Уравнения смешанного типа
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа стали изучаться систематически с конца 40-х годов, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения в околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже И.Н. Векуа были найдены приложения этих уравнений и в других разделах физики и механики, в частности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Также повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Проттера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты, полученные ими и их последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [4], Л. Берса [2], К.Г. Гудейлея [6], Т.Д. Джураева [7], М.М. Смирнова [14], Е.И. Моисеева [9], К.Б. Сабитова [12], М.С. Салахитдинова [13].
Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [15], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, В.И. Жегалова [8], А.И. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькиной [10], О.А. Репина [11], А.Л. Скубачевского, А.П. Солдатова и других.
Особо выделим работу А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.
Первые фундаментальные исследования вырождающихся гиперболических уравнений были выполнены Ф. Трикоми в начале прошлого столетия. Для уравнения
Ва(0.1)
он поставил следующую задачу: пусть 
Ваобласть, ограниченная при 
Вагладкой кривой 
Вас концами в точках 
Ваи 
Ваоси 
Ваа при 
характеристиками 
Вауравнения (0.1). Требуется найти функцию 
Ва(
отрезок оси 
), удовлетворяющую уравнению (0.1) в 
Ваи принимающую заданные значения на 
ВаФ. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при определённых дополнительных требованиях относительно поведения 
Вав 
Вагладкости граничных данных и характера дуги . Эта краевая задача и уравнение (0.1) называются сейчас задачей и уравнением Трикоми.
М.А. Лаврентьев с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа предложил новое модельное уравнение
Ва(0.2)
Подробное исследование задачи Трикоми и её различных обобщений для уравнения (0.2) провёл А.В. Бицадзе. Уравнение (0.2) называют сейчас уравнением Лаврентьева-Бицадзе.
Нахушев А.М. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области .
В работах Сабитова К.Б. исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа
в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.
Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применён при обосновании корректности постановки нелокальных начально-граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.
Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения следующих задач:
Рассмотрим вырождающееся уравнение
(0.3)
где 
Вав прямоугольной области 
заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.
Задача 1. Найти в области 
Вафункцию 
, удовлетворяющую условиям:
; (0.4)
Ва; (0.5)
Ва(0.6)
Ва(0.7)
где 
и 
Вазаданные достаточно гладкие функции, причём 
Для того же уравнения исследована и следующая задача:
Задача 2. Найти в области Вафункцию 
, удовлетворяющую условиям:
Ва(0.8)
Ва; (0.9)
Ва(0.10)
Ва(0.11)
где Ваи тАУ заданные достаточно гладкие функции, причём
, 
, 
Для указанных задач установлены критерии их однозначной разрешимости. Решения получены явно в виде соответствующих рядов.
1. Нелокальная граничная задача Ι рода
Рассмотрим вырождающееся уравнение смешанного типа
(1)
где Вав прямоугольной области 
заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.
Задача 1. Найти в области Вафункцию , удовлетворяющую условиям:
; (2)
Ва; (3)
Ва(4)
Ва(5)
где и Вазаданные достаточно гладкие функции, причём
Пусть 
решение задачи (2) 
Рассмотрим функции
Ва(6)
Ва(7)
(8)
Дифференцируя дважды равенство (8), учитывая уравнение (1) и условия (4), получим дифференциальное уравнение
Ва(9)
с граничными условиями
, (10)
(11)
Общее решение уравнения (9) имеет вид
где 
Ваи 
Вафункции Бесселя первого и второго рода соответственно,
модифицированные функции Бесселя, 
Ваи 
Вапроизвольные постоянные, 
Подберём постоянные 
Ваи 
Ватак, чтобы выполнялись равенства
Ва(13)
Опираясь на асимптотические формулы функций Бесселя
и модифицированных функций Бесселя
в окрестности нуля, первое из равенств (13) выполнено при 
Ваи любых 
Ваи 
, а второе равенство выполнено при
Подставим полученные выражения для постоянных Ваи Вав (12), тогда функции 
примут вид
Отметим, что для функций (14) выполнено равенство
Отсюда и из равенств (13) вытекает, что 
является продолжением решения 
Вана промежуток 
Ваи,наоборот, Ваявляется продолжением решения 
Вана промежуток 
. Следовательно, функции (14) принадлежат классу 
Ваи удовлетворяет уравнению (9) всюду на 
. Теперь на основании (10) и (11) получим систему для нахождения Ваи 
:
Ва(15)
Если определитель системы (15):
Ва(16)
то данная система имеет единственное решение
Ва(17)
Ва. (18)
С учётом (17) и (18) из (14) найдём окончательный вид функций
Ва(19)
Где
Ва(20)
Ва(21)
Ва(22)
Ва(23)
Дифференцируя дважды равенство (7) с учётом уравнения (1) и условий (4) для функции 
, получим однородное дифференциальное уравнение
Ва(24)
с граничными условиями
(25)
Решение задачи (24) и (25) будет иметь вид
Ва(26)
Аналогично для функции 
Ваполучаем неоднородное уравнение
Ва(27)
с граничными условиями
Ва(28)
(29)
Общее решение уравнения (27) имеет вид
Равенства 
Вабудут выполняться при следующих значениях постоянных
, 
при любых 
и 
ВаПодставим выражения для постоянных 
Ваи 
Вав (30), тогда функции 
примут вид
Ва (31)
Для нахождения 
Ваи 
Вана основании (28) и (29) получим систем
Ва(32)
Если выполнено условие (16), то Ваи Ваопределяются по формулам:
Ва(33)
, (34)
Найденные значения Ваи Вапо формулам (33) и (34) подставим в (31), тогда функции 
Вабудут однозначно построены в явном виде:
Ва(35)
Из формул (19), (26), (35) следует единственность решения задачи (2)
так как если 
Вана 
, то 
, 
Вадля 
на 
ВаТогда из (6)
Ваимеем:
Отсюда в силу полноты системы
в пространстве 
Васледует, что функция 
Вапочти всюду на Вапри любом 
.
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 1. Если существует решение Вазадачи (2)то оно единственно только тогда, когда 
Вапри всех 
Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (2)
Васуществует, то оно единственно. Пусть при некоторых 
Ваи 
Ванарушено условие (16), т. е. 
ВаТогда однородная задача (2)Ва(где 
Ваимеет нетривиальное решение
Выражение для 
Вана основании следующих формул
приводим к виду
Поскольку при любом 
Ваи 
где Ваи 
положительные постоянные, то функция
где 
Вав силу теоремы Хилби 
Ваимеет счётное множество положительных нулей.
Следовательно, 
при некоторых 
Ваможет иметь счётное множество нулей независимо от . Поскольку Валюбое положительное число ,то оно может принимать значения, близкие к нулям 
ВаПоэтому при больших n выражение
Ваможет стать достаточно малым, т.е. возникает проблема 
ВаЧтобы такой ситуации не было, надо показать существование 
Ваи 
Ватаких, что при любом Ваи больших Васправедлива оценка
Представим (16) в следующем виде
Ва(36)
где
Как известно 
Вафункция 
Вастрого убывает, функция 
Вастрого возрастающая по , поэтому величина
есть бесконечно малая более высокого порядка, чем 
Вапри больших . Поэтому рассмотрим только выражение
Используя асимптотическую формулу функции 
Вапри 
Получаем
Где
Отсюда видно, что если, например,
где 
Вато при 
Тем самым справедлива следующая
Лемма 1. Существует Ваи постоянная 
Ватакие, что при всех 
Ваи больших Васправедлива оценка
Ва(37)
Рассмотрим следующие отношения:
, 
Лемма 2. При любом 
Вадля достаточно больших n справедливы оценки:
;
;
где 
, 
Ваздесь и в дальнейшем, положительные постоянные.
Доказательство. С учётом (36) функция 
Вапримет вид
Оценим функцию 
Вапри 
Ваи больших Ва:
.
На основании поведений функций 
в окрестности бесконечно-удалённой точки и леммы 1, получим
Ва(38)
где 
здесь и далее произвольные постоянные.
При 0
Ваи n>>1 в силу асимптотических формул имеем
Ва(39)
Сравнивая (38) и (39) при любом 
Ваполучим
Далее вычислим производную
Оценим эту функцию при Ваи больших :
Ва(41)
При 
Ваи больших фиксированных Ваимеем
Ва(42)
Из оценок (41) и (42) следует, что при всех 
Вторую производную функции Вавычислим следующим образом:
Используя формулы ([1], стр. 90)
Получаем
Зная оценку (40) для Ваиз последнего равенства при всех Ваимеем
Функция 
Вас учётом (36) примет вид:
Ва.
Оценим её, используя лемму 1 при 0
Ваи больших n:
Ва(43)
При Ваи больших фиксированных :
Ва(44)
Из оценок (43) и (44) имеем:
Ва(45)
Вычислим производную 
:
.
Оценим функцию 
Вапри Ваи :
Ва(46)
При Ваи Ваимеем:
Ва(47)
Сравнивая (46) и (47) при всех , получим
Теперь вычислим вторую производную функции
Используя формулы
Получим
Отсюда на основании оценки (45) будем иметь
Ва(48)
Аналогично получаем оценку для функции 
Ваи 
:
Лемма 3. При любом 
Вадля достаточно больших Васправедливы оценки:
Доказательство. Используя 
Ваи Вафункцию 
, определяемую формулой (19), представим в следующем виде:
Ва(49)
Из (49) в силу леммы 2 получим оценки для функций 
Ваи 
ВаАналогичные оценки справедливы и для функций 
Ваи 
ВаЛемма доказана.
Лемма 4. Пусть 
Вато справедливы оценки:
Ва(50)
При получении оценок (50) дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на 
условию Гёльдера с показателем 
Теорема 2. Пусть 
Ваи выполнены условия (16) и (37). Тогда задача (2)-(5) однозначно разрешима и это решение определяется рядом
Ва(51)
где функции 
,
Ваопределены соответственно по формулам (26), (35), (19).
Доказательство. Поскольку системы функций
образуют базис Рисса, то если 
, тогда функцию Ваможно представить в виде биортогонального ряда (51), который сходится в 
Вапри любом . В силу лемм 3 и 4 ряд (51) при любом 
Ваиз 
Вамажорируется сходящимся рядом
поэтому ряд (51) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области . Следовательно, функция Ванепрерывна на Вакак сумма равномерно сходящегося ряда (51). Ряды из производных второго порядка в Вамажорируются также сходящимся числовым рядом
Поэтому сумма Варяда (51) принадлежит пространству 
Ваи удовлетворяет уравнению (1) в . Следствие 1. Построенное решение Вазадачи (2)-(5) принадлежит классу Ваи функция Вавсюду в Ваявляется решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа 
Вауравнения (1) как особая линия устраняется.
2. Нелокальная граничная задача II рода
Рассмотрим уравнение (1) в прямоугольной области 
Ваи исследуем сопряжённую относительно задачи 1 задачу.
Задача 2. Найти в области Вафункцию , удовлетворяющую условиям:
Ва(52)
Ва; (53)
Ва(54)
Ва(55)
где Ваи тАУ заданные достаточно гладкие функции, причём , ,
Пусть 
решение задачи (52)- (55). Вновь воспользуемся системами
Рассмотрим функции
Ва, (56) 
Ва(57)
Ва(58)
Дифференцируя дважды равенство (56) и учитывая уравнение (1), получим дифференциальное уравнение
Ва(59)
с граничными условиями
Ва(60)
(61)
Следуя Вз1 решение задачи (59)-(61) построим в виде
Ва(62)
C учётом уравнения (1) продифференцируем дважды равенство (57). Получим для функции 
Ваоднородное дифференциальное уравнение
Ва(63)
с граничными условиями
Ва(64)
Решение задачи (63) и (64) имеет вид
Ва(65)
Дифференцируя дважды равенство (58) и учитывая уравнение (1) и условия (54), получаем неоднородное уравнение для функции 
Ва(66)
с граничными условиями
, (67)
. (68)
Решение этой задачи определяется по формуле
Ва(69)
Из формул (62), (65), (69) следует единственность решения задачи (52)-(55), так как если 
Вана 
то , 
, 
Вадля 
на 
Тогда из (56)-(58) имеем:
, 
,
Отсюда в силу полноты системы
в пространстве Васледует, что функция Вапочти всюду на 
Вапри любом 
.
Теорема 3. Если существует решение Вазадачи (52)-(55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех n выполняется условие (16).
Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (52)-(55) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых Ваи Ванарушено условие (16), т. е. 
. Тогда однородная задача (52)-(55) (где 
Ва) имеет нетривиальное решение
Теорема 4. Если 
, 
Ваи выполнены условия (16) и (37), то существует единственное решение задачи (52)-(55) и оно представимо в виде суммы ряда
где функции 
, Ваопределены соответственно по формулам (65), (62), (69).
Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2.
Следствие 2. Построенное решение Вазадачи (52)-(55) принадлежит классу 
Ваи функция Вавсюду в Ваявляется решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа Вауравнения (1) как особая линия устраняется.
Литература
1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.
М.: Наука, 1966. Т.
2. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ, 
3. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/ А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. тАУ 1969. тАУ Т. 185. тАУ № 4. тАУ С. 739 тАУ 740.
4. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /
А.В. Бицадзе. тАУ М.: Наука, 1981.тАУ 448 с.
5. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций.I./ Г.Н. Ватсон.тАУМ.: ИЛ, 1940.тАУ 421 с.
6. Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. тАУ М.: ИЛ, 1960. тАУ 421 с.
7. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов /Т.Д. Джураев тАУ М.: ИЛ, 1961. тАУ 208 с.
8. Жегалов, В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. тАУ Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. тАУ С.172 с.
9. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. тАУ М.: МГУ, 1988. тАУ 150 с.
10. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. тАУ С. 176 тАУ 184 с.
11. Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой тАУ полуполоса / О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. тАУ 1996. тАУ Т. 32, №4. тАУ С. 565 тАУ 567 с.
12. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б. Сабитов, Г.Г. Биккулова, А.А. Гималтдинова тАУ Уфа.: Гилем, 2006. тАУ 150 с.
13. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа тАУ М.С. Салахитдинов. тАУ Ташкент: Фан, 1974. тАУ 156 с.
14. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М Смирнов. тАУ М.: Высшая школа, 1985. тАУ 304 с.
15. Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. тАУ 1956. тАУ Т. 20. тАУ №2. тАУ с. 196 тАУ202 с.
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
Актуальные проблемы квантовой механики
Алгебра и алгебраические системы
Анализ эмпирического распределения
Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле