности фаз ПА/2

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз ПА /2

Вместе с этим смотрят:

Комбинаторика
Комплексные числа
Комплексные числа в планиметрии
Комплексные числа и действия над ними