Если же функция f определена на [а; b]\{c}, а < с < b, неограниченна в окрестности точки с, но интегрируема на отрезках [а; с-δ] и [с-δ; b] при любом допустимом положительном δ, то определим
Пример 2.5
сходится при р<1 и расходится при р
.
Теорема 2.6 (критерий Коши) Если функция f: (a; b]→R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b] при любом О<δ<δ-a, то 
Васходится тогда и только тогда, когда 
Ватакое, что 
атАЩ, атАЭ : а <атАЩ, атАЭ < а + δ. Будет выполняться условие 
Это утверждение доказывается так же, как и аналогичное утверждение для несобственных интегралов первого рода. Так же вводится понятие абсолютной и условной сходимости и устанавливается соотношение между ними. Так же формулируется и доказывается признак сходимости Вейерштрасса. Интегралы в смысле главного значения
Определение 2.5 Пусть функция f: R→ R, интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, но несобственный интеграл 
Ване существует. Тогда, если существует , мо он называется интегралом в смысле главного значения и обозначается символом
(
p.)
Определение 2.6 Пусть функция f: [а;b ]\{с} → R, а <с < b, неограниченна в окрестности точки с, интегрируема по Риману на отрезках
[а; с тАФ δ] и [с + δ; b] при любом δ> 0, но Ване существует. Тогда, если существует 
Вато он называется интегралом в смысле главного значения н обозначаемся символом (p.)
Пример 2.6 Рассмотрим 
Решение. Это тАФ расходящийся интеграл второго рода, поскольку показатель степени p =1. Однако
Следовательно, рассматриваемый интеграл существует в смысле главного значения и
(p.) 
Пример 2.7 Рассмотрим 
Решение. Этот интеграл расходится, так как подынтегральная функция f(х)~
.
Но 
Следовательно, этот интеграл существует в смысле главного значения и (p.)
Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть f: [а; b] х Y → R, где [а; b] 
ВаR, Y- любое множество,
а [а; b] х Y = {(х, у): х 
Ва[а; b], уY}. Предположим, что 
функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; b].
Определение 2.7 Функцию
ВаВаВа (2.1)
определённую на множестве Y при описанных выше условиях, будем называть собственным интегралом, зависящим от параметра. Изучим свойства этого интеграла, ограничившись простейшим случаем:
У = [с; d] ВаR, и введя обозначение
П [а b] х [с; d] = {(х, у): х Ва[а; b], у Ва[с; d]}.
Теорема 2.7 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b].
Доказательство. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое 
Ва[с; d] и
любое 
Ва> 0 и покажем, что найдётся 
Ва> 0 такое, что если у Ва[с; d] и
, то будет выполняться неравенство 
ВаПрямоугольник П тАФ компактное множество в 
, поэтому по теореме
Кантора функция f равномерно непрерывна на П, следовательно, по выбранному >0 можно указать такое > 0, что если
то будет выполняться неравенство
Положим х' = х"= х, у' = у, у" =
. Тогда
Полученная оценка доказывает не только непрерывность, но и равномерную (поскольку δ не зависит от Ва) непрерывность функции I(у) на отрезке [а; b].■
Теорема 2.8 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
ВаВаВаВаВаВаВа (2.2)
Доказательство. Интегрируемость I(у) вытекает из предыдущей теоремы и теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Равенство же 2.2 следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному. для непрерывной на прямоугольнике П функции существует 
, который может быть сведен к повторному в любом порядке.
Теорема 2.9 Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную 
Вана прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (2.3)
Доказательство. Так как 
Ванепрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у Ва[с; d] можем написать равенство
ВаВаВаВаВаВаВа (2.4)
Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства (2.4). Тогда равенство (2.4) примет вид:
ВаВаВаВаВаВа (2.5)
По теореме 2.7 J(η) тАФ непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем:
что и требовалось. ■ Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у Ва[с; d], функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и 
Ва[с; d] выполняется а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл
Ва(2.6)
Теорема 2.10 Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у), b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством (2.6),непрерывна на [с; d].
Доказательство. Пусть y Ва[с; d]. Покажем, что 
Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.
Ва(2.7)
Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый из них в отдельности. Первый из интегралов тАФ интеграл с постоянными пределами вида 2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому 
Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что
П.
Но тогда
А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то 
Вапри 
, поэтому 
Совершенно аналогично доказывается, что и 
Таким образом,
что и требовалось доказать.
Теорема 2.11 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П и
имеет на нём непрерывную частную производную Ва, а функции а(у) и
b(у) дифференцируемы на отрезке [с; d]. Тогда функция I(у), определяемая равенством (2.6), дифференцируема на отрезке [с; d] и её производная может быть вычислена по формуле
Ва(2.8)
Доказательство. Поскольку дифференцируемость на промежутке есть дифференцируемость в каждой точке промежутка, то возьмём Вана отрезке [с; d] и покажем, что I(у) дифференцируема в точке , и что 
Вапредставляется в виде правой части формулы (2.8). Для этого воспользуемся представлением I(у) в виде (2.7) и покажем, что каждое слагаемое
правой части (2.7) дифференцируемо и вычислим его производную. Первый из интегралов в правой части (2.7) имеет постоянные пределы
интегрирования. Его дифференцируемость установлена в теореме 2.9.
Поэтому
Ва(2.9)
Теперь докажем дифференцируемость и вычислим производную второго слагаемого в правой части (2.7). (Отметим, что 
.) По определению производной
Так как подынтегральная функция непрерывна (по х), то по свойству
определённого интеграла найдётся с = с(у), 
Ва, такое, что
.
Но тогда
так как первый предел существует по теореме о трёх функциях и в силу непрерывности функции f на прямоугольнике П, а второй тАФ в силу
дифференцируемости функции b(у). Итак,
. (2.10)
Совершенно аналогично доказывается, что третье слагаемое в (2.7) дифференцируемо и что
. (2.11)
Итак, все три слагаемых в правой части равенства (2.7) дифференцируемы в точке , значит, и функция I(у) дифференцируема в точке Ваи 
.Ва (2.12)
Подставив сюда значения производных (формулы (2.9), (2.10), (2.11)), получим представление (2.8) в точке .■
Замечание 2.3 Условия теорем 2.7 тАФ 2.11 являются достаточными.
декларируемые в теоремах свойства могут выполняться и при нарушении условий этих теорем. Но быть уверенным в их выполнении при нарушении условий теорем нельзя. Рассмотрим соответствующие примеры.
Пример 2.8 Рассмотрим 
Решение. Подынтегральная функция на прямой у = х терпит разрыв.
Однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет непрерывную функцию от у на всей вещественной прямой.
1.ВаВаВаВаВа Пусть у≤ 0. 
;
2.Пусть о< у <1. I(у)=
3.Пусть у ≥ 1. 
ВаНетрудно убедиться, что функция тАЪ I(у) имеет одинаковые пределы
слева и справа в точках у = 0 и у = 1, поэтому непрерывна. Пример 2.9 Рассмотрим 
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0; 0), однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет интегрируемую
на отрезке [0; 1] функцию.
несобственный интеграл параметр непрерывность
поэтому
Однако попытка проинтегрировать по параметру под знаком интеграла приведёт к иному результату.
■
Пример 2.10 Рассмотрим 
Решение. Легко видеть, что интеграл удовлетворяет условиям теоремы 2.11 на любом отрезке [с; d]. Найдём производную IтАЩ(y), используя формулу 2.8.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть Y тАФ произвольное множество, f: [а; +∞) х Y → R. Предположим, что для каждого у 
сходится 
.
Тогда на множестве
Y определена функция
Ва(2.13)
которую будем называть несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.
Равномерная сходимость
Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.
Определение 2.8 Будем говорить, что интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y, если его остаток равномерно стремится к нулю на этом множестве, то есть, если 
Ватакое, что 
выполняется неравенство
ВаВа (2.14)
Теорема 2.12 (критерий Коши) для того, чтобы интеграл (2.13) сходился равномерно на множестве Y, необходимо и достаточно выполнение следующего условия (условие Коши): , зависящее
только от , такое, что 
Вабудет выполняться неравенство
ВаВа (2.15)
Доказательство. Пусть интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y. Тогда, взяв любое Ва> 0, подберем 
Ватак, чтобы для
любых А> А
и у выполнялось неравенство 
.
Возьмём любые 
Ваи любое у. Тогда
и необходимость доказана.
ВаНаоборот, если выполнено условие (2.15), то оно выполнено для любого фиксированного у. Но тогда по теореме 2.1 для любого фиксированного у Ваинтеграл (2.13) сходится, то есть, для каждого у Васуществует 
ВаПоэтому, положив в (2.15) 
и устремив А" к +∞, получим для любого у
что означает равномерную на Y сходимость интеграла (2.13).
Теорема 2.13 (Вейерштрасс) Пусть f: [a, +∞) → R и для любых
А(> а) и у функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; A].
Пусть g : [а; +∞) →R, для всех х Ва[а; +∞), у Вавыполняется неравенство 
Ваи 
Васходится. Тогда интеграл (2.13) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве Y.
Доказательство. По критерию Коши для несобственных интегралов первого рода (см. 2.1) для любого > 0 найдётся 
такое, что для любых 
Вабудет выполняться неравенство 
ВаНо тогда для любого у , для любых имеем:
Остаётся применить теорему 2.12. .
Пример 2.11 Рассмотрим 
Решение. Этот интеграл сходится равномерно на R, так как имеет место
Оценка 
Ваа 
Васходится. ■
Теорема 2.14 (Дирихле) Пусть функции f, g: [а; +∞) х Y→ R и
интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у.
Тогда 
Васходится равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:
Ва1)
ВаВаВаВаВаВаВаВа равномерно ограничен на [а; +∞), то есть, существует постоянная М такая, что для любых А> а и у
2)функция у(х, у) монотонно по х при каждом у и равномерно по у стремимся к нулю при х→+∞.
Доказательство. Доказательство этой теоремы такое же, как и доказательство теоремы 2.4, нужно лишь проследить, чтобы все оценки выполнялись равномерно по параметру. По первому условию существует постоянная М такая, что для всех
A> а и у имеет место оценка:
ВаВаВаВа (2.16)
По второму условию для любого > 0 найдётся (> а) такое, что
для любых А> Ваи у выполнено
ВаВаВаВаВаВаВа (2.17)
Возьмём и применим к интегралу
вторую теорему о среднем значении (только на этот раз в общем виде, поскольку неизвестен знак g(х, у)), согласно которой найдётся А = А(у), А Ва[АтАЩ, АтАЭ], такое, что
Ва(2.18)
Оценим (2.18) с помощью (2.16) и (2.17).
для любого у из множества Y. Используя критерий Коши, получаем требуемое утверждение. ■
Теорема 2.15 (Абель) Пусть функции f, g : [а; +∞) х Y→R и
интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у. Тогда Васходимся равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:
1) 
Васходимся равномерно на множестве Y;
2)функция g(х, у) монотонна по х при каждом у и равномерно
по у Ваограничена, то есть, существует постоянная М такая, что
для всех х Ва[а; +∞) и у.
Пример 2.12 Рассмотрим 
, где b> 0 постоянная, а параметр а удовлетворяет условию 
Решение. Положим f(x,a)= sinax, g(x,a) 
Тогда
при х → +∞, и это условие (ввиду независимости функции g от а) выполнено равномерно по а. Так как оба условия признака Дирихле выполнены, то рассматриваемый интеграл сходится равномерно в указанной области.
Пример 2.13 Рассмотрим 
Ва(a≥0)
Решение. Положим f(x, а) = 
, g(х, а) = 
. Так как 
сходится равномерно по а (ввиду его отсутствия) по признаку Дирихле, а функция , очевидно, монотонна по х и при х ≥ 0, у ≥0 ограничена, то рассматриваемый интеграл сходится равномерно в указанной области по признаку Абеля. 2.4ВаВаВаВаВа Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Изучим свойства несобственных интегралов первого рода, зависящих от параметра, ограничившись простейшим случаем: множество Y есть отрезок [с; d] вещественной оси. Введём обозначение
и докажем предварительно следующую лемму.
Лемма 2.1 Если интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y
то последовательность функций
,(
)ВаВаВаВаВаВаВаВа (2.19)
тоже равномерно сходится на множестве Y к функции I(y).
Теорема 2.16 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на П
, а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], мо функция I(у), определяемая этим интегралом, непрерывна на [с; d].
Доказательство. По теореме 2.7 функции I
(y) (n ВаN) непрерывны на отрезке [с; d]. По лемме 2.1 последовательность функций I(y) (n ВаN) сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции тАЪI(у). Но тогда по теореме о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций функция I(у) непрерывна на отрезке [с; d].
Следующая теорема является в некотором роде обратной к предыдущей.
Теорема 2.17 (Дини) Если функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна П
, а функция I(у), определяемая интегралом (2.13), непрерывна на отрезке [с; d], то интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d].
Доказательство. По теореме 2.7 функции I(y) (n ВаN) (см. (2.19)) непрерывны на отрезке [с; d]. Так как функция f(x, у) неотрицательна, то последовательность функций I(y) (n ВаN) монотонно не убывает.
Но тогда, поскольку предельная функция тАЪI(у) этой последовательности тоже непрерывна, к ней можно применить теорему Дини для последовательностей, согласно которой последовательность I (у) сходится к функции I(у) равномерно на отрезке [с; d]. Последнее означает, что для любого Ва> 0 найдётся номер n такой, что при n > n для всех у Ва[с; d] справедливо неравенство 
.
Положим 
Ваи возьмём 
. Тогда, учитывая неотрицательность функции f(x, y), для всех у Ваполучаем:
и равномерная сходимость интеграла доказана.
Теорема 2.18 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], то функция I(у), определяемая этим интегралом, интегрируема на [с; d] и справедливо равенство
ВаВаВаВаВаВа (2.20)
Доказательство. Снова рассмотрим последовательность I(у). По лемме 2.1 она сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции I(у), а по теореме 2.8 функции последовательности интегрируемы на отрезке [с; d].
Тогда по теореме об интегрируемости предельной функции равномерно
сходящейся последовательности функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и
Возможность изменения порядка интегрирования следует из той же теоремы 2.8.
Теорема 2.19 Ecли функция f(x, у) непрерывна на множестве П
и
имеет на нём непрерывную частную производную (х, y), интеграл (2.13) сходится, а интеграл
(2.21)
сходится равномерно на [с; d], то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
ВаВаВаВаВаВа (2.22)
Доказательство. Рассмотрим последовательность функций I(y). По условию теоремы эта последовательность сходится на отрезке [с; d] (поскольку сходится интеграл (2.13)). По теореме 2.9 функции I(у) (
N) дифференцируемы на отрезке [с; d], а по лемме 2.1 последовательность производных I
(у) сходится на этом отрезке равномерно. Но тогда по теореме о дифференцируемости предельной функции равномерно сходящейся последовательности функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d]
В некоторых случаях бывает необходимо изменить порядок интегрирования, когда и переменная х и параметр у изменяются на бесконечных промежутках. Пусть
Теорема 2.20 Пусть функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна на К. Интегралы
ВаВаВаВаВа (2.23)
оба сходятся и являются непрерывными функциями соответственно на [с; +∞) и [а; +∞). Тогда равенство
Ва (2.24)
справедливо при условии существования одного из повторных интегралов.
Доказательство. Допустим, что существует левый из интегралов в равенстве (2.24). Покажем, что в таком случае существует и правый интеграл, и что они равны. Для этого достаточно установить, что для любого
с > 0 найдётся А такое, что для любого А> А будет выполняться неравенство
Ва(2.25)
Преобразуем левую часть (2.25). Так как для интеграла
выполнены условия теоремы Дини (теорема 2.17), то он равномерно сходится на любом сегменте [а; А], следовательно по теореме 2.18
Поэтому
где число С пока не определено.
Выберем > О и оценим оба последних интеграла. Так как
сходится, найдётся С
такое, что для любого С> С будет иметь место неравенство
Но тогда, ввиду неотрицательности функции f (x, y), каково бы ни было
А ≥ а, и
ВаВаВаВаВа (2.26)
Выберем и зафиксируем С > С и оценим первый интеграл. По теореме Дини 
сходится равномерно на отрезке [с; С],
поэтому существует Ватакое, что если А> , то для любого у [с; С]
Поэтому
ВаВаВа (2.27)
Оценка (2.25) получена, следовательно, теорема доказана. ■
Вычисление интегралов, зависящих от параметра Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра α:
Укажем без доказательства, что если функция f(x,α) непрерывна по x на отрезке 
, то функция
Является непрерывной функцией на отрезке . Следовательно, функцию I(α) можно интегрировать по α на отрезке:
Выражение, стоящее справа, есть двукратный интеграл от функции f(x,α) по прямоугольнику, расположенному в плоскости Oxα. Можно изменить порядок интегрирования в этом интеграле:
Эта формула показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра α, достаточно проинтегрировать по параметру α подынтегральное выражение. Эта форм
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Актуальные проблемы квантовой механики
Алгебра и алгебраические системы