Неевклидова геометрия

Министерство образования Российской Федерации

Главное управление общего и профессионального образования

Администрации Иркутской области

Государственное образовательное учреждение

Среднего профессионального образования

Братский педагогический колледж №2

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Неевклидова геометрия

Выполнил:

Студент 3 курса В группы

Вощевоз Светлана Николаевна

Специальность:

0301 ВлМатематикаВ»

Руководитель:

Савельева Екатерина Васильевна

Преподаватель высшей квалификационной категории

г. Братск, 2001

Оглавление.

I. Основные понятия в геометрии Евклида и в современной геометрии.

II. Аксиомы в ВлНачалахВ» Евклида

III. Открытие неевклидовой геометрии.

IV. Из истории неевклидовой геометрии.

V. Заключение.

VI. Библиография.

VII. Приложение.

Геометрия тАУ это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: ВлГеометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человекаВ».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении ВлНачалаВ». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

В своей курсовой работе я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе ( Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского.

Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180В°. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.

Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и соответствует нашим привычным представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.

Начала Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строгого дедуктивного изложения геометрии.

Однако в 19 веке после открытия геометрии Лобачевского тАУ Бояй, а затем геометрии Римана и в связи с пересмотром основ математического анализа, предпринятого Больцано, Каши, Абелем Гауссом и другими учеными, логическое построение ВлНачалВ» Евклида стало подвергаться критике. В системе построения было обнаружено много логических дефектов, часть которых была заменена еще в древности. Это касается в первую очередь основных понятий геометрии и евклидовых определений.

Определение нового понятия состоит в раскрытии его содержания в перечислении его существенных признаков (свойств) с помощью других ранее определенных понятий и т.д. В конце концов, мы должны дойти до некоторых, обычно самых простых и немногих понятий, которые являлись исходными, уже логически прямо не определяются, а принимают за основные понятия. Без выделения основных понятий операция логического определения всех других понятий вообще была бы бессмысленной.

Определения, изложенные в ВлНачалахВ» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается первая книга ВлНачалВ».

1. Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по- видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Границы поверхности суть линии.

7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

8. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в

этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, граница и т.д.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определения туманны и непонятны, например, 4 и 7. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки, следует исходить не только из основных неопределенных понятий, но также из некоторых немногих и простых утверждений, то есть недоказуемых предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами (аксиома тАУ греческое слово, означающее Влбесспорное положениеВ», а также ВлпочитаемоеВ»), с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обосновать, то есть доказать все другие предложения, называемые уже теоремами (Этот термин был введен Аристотелем, его употреблял не Евклид, а его комментаторы. Первоначальный смысл этого греческого слова был ВлрассматриваемоеВ»).

У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют за выше названными определениями. Вот они:

Постулаты.

1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2. И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

3. И, чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

4. И, чтобы все прямые углы были равны.

5. И, чтобы всякий раз, когда прямая образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы.

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

4. И если к неравным прибавим равные, то получим не равные.

5. И если удвоим равные, то получим равные.

6. И половины равных, равны между собой.

7. И совмещающиеся равны.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не могут заключить пространства.

Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и ВлчувственнымВ» восприятиям. Например, понятию ВлмеждуВ» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем невозможно.

Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.

Одним из ученых, предвосхитивших неевклидову геометрию, был итальянский монах Джироламо Саккери (1667-1733), преподававший грамматику в иезуитской коллегии в Милане. Здесь под влиянием Джованни Чевы ( Джованни Чева (1648-1734) тАУ итальянский инженер-гидравлик и экономист) Саккери заинтересовался математикой и стал серьезно заниматься ею. Впоследствии он преподавал математику в университете города Павши. На последнем году своей жизни Саккери опубликовал (на латинском языке) книгу под заглавием ВлЕвклид, очищенный от всех пятенВ». В ней он поставил перед собой задачу исправить все недостатки (ВлпятнаВ») ВлНачалВ» Евклида, в первую очередь доказать V постулат. Саккери решительнее и дальше своих предшественников сделал попытку доказать этот постулат от противного. Этот путь он не сумел проделать до конца, но идя по нему, Лобачевский а последствии открыл неевклидову геометрию.

Рассматривая четырехугольник (рис. 1), носящий его имя, Саккери стремится доказать, что гипотезы тупого и острого углов приводят к логическим противоречиям и что остается лишь гипотеза прямого угла, из которой вытекает евклидов V постулат. Он легко опровергает гипотезу тупого угла, он доказывает, что:

1. геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной прямой по одну сторону, не является прямой или окружностью, а другой линией (которую Лобачевский впоследствии назвал эквидистантой, то есть ВлравноотстоящейВ»);

2. две прямые, содержащиеся в одной плоскости (рис. 2), либо пересекаются в одной точке (такие прямые Лобачевский назвал ВлсходящимисяВ»), либо не пересекаются, имея общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они друг от друга удаляются (Влрасходящиеся прямыеВ» в терминологии Лобачевского), либо не пересекаются, удаляясь друг от друга в одном направлении и асимптотически приближаясь в другом (параллельные Лобачевского).

Если бы Саккери пользовался лишь логическими выводами, строгой дедукцией, то никакого противоречия он в указанных выше предложениях не нашел бы. Однако, будучи предубежден о невозможности того, что для евклидова постулата не имелось доказательства, Саккери для опровержения гипотезы острого угла прибег к утверждению чисто интуитивного характера: существование асимптотических прямых якобы Влпротиворечит природе прямой линииВ». Заслуга Саккери состоит, разумеется, не в конечном его установлении промежуточных предложений, выведенных им на основе гипотезы острого угла, которые 100 лет спустя легли в основу новой неевклидовой геометрии Лобачевского.

К числу предшественников последнего, следует отнести и члена Берлинской Академии наук тАУ астронома, математика и философа Иогана Генриха Ламберта, считавшего себя Швейцарским ученым и писавшего одни из своих произведений на французском языке. Другие тАУ на немецком.

В опубликованном после его смерти произведении ВлТеория параллельных линийВ»(1786) Ламберт рассматривает четырехугольник. И исследует, как и Саккери, возможные при этом три гипотезы. Он получает ряд новых результатов геометрии, построенной на гипотезе острого угла, то есть будущей неевклидовой геометрии Лобачевского, в том числе и следующий: если сумма углов треугольника АВС, как известно, меньше двух прямых углов, равна 2d - d, то площадь треугольника пропорциональна d (d - Влдефект треугольникаВ»). В отличие от Саккери Ламберт в своих рассуждениях нигде не отступает от строгой дедукции, и поэтому он не находит противоречия в гипотезе острого угла и признает тщетность всех попыток доказать V постулат. Не смотря на это, однако, Ламберт, как и его предшественники, не считал гипотезу острого угла действительно возможной. На таких же позициях стоял и знаменитый французский математик А.М. Лежандр (1752- 1833), значительно способствовавший своими многочисленными попытками доказать евклидову аксиому параллельности, привлечению внимания математиков первой половины 19 в. к проблеме V постулата.

Эта проблема, как известно, была впервые решена профессором Казанского университета, гениальным русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792- 1856), открывшим в 1862 г. первую неевклидову геометрию, называемую так же Вл гиперболическойВ». Независимо от него к тому же открытию пришел и молодой венгерский математик Я. Бояй. Первый печатный труд по неевклидовой геометрии - статья Н.И. Лобачевского Вл О началах геометрииВ» - появился в 1829г. в Вл Казанском вестникеВ». Через 3 года была опубликована на латинском языке работа по неевклидовой геометрии Вл AppendixВ» (ВлПриложениеВ»), название которой объяснялось тем, что она появилась к одной из работ отца Яноша, математика Фаркаша Бояй. После смерти Гаусса выяснилось, что он также еще до Лобачевского и Бояй пришел к той же геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй с трудом пробивали себе дорогу в науке. Лишь в 70-80г.г. прошлого столетия после появления работ Римана, Кэли, Клейта и Пуанкаре более широким кругом математиков стало ясно, что V постулат недоказуем, так как он не зависит от других аксиом евклидовой геометрии.

Попытки доказательства V постулата принесли большую пользу в том отношении, что выяснили, какие теоремы геометрии относятся на этот постулат и какие от него не зависят. Совокупность теорем геометрии, не зависящих от евклидовой аксиомы параллельности, венгерский математик Янош Бояй назвал ВлабсолютнойВ» геометрией. Все же остальные теоремы, то есть те, при доказательстве которых мы непосредственно или косвенно основываемся на V постулате, составляет собственно евклидову геометрию.

В курсе 6 класса важнейшими теоремами абсолютной геометрии являются следующие: теорема о смежных и вертикальных углах, о равенстве треугольников, о внешнем угле треугольника, о прямой и ломанной, о сравнительной длине перпендикуляра и наклонных, прямая теорема параллельных.

К собственно евклидовой геометрии относятся: обратная теорема параллельных линиях (то есть о том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей соответственные углы равны), теорема о пересечении перпендикуляра и наклонной одной и той же прямой, о сумме углов треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема о сумме углов многоугольника).

На аксиоме параллельности основывается почти весь раздел

ВлПараллелограммы и трапецииВ». В главе ВлОб окружностиВ» все теоремы о форме и положении окружности (за исключением теоремы о том, что через всякие три неколлинеарные точки можно провести окружность и следствий этой теоремы). Теорема о зависимости между дугами, хордами и расстояние хорд до центра, о взаимном расположении прямой и окружности не опираются на аксиому параллельных Евклида. Доказательство многих теорем раздела ВлО вписанных и описанных многоугольникахВ» существенно основывается на приложении о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных углов, а это приложение в свою очередь вытекает из теоремы о сумме углов треугольника тАУ теоремы, непосредственно связанной с евклидовой аксиомой параллельных. Теорема о том, что во всякий треугольник можно вписать окружность, не требует евклидовой аксиомы параллельных.

Раздел ВлПодобные фигурыВ» также построен на аксиоме параллельных, так как с самого начала лемма, доказывающая существование подобных треугольников опирается на евклидову теорию параллельных, на аксиому параллельности (Влпрямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника отсекает от него треугольник, подобный данномуВ»). Сюда относятся и все теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге, в том числе и теорема Пифагора.

В разделе ВлПравильные многоугольникиВ» теоремы о построении правильных многоугольников циркулем и линейкой опирается на аксиому параллельных, тогда как теорема о том, что около всякого правильного многоугольника можно описать окружность, принадлежит абсолютной геометрии. Теоремы о площадях фигур связаны с аксиомой параллельности Евклида, так как единицей измерения площадей избирается квадрат тАУ понятие евклидовой геометрии.

В стереометрии к абсолютной геометрии относятся разделы об определении положения плоскости ( в том числе основные свойства плоскости), о перпендикуляре и наклонных к плоскости, о двугранных и многогранных углах, об угле прямой с плоскостью. Предложения, заключающие понятие параллельности, связаны с указанной аксиомой. Далее в 10 классе, все утверждения, содержащие понятие площади поверхности и объема, опираются на постулат Евклида.

В отношении геометрических построений следует иметь в виду, что к задачам абсолютной геометрии принадлежит построение треугольника по трем его сторонам или по двум сторонам и углу между ними, проведение перпендикуляра из точки на прямой к данной прямой. Не опираясь на V постулат можно решить также задачу о проведении касательной к данной окружности из внешней точки. Только в целях упрощения эта задача решается в учебниках при помощи аксиомы параллельных Евклида. На постулат Евклида опираются почти все задачи, содержащие в условии понятия площади и параллельности.

Два тысячелетия бесплодных усилий и крушений всех попыток (в том числе и своей собственной, основанной на методе приведения к абсурду) доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, то есть из них не вытекает, и поэтому его доказать нельзя.

Но если V постулат не зависит от других аксиом, то допуская все другие аксиомы (абсолютной геометрии), мы можем принять или не принять евклидов постулат. В первом случае мы получаем известную классическую евклидову геометрию, названную Лобачевским тАЬупотребительнойтАЭ. Если же вместо евклидовой аксиомы параллельности принять другую, ей не эквивалентную, получим новую, неевклидову геометрию. Лобачевский и сформулировал новую аксиому параллельных, прямопротивоположную аксиоме Евклида: тАЬЧерез точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере дветАЭ. Заменив этой аксиомой V постулат Евклида, Лобачевский разработал свою неевклидову геометрию, которая оказалась такой же логически безупречной, правильной, как и геометрия Евклида.

Если из т. С вне прямой АВ (рис.3) опустить на нее перпендикуляр СD и построить перпендикуляр СN к CD, то без помощи аксиомы параллельных доказывается, что NNтАЩ || АВ.

Постулат Евклида утверждает, что из всех прямых плоскости АВС, проходящих через т. С, только одна прямая NNтАЩ не встречает прямой АВ. Отказываясь от этой аксиомы, Лобачевский допускает, что через т. С проходит по крайней мере еще одна прямая CL не пересекающая АВ.

Аксиома Лобачевского кажется на первый взгляд странной, т.к. противоречит установившимся геометрическим представлениям. Однако при более глубоком анализе вопроса надо признать, что в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен лишь в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на расстоянии, отходящим за пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах определенной части плоскости, как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество ВлпрямыхВ» (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих ВлпрямойВ» АВ, например, CL, CM и другие (рис.4).

Таким образом, если отречься от всяких предубеждений, нет никакого основания считать аксиому Лобачевского тАЬхужетАЭ аксиомы Евклида, в смысле ее соответствия физической реальности. Кажущееся преимущество евклидовой геометрии, евклидовой аксиомы состоит в том, что ее содержание соответствует нашим привычным представлениям. Эти представления, однако, основаны на повседневном опыте в пределах сравнительно незначительной части вселенной. Между тем, в истории науки известны факты, когда более точно представленные эксперименты вызывали необходимость изменений, основанных на наглядности гипотез и аксиом, и замены их новыми гипотезами, которые лучше соответствуют объективному материальному миру. Ведь господствовало же у древних представление о том, что Земля плоская. В свое время казалась невероятной гелиоцентрическая гипотеза Коперника для всех людей, веками сжившихся с идеями геоцентрической гипотезы Птоломея. Известный английский математик так и писал: ВлЧем Коперник был для Птоломея, тем Лобачевский для ЕвклидаВ». Между Коперником и Лобачевским любопытная параллель, Коперник и Лобачевский тАУ оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, воззрениях, и обе эти ВлреволюцииВ» имеют одно и то же значение.

Причина их грандиозного значения заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космосатАжВ». По поводу этого сравнения советский ученый, профессор В.Ф. Каган писал, что ВлИстины, открытые Лобачевским, были гораздо глубже скрыты, более неожиданны; их выявление требовало гения более высокого рангаВ» Гелиоцентрическая система Коперника только по иному представила расположение и движение небесных тел в пространстве. Система же Лобачевского дала новое представление о самом пространстве.

Все вышесказанное тАУ это физическая сторона геометрии. Но сейчас важнее математическая сторона геометрии, ее логическая структура.

Из аксиомы Лобачевского вытекают следующие логические следствия:

1) Если прямые CN и CL не встречают прямой АВ, то любая прямая СМ, проходящая через т. C внутри вертикальных углов NCL и NтАЩCLтАЩ также не встретит прямой АВ (рис.3, рис.4). Отсюда первое следствие аксиомы Лобачевского: через т. С вне прямой АВ плоскости АВС, проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с прямой АВ.

2) Если соединить (рис.2) какую-либо точку прямой DB с т. С, получим прямую, допустим, СК, проходящую через т. С и встречающую АВ. Итак, все прямые, проходящие через т. С внутри прямого угла NCD, разбиваются на две категории, на два класса: встречающие прямую АВ (названные Лобачевским ВлсходящимисяВ» с АВ) и не встречающие прямую АВ (их Лобачевский называет ВлрасходящимисяВ» с АВ). Любая прямая первой категории образует с перпендикуляром CD угол, меньший угла, образованного перпендикуляром CD с любой прямой второй категории. Вращаясь непрерывно около т. С в направлении против часовой стрелки, прямая СК на известном этапе, допустим в положении CL, перестанет пересекать АВ и из сходящейся перейдет в категорию расходящихся с АВ прямых. Эта предельная прямая CL, служащая переходной прямой, граничной, отделяющей сходящиеся от расходящихся прямых, и названной Лобачевским параллельной к прямой АВ из т. С. Итак, параллельная CL тАУ это не просто расходящаяся прямая, а первая, граничная расходящаяся, т.е. такая, что любая прямая, проходящая через т. С внутри угла, образованного параллельной CL и перпендикуляром CD, является сходящейся прямой, а всякая прямая, проходящая внутри угла LCN будет расходящаяся с прямой АВ. Угол DCL, образованный параллельной CL с перпендикуляром CD, называют углом параллельности.

В силу симметрии относительно перпендикуляра CD внутри прямого угла NтАЩCD получим картину, аналогично той, которую мы имеем в угле NCD, т.е. построив угол DCF равный углу DCL, получим прямую CF, также параллельную прямой АВ слева от перпендикуляра CD. Итак, через т. С, лежащую вне прямой АВ, проходят в плоскости АВС две прямые, параллельные прямой АВ, в одну и другую сторону этой прямой. Все прямые, проходящие внутри вертикальных углов, образованных параллельными прямыми LLтАЩ и GGтАЩ (в том числе и евклидова ВлпараллельнаяВ» NNтАЩ), расходятся с АВ; все остальные прямые, проходящие через т. С сходятся с прямой АВ.

Следовательно: а) 2 прямые как АВ и NNтАЩ, имеющие общий перпендикуляр CD, расходятся; б) если вращать прямую NNтАЩ около т. С, допустим, по часовой стрелке, а прямую АВ около т.D в том же направлении так, чтобы углы, образованные этими прямыми с пересекающей их прямой CD, оставались равными, то прямые АВ и NNтАЩ остаются расходящимися, т.е. две прямые, образующие при пересечении с третьей прямой равные соответственные углы, расходятся.

3) Из предыдущего положения вытекает, что на параллели Лобачевского различается направление параллельности. Прямая CE параллельна прямой АВ в направлении или в сторону от A к B, прямая CF параллельна той же прямой AB в направлении или в сторону ВА (от В к А) (рис.5).

Несмотря на коренные отличия, понятия параллельности у Лобачевского от одновременного понятия в геометрии Евклида, можно доказать, что ВлпараллельностьВ» в смысле Лобачевского тоже обладает свойствами взаимности или симметрии (если прямая а параллельна прямой в, то в параллельна а). И транзитивности (если а и в параллельны с, то а и в параллельны между собой).

Приведем некоторые другие понятия и факты геометрии Лобачевского:

1. Функция Лобачевского.

Как уже говорилось выше, через т. С в плоскости САВ проходят 2 направленные параллели к прямой АВ (СЕ и CF), симметрично расположенные относительно перпендикуляра CD (рис.5). Угол параллельности, образованный каждой из этих параллелей с CD, является острым, его величина не постоянна и зависит от расстояния CD(в геометрии Евклида угол параллельности всегда прямой). То, что угол параллельности острый, вытекает непосредственно из аксиомы Лобачевского. В изменении этого угла с изменением расстояния CD можно убедиться путем следующих рассуждений (рис.6).

Пусть CтАЩD>CD, CE || AB, в т. С угол параллельности тАУ W. Пусть далее прямая CтАЩE тАШ|| AB в т. СтАЩ угол параллельности - WтАЩ. В силу свойства транзитивности CE ||CтАЩEтАЩ. Ясно, что W¹WтАЩ. Действительно, если допустить, что W= WтАЩ, то следует также допустить, что CтАЩEтАЩ и CE тАУ расходящиеся прямые, как было показано выше, а это неверно.

Построим CтАЩK, образующую с CD угол a= w, ясно, что wтАЩ< a , т.к. параллельCтАЩEтАЩ ближе к перпендикуляру, чем расходящаяся CтАЩK. Итак, w' < w ; отсюда следует, что угол параллельности убывает по мере удаления от прямой АВ; чем ближе т. С к прямой АВ, т.е. чем короче перпендикуляр CD, тем больше угол параллельности. Если обозначить расстояние т. С от прямой АВ, т.е. длину перпендикуляра CD через х, то можно сказать, что угол параллельности есть функция от х, названная Влфункцией ЛобачевскогоВ» и обозначаемая П (х). Это монотонно убывающая функция. При изменении аргумента х от 0 до ¥ функция П (х) непрерывно изменяется соответственно от p /2 до 0. Таким образом , ,

При х Во 0 , иными словами, если оставаться в пределах сравнительно небольших расстояний, то угол параллельности мало отличается от p /2 то есть от этого значения, которое он имеет в евклидовой геометрии, это означает, что геометрия Лобачевского не противоречит, не исключает геометрии Евклида; последнего можно рассматривать как частный случай большой общей геометрии тАУ геометрии Лобачевского. Реальный смысл предельного перехода (при х Во 0) от геометрии Лобачевского к геометрии Евклида состоит в том, что физика изучает, в конечном счете, только ограниченную, сравнительно небольшую часть пространства. Вот почему в окружающей нас среде (даже в пределах нашей планеты) свойства физического пространства приблизительно таковы, какими мы их знаем из Евклидовой геометрии, но для всего пространства, для мира звезд, для вселенной в целом, они иные, неевклидовы.

2. Сумма углов треугольника меньше 2d.

Это предположение эквивалентно аксиоме Лобачевского, то есть из него вытекает эта аксиома и наоборот. Для примера докажем первое. Пусть ( рис.7) в прямоугольном треугольнике CDK сумма углов S= a+b+g<2d, то есть b+g

Прямая CL не может пересечь прямой АВ в какой- либо точке М, так как если бы это случилось, то угол DKC , внешний по отношению к треугольнику KCM , равнялся бы внутреннему, не смежному с ним углу треугольника KCM, что противоречит абсолютной геометрии о внешнем угле треугольника. Итак, через т. С, кроме CN , проходит еще одна прямая тАУ CL, не встречающая прямой АВ ; следовательно, верна аксиома Лобачевского. Разность 2d тАУ S, то есть между 2d и суммой углов данного треугольника, называется угловым дефектом этого треугольника.

3. Предложение Влсумма углов четырехугольника меньше 4dВ» вытекает из предыдущего. Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нет ни прямоугольников, ни квадратов. Вообще сумма углов n тАУ угольника меньше 2d(n-2).

4. Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов. Действительно, пусть d - внешний угол треугольника, смежный с внутренним углом треугольника a , и пусть b и g - остальные его внутренние углы, тогда: a + d = 2d.

Следует, что d > b + g .

5. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны между собой. Это четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского.

Таким образом, в плоскости Лобачевского треугольник вполне определяется своими углами. Стороны и углы зависят друг от друга. Отсюда ясно, что в геометрии Лобачевского нет подобных фигур. Действительно, ведь из существования подобных фигур вытекает евклидова аксиома параллельности (доказательство Валлиса).

6. Площади. Уже известно, что, чем меньше размеры фигур, которые мы изучаем, тем ближе к геометрии Евклида, в которой угловой дефект треугольника равен 0. Доказывается следующая теорема: площадь треугольника прямопропорциональна его угловому дефекту. Чем меньше размеры фигуры, тем меньше ее дефект, тем меньше площадь. Однако угловой дефект по определениям не может превзойти 2d, следовательно, и площадь треугольника в геометрии Лобачевского не может стать больше некоторой, определенной, конечной величины.

Таковы некоторые из основных идей и фактов геометрии Лобачевского. После работы ВлО началах геометрииВ», появились в свет и другие произведения Лобачевского по неевклидовой геометрии: ВлВоображаемая геометрияВ» (1835), ВлПрименение воображаемой геометрии к некоторым интеграламВ» (1836), ВлНовые начала геометрии с полной теорией параллельныхВ», опубликованные в ВлУченых записках Казанского университетаВ» в 1835-1838г.г., ВлГеометрические исследования по теории параллельныхВ» (опубликованы впервые в1840г. в Берлине на немецком языке). Однако идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми даже крупными математиками того времени. Поэтому новая геометрия не была признана современниками, была встречена с полным равнодушием и даже с иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или даже невеждой. Одинокий Лобачевский не отказался от своих идей. Он твердо был убежден в логической правильности неевклидовой геометрии. Чтобы можно было это доказать, Лобачевский предпринимал астрологические наблюдения, и производил измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись расстояниями от Земли до небесных тел, в надежде установить, равна ли сумма углов треугольника 2dили она меньше двух прямых углов. Однако, измерения не могли дать определенного результата в силу их приближенного характера. Лобачевский всю жизнь искал оправдания своей геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество его идей неминуемо.

В 1855г. умирает Гаусс, единственный крупный ученый, сумевший оценить Лобачевского по достоинству при его жизни, хотя и не решившись выступить публично в защиту новой геометрии. В этом же году, Лобачевский, которого постоянное умственное напряжение и тяжелые переживания, перенесенные в борьбе за признание своих идей, довели до потери зрения, диктует последнее свое произведение ВлПангеометрияВ»*. Лобачевский умер в 1856 г. непризнанным, почти забытым.

Не получил признание при жизни и гениальный венгерский математик Янош Бояй (1802-1860). Его ВлAppendixВ», содержащий основы неевклидовой геометрии, изложен исключительно сжато и схематично тАУ вот одна из причин, сделавших это классическое произведение недоступным для его современников.

города Марош-Варигархен. За это время он опубликовал здесь некоторые свои работы, в том числе и теорему о равновеликости и равносоставленности многоугольников, включив ее в важнейший свой труд ВлTemtamenВ» (ВлОпытВ»), более полное заглавие, гласит в русском переводе: ВлОпыт введения юных учащихся в начала чистой математики, элементарной и высшейВ» (1832). В виде приложения именно к этому труду и был опубликован ВлAppendixВ» Яноша Бояй.

--------------------------------

*Греческое слово ВлпанВ» в сложных словах означает ВлвсеВ», ВлПангеометрияВ» - ВлВсеобщая геометрияВ»

После того, как стало известно, что Гаусс считал геометрию Лобачевского логически вполне правильной, Влнеевклидова геометрияВ»(названная так именно Гауссом), привлекла к себе внимание многих математиков. Произведения Лобачевского и ВлAppendixВ» Бояй были переведены на французский, итальянский и другие языки. Однако, выявилось много противников неевклидовой геометрии, которые отнеслись к ней с недоверием, утверждая, что она представляет собой сплошную фантазию, нелепость, которая рано или поздно будет обнаружена. Положение коренным образом изменилось, когда итальянский математик, профессор римского университета Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе ВлОпыт интерпретации неевклидовой геометрииВ»(1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.8), на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.9).Итак, псевдосфера тАУ это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2d. Сторона треугольника тАУ это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников.

Псевдосферу, которую мы назвали ВлмодельюВ», Бельтрами назвал интерпретацией (истолкованием) неевклидовой геометрии на плоскости. Впоследствии, с развитием и введением в математику аксиоматического метода, под интерпретацией (или моделью) некоторой системы аксиом стали понимать любое множество объектов, в которых данная система аксиом находит свое реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение между которыми полностью совпадают с теми, которые описываются в данной системе аксиом. При этом полагают, что если для некоторой системы аксиом существует или можно построить интерпретацию (модель), то эта система аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но и любые теоремы, на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой.

Итак, доказательство логической непротиворечивости той или иной геометрии, можно свести к доказательству существования модели соответствующей системы аксиом.

Первой моделью планиметрии Лобачевского была интерпретация Бельтрами в

Вместе с этим смотрят:

Methods of teaching speech

Modern technologies in teaching FLT

University of Cambridge

WEB-дизайн: Flash технологии

РЖiрархiчна структура управлiння фiзичною культурою i спортом в Хмельницькiй областi у м. КамтАЩянець-Подiльському