Волны в упругой среде. Волновое уравнение

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНОЙ ЭКОЛЛОГИИ.

МЦВО.

РЕФЕРАТ ПО ФИЗИКЕ

на тему

ВлВолны в упругой среде. Волновое уравнениеВ».

Выполнил:

студент группы М-13

машиностроительного факультета

Калинин Валерий.

Преподаватель:

Степанюк Владислав Николаевич.

г. Домодедово.

1999 год.

СОДЕРЖАНИЕ.

стр.

Глава I. Волна.

Вз1. Понятие упругой волны. Поперечные и продольные волны. .................. 2

Вз2. Фронт волны. Длина волны. ............................................ 3

Глава II. Волновое уравнение.

Вз1. Математические сведения. .............................................. 4

Вз2. Упругие волны в стержне.

1) волновое уравнение. ................................................. 5

Вз3. Упругие волны в газах и жидкостях.

волновое уравнение; ................................................. 8
случай идеального газа ............................................... 9

Список использованной литературы. ........................................ 11

Практические задания.

Задача №1. ............................................................... 12

Задача №2. ............................................................... 13

Задача №3. ............................................................... 14

Глава I.

Волна.

Вз1. Понятие волны. Поперечные и продольные волны.

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлеВнкаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечВнной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикуВнлярных к направлению распространения волны. Упругие поперечВнные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлеВннием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Рисунок 1

На рис. 1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены часВнтицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное 1/4vТ, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний,

совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла часВнтицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положеВнния; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положеВнния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения равВнновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь vТ, достигнет частицы 5.

На рис. 2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведеВнния частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоВнростью v.

Рисунок 2

Вз2. Фронт волны. Длина волны.

На рис. 1 и 2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблютВнся не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от исВнточника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и ноВнвые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны предВнставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой коВнлебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поВнверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферичеВнской. В плоской волне волновые поверхности представляют соВнбой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферичеВнской волне тАФ множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия котоВнрых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

Рисунок 3

На рис. 3 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными x в некоторый моВнмент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции (х, t) для некоторого фиксированного момента времени t. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

=vТ, (1.1)

где v тАУ скорость волны, Т тАУ период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2П. Заменив в соотношении (1.1) Т через 1/ ( тАУ частота колебаний), получим

=v (1.2)

Рассмотрев кратко основные понятия, связанные с волной, перейдем к описательной стороне, т.е. волновому уравнению.

Глава II.

Волновое уравнение.

Вз1. Математические сведения.

Этот параграф является математическим введением к тому динамиВнческому рассмотрению волн, которое будет дано в $2. Рассмотрим произвольную функцию

f(at-bx) (2.3) от аргумента аtтАФbх. Продифференцируем ее дважды по t:

(2.4)

Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу atтАФbx. Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х:

(2.5)

Сравнивая (2.4) и (2.5), мы убеждаемся, что функция (2.3) удовлетвоВнряет уравнению

(2.6)

где

u=a/b.

Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция

f(at+bx) (2.7) (2.7) аргумента at+bx, а также сумма функций вида (2.3) и (2.7).

Функции (2.3) и (2.7) изображают при положительных a, b плоВнские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в стоВнрону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).

Уравнение (2.6)тАФдифференциальное уравнение в частных производВнных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (2.3) и (2.7) или суперпозицией таких функций, например,

f1(at - bх) + f2(at+bx).

Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида

(2.6а)

мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заВнключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или суперпозиции таких волн.

Вид функций f1, f2 опреВнделяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.

Пусть источником волн является плоскость х=0, приВнчем на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acoswt. В этом случае от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны

s= Acos(wtkx), k =.

Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовВнлетворяют функции s1, s2,s3, .. в отдельности, то ему удовлетворяет также функция

S == S1 + S2 + S3 + ..

(принцип, суперпозиции).

Рассмотрим несколько примеров.

а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны

s1 = Aсоs(wt тАФ kx), s2= Acos(wt+kx).

На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетвоВнряет стоячая волна

s=2Acoskx coswt

являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.

б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удоВнвлетворяет всякая функция вида

ЭтотАФфункция вида f(atтАФbx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.

в) Пусть волны S1, S2, имеющие вид коротких импульсов, распростраВнняются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции S1 + S2 этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, тАУ волны пройдут Влодна сквозь другуюВ» и притом каждая так, как будто другой не существует.

Вз2. Упругие волны в стержне.

1. волновое уравнение.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат.

Рисунок 4

Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+х. Масса этого куска равна р0S0х, где р0 и S0 тАУ соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть тАУ смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда

слева стоит произведение массы куска на ускорение дВнВнВн2/дt2 его центра тяжести, справа тАУ результирующая внешних сил, действующая на кусок.

Разделим уравнение на S0:

(2.7)

Перейдя к пределу при , получим уравнение

(2.8)

справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.

Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:

(2.9)

Вспомнив теперь формулу , содержащую определение дефорВнмации, и подставив ее в (2.9), получаем:

(2.10)

ЭтотАФволновое уравнение. Оно указывает, что смещение распростраВнняется но стержню в виде волн

(2.11)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распроВнстранения этих волн (скорость звука в стержне)

(2.12)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)тАФодна из основных формул акустики.

Наряду со смещением нас интересуют скорость v = , с которой

.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация и напряжение . Дифференцируя (2.11) по t и но x, получаем:

v=ufтАЩ(x ut) (2.13a)

=f'(x ut), (2.13б)

=EfтАЩ (x ut). (2.13в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распроВнстраняются в виде связанных определенным образом между собой недеВнформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое наВнправление распространения.

На рис. 5 показан пример Влмоментальных снимковВ», относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциоВннальны производной f'{x ut). Физическая интерпретация здесь очеВнвидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжеВнния, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (миВннимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что

(2.14)

где

(2.15)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока).

Вз 2. Упругие волны в газах и жидкостях

Волновое уравнение.

Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непреВнрывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещеВннием мы здесь понимаем (как и в Вз 1) общее смещение вещества, заполВнняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой паралВнлельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню (Вз 1). Мы придем, таким образом, к уравнению

(2.16)

где р = тАФ есть давление в газе или жидкости. Здесь тАФ значение плотВнности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р0. ВеВнличины р0, не зависят ни от х, ни от t.

Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченВнной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилинВндрический столб, параллельный направлению распространения и приВнменить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очеВнредь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.

При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4В° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширеВннии.

Есть однозначная функция плотности:

p=f(p). (2.17)

Введем обозначения

, (2.18) где и тАФ соответственно изменения давления и плотности при наруВншении равновесия.

Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

получаем:

(2.19)

Найдем теперь связь между и деформацией = . Мы сначала выразим через , а затем через :

а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:

P0+=f(+)

разлагая f(+) в ряд по степеням ,

P0+=f()+fтАЩ()+1/2fтАЩ()()2...

Так как P0=f(), то получаем:

=fтАЩ()+1/2fтАЩтАЩ()()2... (2.20)

Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотВннения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разВнложении (2.20) членами, пропорциональными ()2, ()3, . . ., и заменить (2.20) линейным соотношением

=fтАЩ()

Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенВнсивности.

fтАЩ() тАФпостоянный при данных условиях опыта коэффициент, опредеВнляемый состоянием среды при равновесии.

б) Объем V0 в результате деформации превращается в объем

V=V0 (1+), (2.21)

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:

Таким образом,

(2.22)

Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравВннение

(2.23)

(2.24)

Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации расВнпространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость расВнпространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны ( ).

2. Случай идеального газа. Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния

pV=RT, (2.25)

где p тАУ давление, VтАФобъем одного моля, RтАФуниверсальная газовая поВнстоянная, равная 8,3143 эрг/град, TтАФтемпература, измеренная по термодинамической шкале (Влабсолютная температураВ»), или

где МтАФ масса 1 моля, = M/VтАФ плотность.

Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.

Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид

(2.26)

где

постоянная величина (С и С тАФ теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь

(2.27)

(формула Лапласа).

Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе заниВнмался Ньютон. Он считал, что

(2.26а)

т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотВнношение

(2.27а)

Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него (2.26а) вместо (2.26).

Для воздуха ( =1,4) при комнатной температуре (20В° С, Т =293В°) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, Вз 3), мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах.

Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.

Список использованной литературы.

Горелик, Колебания и волны,
И.В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.
Б.М. Яворский, А.А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

Задача №1.

Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а при резонансе 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определить его.

Задача №2.

Две волны Х1=Аsin(wt-kl) и Х2=Аsin(wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц распространяются со v=960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см, начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек для момента времени 7/24 сек.

Задача №3.

Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой тАУ 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v=7 м/с. Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.

Для рецензии и заметок:

Вместе с этим смотрят:

Все формулы школьной физики
Второй закон термодинамики
Второй закон термодинамики для замкнутых и незамкнутых систем
Вывод уравнения Шредингера