<< Пред.           стр. 4 (из 9)           След. >>

Список литературы по разделу

 break date TB = 1996:09 ; statistic t(alpha=1) = -3.68319 critical values at 1% 5% 10% For 100 obs. -5.45 -4.83 -4.48 number of lag retained : 9 explained variable : INFL coefficient student CONSTANT 22.27305 19.61729 TIME -0.39843 -11.77569 DT 0.36387 3.11099 INFL{1} 0.50575 3.76886 Если допустить одновременное изменение наклона тренда и сдвиг уровня ряда (модель с инновационным выбросом), то получаем следующие результаты:
 break date TB = 1996:02 ; statistic t(alpha==1) = -3.77937 critical values at 1% 5% 10% for 70 obs. -6.32 -5.59 -5.29 for 100 obs. -6.21 -5.55 -5.25 number of lag retained : 9 explained variable : INFL coefficient student CONSTANT 15.38542 3.44129 DU -15.71117 -2.70978 D(Tb) 1.57031 0.71748 TIME -0.27679 -3.32577 DT 0.23045 2.74869 INFL{1} 0.39869 2.50589 Хотя оцененные даты излома в этих двух моделях отличаются, DS-гипотеза в обоих случаях не отвергается.
  Возьмем теперь в качестве исходной TS-гипотезу и применим критерий KPSS. Результаты применения этого критерия следующие:
 ETA(mu) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.347 0.463 0.574 0.739 For lag parameter l = ETA(mu) = 0 5.74061 1 2.96682 2 2.03981 3 1.57389 4 1.29263 12 0.59361 ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) = 3 0.11674 4 0.10484 12 0.09731 В модели без тренда TS-гипотеза отвергается в пользу DS-гипотезы в рассматриваемом диапазоне значений ширины окна. В модели с трендом при ширине окна 3 и при более широких окнах TS-гипотеза не отвергается, что не согласуется с результатами применения предыдущих критериев.
  Рассмотрим поведение отношения дисперсий Кохрейна:
 
  График изменения значений этого отношения говорит в пользу TS-гипотезы.
  Если применить критерий KPSS ко второму подинтервалу, то получаем следующие результаты:
 ETA(mu) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.347 0.463 0.574 0.739 For lag parameter l = ETA(mu) = 0 2.75929 1 1.49846 2 1.06897 3 0.85409 4 0.72445 ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) 0 0.67046 1 0.37587 2 0.27557 3 0.22718 4 0.19878 Здесь TS-гипотеза отвергается в пользу DS-гипотезы.
  Подведем итоги анализа ряда INFL на интервале 1992:05-1998:07:
 Используемая процедура (критерий) Исходная (нулевая) гипотеза DS TS Критерий Дики-Фуллера Не отвергается Критерий Филлипса-Перрона Не отвергается Критерий DF-GLS Не отвергается Критерий KPSS Результат
 не вполне
 ясен Отношение дисперсий Кохрейна В пользу DS Обобщенный критерий Перрона
 (эндогенный выбор даты излома тренда) Не отвергается Несогласованность выводов, получаемых при выборе гипотезы DS в качестве нулевой или альтернативной, можно объяснить взаимодействием двух факторов - отклонением распределения ошибок в оцениваемых моделях от нормального и изменением амплитуды колебаний ряда при переходе ко второму подинтервалу.
 2.6. Анализ временного ряда индекса интенсивности промышленного производства
  В качестве исходной информации используются сезонно скорректированные месячные данные по индексу интенсивности промышленного производства с 1990:12 по 2000:07, рассчитанные ЦЭК при Правительстве РФ и ИИР Государственного университета - Высшей школы экономики.
  График ряда (с учетом сезонной коррекции) выглядит следующим образом:
 
  Если пытаться решать вопрос об использовании для описания ряда DS или TS модели, то здесь не вполне ясной представляется подходящая модель тренда. С одной стороны, в целом кажется подходящей модель квадратичного тренда. С другой стороны, выделяются два подпериода, на которых более предпочтительным представляется линейный тренд. Это участки спада промышленного производства до момента кризиса 1998 года и послекризисного роста производства. Один из таких периодов - это интервал 1994:01-1998:
 
 
 
 
 
 
 
 
  При проверке DS-гипотезы на этом интервале методом Дики-Фуллера в оцениваемое уравнение помимо константы и тренда приходится первоначально включать 7 запаздывающих разностей, поскольку разность, запаздывающая на 7 месяцев, статистически значима:
 ADF Test Statistic -2.017956 1% Critical Value* -4.1540 5% Critical Value -3.5025 10% Critical Value -3.1804 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X) Method: Least Squares Date: 02/22/01 Time: 09:46 Sample: 1994:01 1998:01 Included observations: 49 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X(-1) -0.012284 0.006087 -2.017956 0.0505 D(X(-1)) 2.593330 0.134552 19.27388 0.0000 D(X(-2)) -3.204512 0.380911 -8.412763 0.0000 D(X(-3)) 1.923210 0.604972 3.179005 0.0029 D(X(-4)) 0.193033 0.677911 0.284747 0.7773 D(X(-5)) -1.372521 0.563908 -2.433943 0.0196 D(X(-6)) 1.158955 0.329394 3.518443 0.0011 D(X(-7)) -0.403933 0.104910 -3.850283 0.0004 C 0.534607 0.296595 1.802481 0.0792 @TREND(1994:01) -0.000806 0.001404 -0.573960 0.5693 R-squared 0.990786 Mean dependent var -0.221429 Adjusted R-squared 0.988660 S.D. dependent var 0.524786 S.E. of regression 0.055885 Akaike info criterion -2.751147 Sum squared resid 0.121801 Schwarz criterion -2.365061 Log likelihood 77.40310 F-statistic 465.9683 Durbin-Watson stat 2.112515 Prob(F-statistic) 0.000000 При этом гипотеза о наличии единичного корня в авторегрессионном представлении ряда не отвергается.
  Исключение из правой части разности, запаздывающей на 4 месяца, приводит к модели со статистически значимыми коэффициентами.
 Dependent Variable: D(X) Method: Least Squares Sample: 1994:01 1998:01 Included observations: 49 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.530484 0.293839 1.805355 0.0785 @TREND(1993:12) -0.000804 0.001388 -0.579622 0.5654 X(-1) -0.012165 0.006003 -2.026557 0.0494 D(X(-1)) 2.615517 0.108429 24.12187 0.0000 D(X(-2)) -3.289578 0.233588 -14.08281 0.0000 D(X(-3)) 2.085218 0.203252 10.25930 0.0000 D(X(-5)) -1.221284 0.187269 -6.521545 0.0000 D(X(-6)) 1.084367 0.197403 5.493155 0.0000 D(X(-7)) -0.385655 0.082023 -4.701813 0.0000 R-squared 0.990767 Mean dependent var -0.221429 Adjusted R-squared 0.988920 S.D. dependent var 0.524786 S.E. of regression 0.055239 Akaike info criterion -2.789886 Sum squared resid 0.122054 Schwarz criterion -2.442409 Log likelihood 77.35222 F-statistic 536.5299 Durbin-Watson stat 2.154521 Prob(F-statistic) 0.000000 Эта модель обладает удовлетворительными остатками (Р-значение критерия Жарка-Бера равно 0.938, Р-значение критерия Уайта равно 0.449, Р-значения LM теста автокоррелированности превышают значение 0.405). Однако значение t-статистики критерия -2.027 выше 5% критического уровня -3.503. Поэтому DS-гипотеза остается неотвергнутой.
  В рамках процедуры Доладо теперь следовало бы проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента ? при трендовой составляющей в DS-модели DGP. Значение t-статистики соответствующего критерия берем из только что приведенной таблицы: оно равно -0.580. В то же время 5% критическое значение одностороннего критерия (против альтернативы ? < 0) равно (при 50 наблюдениях) -2.81. Таким образом, гипотеза ? = 0 не отвергается, и далее следует применять критерий Дики-Фуллера к модели с включением в правую часть только константы (но не тренда).
  При оценивании модели с константой, но без тренда в правую часть оцениваемого уравнения необходимо включать разность, запаздывающую на 7 месяцев. При этом опять оказывается статистически незначимой разность с запаздыванием на 4 месяца. Исключение последней из правой части оцениваемой модели дает следующий результат:
 Dependent Variable: D(X) Method: Least Squares Sample: 1994:01 1998:01 Included observations: 49 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.386789 0.156455 2.472206 0.0177 X(-1) -0.009415 0.003647 -2.581691 0.0135 D(X(-1)) 2.627685 0.105513 24.90400 0.0000 D(X(-2)) -3.313664 0.227993 -14.53407 0.0000 D(X(-3)) 2.104959 0.198748 10.59107 0.0000 D(X(-5)) -1.244470 0.181459 -6.858130 0.0000 D(X(-6)) 1.109549 0.190997 5.809249 0.0000 D(X(-7)) -0.398960 0.078105 -5.107988 0.0000 R-squared 0.990689 Mean dependent var -0.221429 Adjusted R-squared 0.989100 S.D. dependent var 0.524786 S.E. of regression 0.054790 Akaike info criterion -2.822339 Sum squared resid 0.123079 Schwarz criterion -2.513470 Log likelihood 77.14730 F-statistic 623.2228 Durbin-Watson stat 2.169413 Prob(F-statistic) 0.000000 Значение t-статистики критерия единичного корня -2.582 оказывается выше 5% критического уровня, который на этот раз равен -2.922. DS-гипотеза не отвергается.
  Проверяем теперь гипотезу о равенстве нулю константы в DGP. Наблюдаемое значение статистики критерия для проверки этой гипотезы берем из последней таблицы. Оно равно
 2.472, что меньше 5% критического уровня 2.89. Поэтому гипотеза о равенстве нулю константы в DGP не отвергается. Остается только проверить DS-гипотезу в рамках оценивания модели без константы.
  Исключая разность с запаздыванием на 4 месяца, получаем оцененную модель
 Dependent Variable: D(X) Method: Least Squares Sample: 1994:01 1998:01 Included observations: 49 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X(-1) -0.000416 0.000237 -1.754543 0.0866 D(X(-1)) 2.673588 0.110005 24.30418 0.0000 D(X(-2)) -3.359898 0.240655 -13.96145 0.0000 D(X(-3)) 2.125533 0.210311 10.10660 0.0000 D(X(-5)) -1.227803 0.192052 -6.393074 0.0000 D(X(-6)) 1.082069 0.201944 5.358274 0.0000 D(X(-7)) -0.376041 0.082137 -4.578220 0.0000 R-squared 0.989301 Mean dependent var -0.221429 Adjusted R-squared 0.987773 S.D. dependent var 0.524786 S.E. of regression 0.058028 Akaike info criterion -2.724203 Sum squared resid 0.141427 Schwarz criterion -2.453943 Log likelihood 73.74299 Durbin-Watson stat 1.991915 Значение -1.755 t-статистики критерия единичного корня выше 5% критического уровня -1.947; DS-гипотеза не отвергается.
  Итак, при использовании критериев Дики-Фуллера DS-гипотеза не отвергается.
  Проверим теперь DS-гипотезу, используя критерий DF-GLS.
  Для модели с включением линейного тренда получаем:
 Lags = 7 Critical values (asymptotic) Test Statistic 1% 2.5% 5% 10% DFGLS -0.976 -3.48 -3.15 -2.89 -2.57 Этот критерий не отвергает DS-гипотезу. То же решение принимается, если использовать для вычисления критических значений приближенную формулу, (получаемое при использовании этой формулы 5% критическое значение равно -2.88).
  Критерий KPSS с TS-гипотезой в качестве нулевой дает следующие результаты:
 ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) = 3 0.23079 4 0.19541 7 0.14612 8 0.13798 12 0.12337 При ширине окна 3 гипотеза TS отвергается в пользу DS-гипотезы. Однако, если учитывать упомянутую выше статистическую значимость разностей, запаздывающих на 7 месяцев, значение статистики критерия практически совпадает с 5% критическим значением.
  На более продолжительном периоде 1990:12-1998:08 график ряда имеет следующий вид:
 
 Такой вид графика позволяет предположить, что детерминированный тренд можно описать как сегментированный линейный тренд со сменой наклона. Имея это в виду, воспользуемся процедурой Перрона с эндогенным выбором даты излома тренда (по минимуму t-статистики для проверки DS-гипотезы) и редукцией модели с использованием стратегии GS (с уровнем значимости 10%) - процедура PERRON97 из пакета RATS. Указанная процедура приводит к следующим результатам (модель с аддитивным выбросом):
 break date TB = 1994:10 ; statistic t(alpha=1) = -5.48413 critical values at 1% 5% 10% for 100 obs. -5.45 -4.83 -4.48 number of lag retained : 4 explained variable : INTPROM coefficient student CONSTANT 96.10760 176.67216 TIME -1.09112 -64.60380 DT 0.98282 32.53140 INTPROM(-1) 0.91884 62.08842 Гипотеза о том, что ряд INTPROM принадлежит классу DS-рядов, отвергается последней процедурой (на периоде 1990:12 - 1998:08).
  Подведем итоги анализа ряда INTPROM:
 Используемая процедура (критерий) Исходная (нулевая) гипотеза DS TS Период 1994:01-1998:08 Критерий Дики-Фуллера (расширенный) Не отвергается Критерий Филлипса-Перрона Не отвергается Критерий DF-GLS Не отвергается Критерий KPSS Отвергается Период 1990:12-1998:08 Обобщенный критерий Перрона
 (эндогенный выбор даты излома тренда) Отвергается Здесь следует все же скорее согласиться с выводом последнего критерия, поскольку он построен по большему количеству наблюдений и учитывает возможность изменения структуры модели.
 2.7. Анализ временного ряда для валового внутреннего продукта
  Валовой внутренний продукт (ВВП) - Представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования - стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта. ВВП рассчитывается в текущих основных и рыночных ценах (номинальный ВВП). Для изучения динамики ВВП применяются постоянные цены. Реальный ВВП рассчитывается методом дефлятирования.
  В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) - квартальные данные с 1994:1 по 2000:2; источник - Госкомстат РФ.
  График этого ряда имеет следующий вид:
 
 Этот график похож по характеру поведения на графики денежных рядов. Поэтому на основании характера этого графика можно было бы опять рассмотреть в качестве модели порождения ряда модель сегментированного тренда и проверить гипотезу о принадлежности ряда классу DS-процессов, используя процедуру PERRON97 из пакета RATS. Однако данных для анализа слишком мало (26 наблюдений), поэтому проведем анализ в рамках более простой модели линейного тренда.
  Ряд остатков при оценивании регрессии ряда разностей Yt = Xt - Xt-1 на константу и линейный тренд имеет коррелограмму, указывающую на необходимость включения в правую часть расширенного уравнения (по крайней мере, в качестве исходного пункта до 12 запаздывающих разностей):
 Sample: 1994:2 2000:2 Included observations: 25 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob |* |* 1 0.148 0.148 0.6181 0.432 *| *| 2 -0.133 -0.159 1.1397 0.566 | |* 3 0.045 0.096 1.2022 0.752 |**** |*** 4 0.477 0.456 8.5129 0.074 **| ***| 5 -0.196 -0.436 9.8056 0.081 ***| *| 6 -0.344 -0.162 13.998 0.030 **| **| 7 -0.201 -0.240 15.518 0.030 |** |** 8 0.294 0.230 18.956 0.015 **| *| 9 -0.231 -0.142 21.203 0.012 ***| *| 10 -0.351 -0.139 26.741 0.003 *| *| 11 -0.164 -0.108 28.040 0.003 |* ***| 12 0.120 -0.362 28.784 0.004 При этом теряется еще 13 первых наблюдений, и всего остается 25 - 13 = 12 наблюдений - меньше, чем число оцениваемых параметров. Таким образом, мы не можем воспользоваться здесь и расширенным критерием Дики-Фуллера.
  По той же причине нельзя воспользоваться и критерием DF-GLS.
  Если использовать вместо критерия Дики-Фуллера критерий Филлипса-Перрона с шириной окна 2, рекомендуемой Швертом и Newey-West, то скорректированная t-статистика критерия (с включением константы и тренда) получается равной -0.423, тогда как 5% критический уровень равен -3.603. Расширение окна не изменяет положения вещей: изменяя ее можно добиться всего лишь значения -0.698 (при ширине окна, равной 5).
  Итак, имеющееся количество наблюдений не дает возможности отвергнуть DS-гипотезу, выбранную в качестве исходной (нулевой).
  В то же время, если в качестве нулевой использовать TS-гипотезу, то тогда можно воспользоваться процедурой KPSS. Применение этой процедуры дает следующие результаты:
 ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) = 0 0.37987 1 0.21571 2 0.16020 3 0.13464 4 0.12210 При ширине окна равной 3 и 4, нулевая TS-гипотеза не отвергается, в то время как при ширине окна 2 (рекомендуемой) она отвергается в пользу DS-гипотезы.
  Подведем итоги анализа ряда GDP:
 Используемая процедура (критерий) Исходная (нулевая) гипотеза DS TS Критерий Дики-Фуллера (расширенный) Неприменим Критерий Филлипса-Перрона Не отвергается Критерий DF-GLS Неприменим Критерий KPSS Результат не ясен Получение сколько-нибудь надежных статистических выводов оказывается невозможным ввиду слишком малого количества наблюдений.
 2.8. Анализ временного ряда для уровней безработицы
  Уровень безработицы определяется как удельный вес численности безработных в численности экономически активного населения.
  Экономически активное население (рабочая сила) - это часть населения, обеспечивающая предложение рабочей силы для производства товаров и услуг. Численность экономически активного населения включает занятых в экономике и безработных.
  К безработным, применительно к стандартам Международной Организации Труда (МОТ), относятся лица в возрасте, установленном для измерения экономической активности, которые в рассматриваемый период одновременно удовлетворяли следующим критериям:
  не имели работы (доходного занятия);
  занимались поиском работы, т.е. обращались в государственную или коммерческую службу занятости, использовали или помещали объявления в печати, непосредственно обращались к администрации предприятия или работодателю, использовали личные связи и т.д. или предпринимали шаги к организации собственного дела;
  были готовы приступить к работе.
  Учащиеся, студенты, пенсионеры и инвалиды учитываются в качестве безработных, если они занимались поиском работы и были готовы приступить к ней.
  График ряда имеет вид
 
  Поскольку на графике явно наблюдается перелом тенденции в 1998-1999 годах, для анализа выбираем период 1994:01- 1998:04, на котором ряд ведет себя более или менее однородным образом:
 
  При оценивании уравнения, используемого при применении критерия Дики-Фуллера с включением тренда, но без запаздывающих разностей, получаем ряд остатков, имеющий коррелограмму, типичную для белого шума, и проходящий тесты на нормальность (P-значение критерия Жарка-Бера равно 0.429), гетероскедастичность (P-значение критерия Уайта равно 0.619) и отсутствие автокоррелированность (P-значения LM-критерия равны 0.283, 0.108, 0.089, 0.155 при авторегрессионных моделях для остатков порядков 1, 2, 3, 4).
  Гипотеза единичного корня отвергается критерием Дики-Фуллера (значение t-статистики критерия равно -4.515 при 5% критическом уровне -3.499). Поэтому можно не привлекать для анализа другие критерии, берущие в качестве нулевой DS-гипотезу.
  Критерий KPSS, берущий в качестве нулевой TS-гипотезу, дает следующие результаты:
 ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) = 3 0.04899 4 0.04766 12 0.11558 Гипотеза TS не отвергается этим критерием, что подтверждает результаты применения предыдущих критериев.
  Поведение отношения дисперсий Кохрейна также говорит в пользу TS-гипотезы.
 
  Подведем итоги анализа ряда UNJOB на интервале 1994:01-1998:04:
 Используемая процедура (критерий) Исходная (нулевая) гипотеза DS TS Критерий Дики-Фуллера Отвергается Критерий Филлипса-Перрона Отвергается Критерий KPSS Не отвергается Отношение дисперсий Кохрейна В пользу TS Статистические выводы, полученные при применении перечисленных в таблице процедур, согласуются между собой: нулевая DS-гипотеза отвергается, тогда как нулевая TS-гипотеза не отвергается; поведение отношений дисперсий Кохрейна также говорит в пользу TS-гипотезы.
 2.9. Анализ временного ряда для индекса РТС-1
  Индекс РТС. Индекс РТС является единственным официальным индикатором Фондовой биржи РТС. Индекс рассчитывается один раз в 30 минут в течение всей торговой сессии, начиная с 12:00 и заканчивая в 18:10. В 18:00 индекс не рассчитывается. Рассчитанное значение индекса на 18:10 является значением закрытия. Соответственно значение индекса на 12:00 ? это значение открытия.
  Расчет индекса. Индекс рассчитывается в двух значениях - валютном и рублевом. Рублевые значения являются вспомогательными и рассчитываются на основе валютных значений. Индекс (валютное значение) на расчетное время рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций, включенных в список для расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих же акций на начальную дату, умноженное на значение индекса на начальную дату. Рублевое значение индекса РТС определяется как произведение валютного значения индекса на коэффициент, рассчитанный как отношение текущего значения курса рубля к доллару США к начальному значению. Общий контроль и внесение изменений в методику расчета индекса осуществляется Информационным Комитетом РТС.
  В качестве исходной информации используется фондовый индекс торговой системы РТС - дневные данные индекса РТС-1 на момент закрытия торгов с 01/09/95 по 31/10/00.
  В отличие от всех ранее рассмотренных рядов здесь мы имеем дело с рядом дневных значений. График ряда фондового индекса Xt = RTS1 (на горизонтальной оси указаны номера последовательных наблюдений - всего 1294 наблюдения) имеет достаточно сложный вид
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 затрудняющий описание этого ряда единой трендовой моделью.
  Имея в виду обычную практику построения моделей рядов высокочастотных финансовых показателей, а именно, построение моделей для ряда Zt = lnXt - lnXt-1, мы рассмотрим вопрос о принадлежности классу DS или TS ряда Yt = lnXt, график которого имеет вид
 
  Отвергнуть DS-гипотезу для ряда Yt , рассматриваемого на всем периоде наблюдений, конечно, сложно, если в качестве альтернативы рассматривать стационарный или стационарный относительно линейного тренда ряд, тем более что в уравнение, оцениваемое при применении расширенного критерия Дики-Фуллера, здесь приходится включать большое количество запаздывающих разностей: даже при включении 36 запаздывающих разностей последние две разности остаются статистически значимыми. При этом гистограмма ряда остатков от оцененной расширенной модели
 
 и P-значение статистики критерия Жарка-Бера определенно говорят об отличии распределения ошибок от нормального.
  Если обратиться к критерию Филлипса-Перрона с рекомендуемой шириной окна l = 7, то значение скорректированной t-статистики оказывается равным PP(7) = -1.290 при 5% критическом уровне -2.864. Увеличение ширины окна до 13 дает значение PP(13) = -1.359 и даже увеличение ширины окна до 36 приводит лишь к значению PP(36) = -1.507, так что критерием Филлипса-Перрона DS-гипотеза для ряда Yt не отвергается.
  В то же время используемая в качестве нулевой в критерии KPSS гипотеза TS уверенно отклоняется в пользу DS-гипотезы как при включении в модель линейного тренда, так и без его включения в модель:
 ETA(mu) Values (без включения линейного тренда): Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.347 0.463 0.574 0.739 For lag parameter l = ETA(mu) = 7 1.90482 8 1.69460 9 1.52644 10 1.38886 11 1.27424 12 1.17726 24 0.61951 36 0.42440 ETA(tau) Values (с включением линейного тренда): Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(mu) = 7 1.85758 8 1.65259 9 1.48861 10 1.35446 11 1.24268 12 1.14812 24 0.60424 36 0.41399 Поведение статистики отношения дисперсий Кохрейна также говорит в пользу отнесения ряда Yt к DS-рядам:
 
  Возможно, что гипотезу принадлежности ряда Yt можно отвергнуть на более коротких промежутках времени, естественно выделяющихся при взгляде на график ряда на всем интервале наблюдений. Проведем такой анализ на интервалах с 1 по 500 наблюдение, с 545 по 649 наблюдение, с 650 по 776 наблюдение и с 777 по 1294 наблюдение.
  Период c 1 по 500 наблюдение (с 01/09/95 по 03/09/97) соответствует общей тенденции возрастания индекса РТС-1. График ряда Yt = lnXt на этом участке имеет вид
 
  При оценивании расширенного уравнения в критерии Дики-Фуллера с включением в правую часть тренда и 13 запаздывающих разностей, получаем значительное количество статистически незначимых разностей, последовательное отбрасывание которых (на уровне значимости 10%) приводит к модели с 7 запаздывающими разностями. При этом t-статистика критерия ADF(7) (здесь ADF указывает на использование расширенного критерия Дики-Фуллера, а 7 - на наибольшее запаздывание разностей) равна -3.54, что ниже 5% критического уровня -3.42, так что формально гипотеза единичного корня для ряда Yt должна быть отвергнута. Однако следует обратить внимание на гистограмму остатков, получаемых при оценивании расширенного уравнения:
 
  Гипотеза нормальности распределения ошибок отвергается. Поэтому обратимся к критерию Филлипса-Перрона, менее требовательному к свойствам ряда ошибок.
  В зависимости от выбранной ширины окна l получаем следующие значения скорректированной t-статистики критерия Филлипса-Перрона PP(l) (в модели, включающей константу и тренд):
 Ширина окна l Значение PP(l) 4 -3.10827 5 -3.11748 6 -3.12576 7 -3.14034 8 -3.15161 9 -3.15984 10 -3.16800 11 -3.17752 12 -3.18431 13 -3.18722 Все эти значения оказываются выше 5% критического уровня -3.42, так что DS гипотеза для ряда Yt не отвергается.
  График ряда Yt на рассматриваемом интервале времени позволяет предположить, что при проверке DS-гипотезы, возможно, следует допускать возможность излома тренда в некоторой точке.
  Предполагая такую возможность, применим к анализу ряда процедуру PERRON77 из пакета RATS, проводящую процедуру проверки с эндогенным выбором точки изменения наклона тренда. При этом получаем следующие результаты.
  Для модели с одним только изменением наклона тренда (аддитивный выброс):
 break date TB = 8 ; statistic t(alpha=1) = -3.83291 critical values at 1% 5% 10% for 200 obs. -5.28 -4.65 -4.38 infinite sample -4.91 -4.36 -4.07 number of lag retained : 7 explained variable : Y coefficient student CONSTANT 4.91560 42.52236 TIME -0.10263 -6.97001 DT 0.10692 7.25719 Y{1} 0.97071 127.00868 Для модели, допускающей сдвиг уровня ряда с одновременным изменением наклона тренда (инновационный выброс):
 break date TB = 148 ; statistic t(alpha=1) = -3.90218 critical values at 1% 5% 10% for 100 obs. -6.21 -5.55 -5.25 infinite sample -5.57 -5.08 -4.82 number of lag retained : 7 explained variable : Y coefficient student CONSTANT 0.17089 3.72886 DU -0.00316 -0.37357 D(Tb) -0.02381 -0.86267 TIME 3.23993e-005 0.55435 DT 1.32791e-004 1.62462 Y {1} 0.96007 93.81295 В обоих случаях значения статистики критериев оказались выше даже 10% критического уровня, и поэтому DS-гипотеза не отвергается.
  Применим теперь критерий KPSS, который в качестве нулевой берет TS-гипотезу. Применение этого критерия в диапазоне значений ширины окна l от 5 до 10 дает значения статистики критерия в диапазоне от 0.229 до 0.241. Все эти значения превышают 5%-критический уровень 0.146. Поэтому критерий KPSS отвергает TS-гипотезу в пользу DS-гипотезы.
  Наконец, рассмотрим поведение статистики отношения дисперсий Кохрейна:
 
  Поведение этой статистики говорит скорее в пользу DS-гипотезы.
  Итак, все рассмотренные критерии склоняются к признанию ряда Yt по наблюдениям с 1 по 500 разностно стационарным (DS) рядом.
  Перейдем теперь к анализу ряда Yt на интервале с 545 по 649 наблюдение (05/11/97-08/04/98), соответствующему общему снижению индекса РТС-1:
 
  В расширенное уравнение Дики-Фуллера на этом участке приходится включать 13 запаздывающих разностей:
 Dependent Variable: D(Y) Method: Least Squares Sample: 545 649 Included observations: 105 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.001140 0.276175 3.625016 0.0005 @TREND(544) -0.000405 0.000169 -2.398596 0.0185 Y(-1) -0.167945 0.046235 -3.632429 0.0005 D(Y(-1)) 0.131702 0.097361 1.352724 0.1796 D(Y(-2)) 0.047363 0.098355 0.481549 0.6313 D(Y(-3)) 0.054178 0.098161 0.551934 0.5824 D(Y(-4)) -0.031487 0.096156 -0.327454 0.7441 D(Y(-5)) 0.025801 0.091657 0.281497 0.7790 D(Y(-6)) 0.039993 0.081728 0.489342 0.6258 D(Y(-7)) -0.015957 0.079705 -0.200199 0.8418 D(Y(-8)) 0.142763 0.079639 1.792618 0.0764 D(Y(-9)) 0.061410 0.079897 0.768617 0.4442 D(Y(-10)) 0.187308 0.078298 2.392236 0.0188 D(Y(-11)) 0.075771 0.080819 0.937537 0.3510 D(Y(-12)) 0.141246 0.080762 1.748919 0.0838 D(Y(-13)) 0.261173 0.080272 3.253602 0.0016 R-squared 0.287618 Mean dependent var -0.003293 Adjusted R-squared 0.167553 S.D. dependent var 0.037795 S.E. of regression 0.034484 Akaike info criterion -3.757217 Sum squared resid 0.105833 Schwarz criterion -3.352804 Log likelihood 213.2539 F-statistic 2.395527 Durbin-Watson stat 1.943850 Prob(F-statistic) 0.005872 Остатки, получаемые при оценивании этого уравнения, имеют распределение, более близкое к нормальному, чем при рассмотрении ряда на всем интервале наблюдений, проходят тест на гетероскедастичность (P-значение критерия Уайта равно 0.327) и LM тест на автокоррелированность (P-значение 0.691 при параметре 2). Следовательно, здесь имеется больше оснований принять во внимание результат применения расширенного критерия Дики-Фуллера. Полученное значение t-статистики критерия -3.632 ниже 5% критического уровня -3.453. Поэтому DS-гипотеза для рассматриваемого отрезка ряда Yt должна быть отвергнута и можно не применять более сложных критериев с DS-гипотезой в качестве нулевой.
  Применим на этом участке критерий KPSS, берущий в качестве нулевой TS-гипотезу:
 ETA(mu) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.347 0.463 0.574 0.739 For lag parameter l = ETA(mu) = 4 0.86627 10 0.48031 11 0.45115 12 0.42656 13 0.40583 ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) = 4 0.20477 7 0.14726 8 0.13615 13 0.10383 14 0.10046 В отношении этого критерия положение не вполне определенное: при рекомендуемой ширине окна 4 гипотеза TS отвергается. В то же время, при увеличении ширины окна до 11 в модели без тренда и до 8 в модели с трендом получаем значения статистик, которые ниже 5% критических уровней, и гипотеза TS не отвергается.
  Посмотрим на поведение статистики отношения дисперсий:
 
  Структура графика говорит в пользу TS-гипотезы.
  Можно предположить также, что где-то в середине рассматриваемого интервала происходит сдвиг уровня ряда. В соответствии с этим предположением, применим процедуру PERRON97 с эндогенным выбором даты момента сдвига. Это дает следующие результаты (модель с инновационным выбросом):
 break date TB = 586; statistic t(alpha=1) = -4.43466 critical values at 1% 5% 10% for 100 obs. -5.70 -5.10 -4.82 infinite sample -5.41 -4.80 -4.58 number of lag retained : 13 explained variable : Y coefficient student CONSTANT 1.68876 4.43159 DU -0.06361 -3.47660 D(Tb) 0.05179 1.32380 TIME 3.66382e-004 1.34112 Y{1} 0.71311 11.02328 Оцененная дата сдвига уровня вполне согласуется с визуальным впечатлением от графика. Гипотеза единичного корня при допущении сдвига уровня отвергается. По-видимому, такой результат говорит все же в пользу гипотезы TS.
  Следующий рассматриваемый интервал - период с 650 по 776 наблюдение (09/04/98-08/10/98) - последний этап общего снижения индекса РТС-1 перед началом периода его возрастания:
 
  Оценим расширенное уравнение Дики-Фуллера с трендом и 13 запаздывающими разностями:
 Dependent Variable: D(Y) Method: Least Squares Sample: 650 776 Included observations: 127 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.361578 0.197475 1.831010 0.0698 @TREND(649) -0.001093 0.000518 -2.109901 0.0371 Y(-1) -0.061276 0.032801 -1.868122 0.0644 D(Y(-1)) 0.202075 0.094638 2.135228 0.0349 D(Y(-2)) -0.019964 0.097305 -0.205165 0.8378 D(Y(-3)) 0.016297 0.097470 0.167195 0.8675 D(Y(-4)) -0.040131 0.097273 -0.412567 0.6807 D(Y(-5)) -0.000205 0.096241 -0.002131 0.9983 D(Y(-6)) 0.074409 0.094653 0.786125 0.4335 D(Y(-7)) 0.035719 0.094876 0.376477 0.7073 D(Y(-8)) -0.106997 0.095171 -1.124268 0.2633 D(Y(-9)) -0.054292 0.095118 -0.570793 0.5693 D(Y(-10)) 0.180209 0.094765 1.901636 0.0598 D(Y(-11)) -0.051534 0.097217 -0.530097 0.5971 D(Y(-12)) 0.151243 0.096972 1.559657 0.1217 D(Y(-13)) -0.017490 0.098229 -0.178050 0.8590 R-squared 0.139304 Mean dependent var -0.015926 Adjusted R-squared 0.022994 S.D. dependent var 0.052214 S.E. of regression 0.051610 Akaike info criterion -2.972874 Sum squared resid 0.295664 Schwarz criterion -2.614552 Log likelihood 204.7775 F-statistic 1.197698 Durbin-Watson stat 1.994755 Prob(F-statistic) 0.284126 Распределение ошибок отлично от нормального (P-значение критерия Жарка-Бера равно 0.0004), что не позволяет вполне полагаться на P-значения, приведенные в последнем столбце таблицы. Поэтому при редукции модели они служат лишь ориентиром, указывающим на то, что в правую часть уравнения, возможно, следует включать запаздывания до 12 месяцев. Имея в виду эту величину, попробуем применить критерий Филлипса-Перрона.
  Для значений ширины окна от 4 до 14 значение скорректированной t-статистики критерия Филлипса-Перрона изменяется от -2.061 до -2.005, что выше 5% критического уровня, равного -3.445, и не позволяет отвергнуть DS-гипотезу.
  Если брать в качестве исходной TS-гипотезу, то критерий KPSS приводит к следующим результатам:
 ETA(mu) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.347 0.463 0.574 0.739 For lag parameter l = ETA(mu) = 4 2.44102 13 0.95431 14 0.90011 ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) = 4 0.39585 13 0.17636 14 0.16857 В обоих случаях TS-гипотеза отвергается при выборе 5% уровня значимости.
  Рассмотрим поведение статистики Кохрейна. График значений этой статистики, приведенный ниже, также говорит скорее в пользу DS-гипотезы:
 
  Во всех рассмотренных выше процедурах не предполагалось возможное изменение наклона тренда и/или сдвиг уровня ряда. Однако, судя по графику ряда, такое изменение вполне возможно в промежутке между 700 и 720 наблюдениями.
  Применим процедуру PERRON97, предполагая возможное одновременное изменение уровня ряда и наклона тренда (инновационный выброс). Эта процедура дает следующие результаты:
 break date TB = 711; statistic t(alpha=1) = -5.44184 critical values at 1% 5% 10% for 100 obs. -6.21 -5.55 -5.25 infinite sample -5.57 -5.08 -4.82 number of lag retained : 12 explained variable : Y coefficient student CONSTANT 2.11919 5.38448 DU 2.59915 4.34286 D(Tb) -0.07749 -1.36832 TIME -0.00592 -4.93560 DT -0.00344 -4.20653 Y{1} 0.64395 9.84216 Мы имеем здесь 127 наблюдений, а критические значения даны только для 100 и бесконечного количества наблюдений. По-видимому, наблюдаемое значение -5.4418 статистики критерия близко к 5% критическому значению для 127 наблюдений.
  Рассмотрим, наконец, последний отрезок наблюдений с 777 по 1294 наблюдение (09/10/98-31/10/00) - период общего возрастания индекса РТС-1:
 
  В этом случае распределение ошибок в уравнении расширенного критерия Дики-Фуллера опять отличается от нормального, и поэтому мы начнем анализ сразу с критерия Филлипса-Перрона. При ширине окна от 4 до 24 значения скорректированной t-статистики критерия изменяются в пределах от 1.05 до 1.41, положительны, и поэтому DS-гипотеза для ряда Yt не отвергается.
  Критерий KPSS при включении в модель линейного тренда и рекомендованной ширине окна 5 дает следующие результаты:
 ETA(tau) Values: Critical Level: 0.10 0.05 0.025 0.01 Critical Value: 0.119 0.146 0.176 0.216 For lag parameter l = ETA(tau) = 4 0.52225 12 0.21694 13 0.20337 TS-гипотеза отвергается в пользу DS-гипотезы.
  Статистика Кохрейна ведет себя следующим образом:
 
 что также не отрицает DS-гипотезы.
  Примем теперь в расчет возможность сдвига уровня ряда с одновременным изменением наклона тренда, что, судя по графику ряда, вполне возможно в интервале между 1000 и 1100 наблюдениями (между 01/09/99 и 26/01/00). Процедура PERRON97 (инновационный выброс) дает следующие результаты:
 break date TB = 1070 statistic t(alpha=1) = -4.16208 critical values at 1% 5% 10% for 100 obs. -6.21 -5.55 -5.25 infinite sample -5.57 -5.08 -4.82 number of lag retained : 13 explained variable : Y coefficient student CONSTANT 0.17712 4.24500 DU 0.14512 2.85596 D(Tb) -0.05340 -1.60238 TIME 1.02229e-004 2.76409 DT -1.14638e-004 -2.55189 Y{1} 0.95704 92.72848 Гипотеза DS не отвергается и при таких допущениях.
  Подведем итоги анализа ряда РТС1 на интервале c 01/09/95 по 31/10/00 и на отдельных подинтервалах.
  Полный интервал наблюдений 01/09/95-31/10/00:
 Используемая процедура (критерий) Исходная (нулевая) гипотеза DS TS Критерий Дики-Фуллера (расширенный) Неприменим Критерий Филлипса-Перрона Не отвергается Критерий DF-GLS Неприменим Критерий KPSS Отвергается Отношение дисперсий Кохрейна В пользу DS Статистические выводы, полученные при применении подходящих процедур, согласуются между собой: нулевая DS-гипотеза не отвергается, тогда как нулевая TS-гипотеза отвергается; поведение отношений дисперсий Кохрейна также говорит в пользу DS-гипотезы.
  Интервал c 1 по 500 наблюдение (с 01/09/95 по 03/09/97)