Кривые и поверхности второго порядка
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Кривые второго порядка
1.1. Эллипс
Эллипс тАУ это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фикВнсированных точек плоскости, называеВнмых фокусами, есть постоянная величина. Необходимо, чтобы эта поВнстоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса приВннято обозначать через F 1 и F 2.
Выведем уравнение эллипса
Пусть М тАФ произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2. Отрезки F 1 М и F 2 М (так же как и длины этих отрезков) назыВнваются Ва фокальными радиусами точки М. ПоВнстоянную сумму фокальВнных раВндиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:
F 1 М + F 2 М = 2а
Расстояние F 1 и F 2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокуВнсами F 1 , F 2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r 1 и r 2 расстояния от точки М до фокусов ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М). Точка М будет нахоВндиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
r 1 + r 2 = 2а
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r 1 и r 2 их выражеВнниями через координаты х, у
Заметим, что, так как F 1 F 2 = 2с и так как фокусы F 1 и F 2 распоВнложены на оси Ох симметрично отВнносительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приВнняв это во внимание находим:
Заменяя r 1 и r 2 , получаем:
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полуВнчим:
или ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
а 2 х 2 тАФ 2а 2 сх + а 2 с 2 + а 2 у 2 = а 4 тАФ 2а 2 сх + с 2 х 2 Ва ,
откуда
(а 2 тАФс 2 )х 2 + а 2 у 2 = а 2 (а 2 тАФс 2 )
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
Ва ;
а>с, следовательно, а 2 тАФс 2 >0 и величина b тАФвещественна
b 2 = a 2 тАФc 2 ,
тогда
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ,
или ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса
Уравнение
,
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расВнстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой Оµ, получаем:
Так как с< a , то Оµ<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы
Заметим, что c 2 = a 2 тАФ b 2 ; поэтому
;
отсюда
ВаВаВа и Ва
Следовательно, Ва эксцентриситет Ва определяется Ва отношением Ва осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксценВнтриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1тАФ Оµ 2 , тем меньше, следоваВнтельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b = a и Оµ=0
Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямоВнугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением
Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что атЙа b и, следоваВнтельно, Оµ=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а> b
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расВнположенные симметрично относиВнтельно центра на расстоянии Ва от него, называются директрисами эллипса
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
Ва и Ва
Первую из них мы условимся называть левой, вторуютАФправой. Так как для эллипса Оµ<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины элВнлипса; аналогично, левая диВнректриса Ва расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:
х 2 + у 2 = R 2
Ва 1.2. Гипербола
Гипербола тАУ это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, наВнзываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F 1 и F 2 , а расстояние между нимитАФчерез 2с
Пусть М тАФ произвольная точка гиперболы с фокусами F 1 и F 2 . Ва Отрезки F 1 М и F 2 М (так же, как и длиВнны этих отрезков) Ва называВнются фокальными радиусами точки М и обозначаются чеВнрез r 1 и r 2 Ва ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М). Ва По определению гиперболы разность фокальВнных радиусов ее точки М есть ВаВа поВнстоянная ВаВа величина; эту постоянВнную принято обозначать через 2а
Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F 1 и F 2 . Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F 1 М и F 2 М через r 1 и r 2 . Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда
r 1 тАФ r 2 = В±2а
Ва Так как F 1 F 2 =2с и так как фокусы F 1 и F 2 располоВнжены на оси Ох симметрично относительно наВнчала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимаВнние находим:
ВаВа , Ва
Заменяя r 1 и r 2 , получаем:
Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе
Возведём обе части равенства в квадрат; получим:
,
или
Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:
c 2 x 2 тАУ 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 тАУ 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 ,
откуда ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа
(c 2 тАУ a 2 )x 2 тАУ a 2 y 2 = a 2 (c 2 тАУ a 2 )
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
Ва ;
с> a , следовательно, с 2 тАФа 2 >0 и величина b тАФвещественна
b 2 = с 2 тАФа 2 ,
тогда
b 2 x 2 тАФ a 2 y 2 = a 2 b 2 Ва ,
или ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа
Ва
Уравнение
Ва ,
определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоВнугольных коордиВннат, есть уравВннение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расВнстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет букВнвой Оµ, получим:
Так как для гиперболы с> a , то Оµ>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. ЗамеВнтив, что c 2 = a 2 + b 2 , находим:
;
отсюда
ВаВаВа и ВаВаВа
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а отВнношение Ва в свою очередь опВнределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы хаВнрактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше Оµ 2 тАФ1, тем меньше, следоВнвательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем боВнлее вытянут ее осВнновной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней гиВнперболы a = b и Оµ =тИЪ2
Рассмотрим какую-ниВнбудь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением
Ва
Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, котоВнрая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии Ва от него, называются директрисами гиперВнболы
Уравнения директрис в выВнбранной ВаВа системе Ва координат имеют вид
Ва и Ва
Первую из них мы услоВнвимся называть левой, втоВнрую тАФправой
Так как для гиперболы Оµ >1, то
Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперВнболы; анаВнлогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной
1.3. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фоВнкуВнсом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой диВнректрисой (предВнполагается, что эта прямая не проходит через фокус)
Фокус параболы принято обозначать буквой F , расстояние от фокуса до диВнректрисытАФбуквой p . Величину р называют параметром параболы
Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расВнстояние от точки М до фокуса ( r = FM ), через d тАФрасстояние от точки М до дирекВнтрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда
r = d
Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d Ва их выражеВнниями через теВнкущие координаты х, у
Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим:
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты Ва отсюда, получаем:
число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда
Заменяя r и d , найдем
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коордиВннаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе
Возведем обе части равенства в квадрат; получим:
или
у 2 =2рх
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у 2 =2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй стеВнпени; таким образом, парабола есть линия второго порядка
2. Уравнения поверхностей второго порядка
2.1. Эллипсоид
2.2. Однополостный гиперболоид
2.3. Двухполостный гиперболоид
Ва
2.4. Конус
2.5. Эллиптический параболоид
2.6. Гиперболический параболоид
2.7. Эллиптический цилиндр
Ва
2.8. Гиперболический цилиндр
2.9. Параболический цилиндр
Вместе с этим смотрят:
Линейная зависимость векторовЛинейное программирование - постановка задач и графическое решениеЛогико-методологические аспекты технического знанияМатематик И. Г. Петровский