<< Пред.           стр. 14 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу

  б) Взносы производятся ежеквартально (р-срочная рента).
 
  По условию задачи коэффициент наращения Находим коэффициент наращения по наименьшей процентной ставке:
 
 
 
 
  Так как т.е. 5,2661 > 5,0, снижаем интервал процентных ставок.
 
  Принимаем i = 0,13 ; i = 0,12. Предполагаемая процентная ставка должна находиться в интервале от 12 до 13%.
 
  Рассчитываем коэффициенты наращения для этих ставок:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  откуда
 
 
 
 
  По полученной ставке рассчитаем коэффициент наращения:
 
 
 
 
  Как видно, он весьма близок к заданному.
 
 
 4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДРУГИХ
 ВИДОВ РЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ
 
  На практике встречаются ренты, отличающиеся от рассмотренных выше рядом параметров. Расчет обобщающих показателей этих рент имеет ряд особенностей.
 
 Рентные платежи с простыми процентами
 
  При расчетах рентных платежей в финансовой практике чаще всего используются сложные проценты. Вместе с тем существуют рентные платежи, в которых начисление процентов производится по ставкам простых процентов.
 
  Рассмотрим методы определения наращенной суммы и современной величины в таких рентах.
 
  Предположим, что рентные платежи вносятся один раз в конце года, начисление простых процентов производится также в это время.
 
  Пример 4.16. Имеется рента с параметрами: R; p = 1; n = 4; i.
 
  Схематично расчет наращенной суммы представим следующим образом:
 
 Платежи I-й II-й III-й IV-й Годы Платежи Проценты по платежам Платежи Проценты по платежам Платежи Про- центы по плате- жам Пла- тежи Про- центы по плате- жам 1-й R - - - - - - - 2-й - Ri R - - - - - 3-й - Ri - Ri R - - - 4-й - Ri - Ri - Ri R
  Годовые платежи с начисле- нными процентами R+ R 3i =
 = R (1+ (n-1) i) R+R 2i =
 = R (1+(n-2) i) R+R i =
 = R (1+(n -3) i) R
  Перепишем итоговую строку в обратном порядке:
 
 R; R [1 + (n - 3) i ]; R [1 + (n - 2) i ]; R [1 + (n - 1) i ].
 
  Данная последовательность представляет собой арифметическую прогрессию*.
  _____
  *1 Напомним, что сумма членов арифметической прогрессии равна:
 
 
 
 
  где a - первый член прогрессии; a - последний член; n - число членов.
 
  Сумма членов этой прогрессии будет являться суммой членов годовой ренты:
 
 
 
  (4.42)
 
  где n - число рентных платежей (срок ренты);
 
  R - годовой рентный платеж;
 
  i - простая процентная ставка;
 
  S - наращенная сумма ренты.
 
  В р-срочной ренте с начислением процентов один раз в году платежи с начисленными на конец срока ренты процентами представляют собой последовательность:
 
 
 
 
  где R - сумма разового платежа
 
  N - общее число платежей (N = n p).
 
  Данная последовательность также является арифметической прогрессией, первый член которой равен R, а прирост -
  Сумма членов этой прогрессии, или наращенная сумма ренты, будет равна:
 
 
 
  (4.43)
 
  где R - разовый рентный платеж;
 
  р - число платежей в году;
 
  n - срок ренты в годах;
 
  N - общее число платежей за весь срок ренты, т.е. N = n p;
 
  i - ставка простых процентов.
 
  Пример 4.17. Рентные платежи вносятся дважды в год по 500,0 тыс. руб. в течение четырех лет. Начисление простых процентов производится в конце года по ставке 20% годовых. Определить наращенную сумму ренты.
 
  Параметры ренты: R = 500,0; n = 4; p = 2; i = 0,2; N = 4 2 = 8.
 
 млн руб.
 
  Расчет современной величины ренты при использовании метода математического дисконтирования производится по формулам:
 
  а) для годовой ренты
 
 
 
  (4.44)
 
  б) для р-срочной ренты
 
 
 
  (4.45)
 
  где t = 1, 2... N - общее число платежей за весь срок ренты;
 
  p - число платежей в году;
 
  R - разовый рентный платеж.
 
  Пример 4.18. Банк, предоставляя кредит фирме сроком на 4 года, выставил следующие условия: кредит должен быть погашен ежегодными равными платежами по 1,6 млн руб., вносимыми в конце года; на платеж будут начисляться простые проценты в размере 15% годовых. Определить современную величину ренты.
 
  Параметры ренты:
 
  R = 1,6; t = N = 4; p = 1; i = 15%;
 
  A = 1,6 4 (1 + 4 0,15) = 4,0 млн руб.
 
  Если для нахождения современной величины применяется банковский метод учета (простые учетные ставки d ), то современная величина определяется по формуле:
 
 
 
  (4.46)
 
  Пример 4.19. Коммерческий банк заключил с машиностроительной фирмой факторинговую сделку - приобрел принадлежавшее ей долговое обязательство за изготовленное и проданное ею оборудование, применив учетную ставку 5,5%. Согласно этим обязательствам фирма должна получить с покупателя вместе с начисленными процентами в течение года 10,0 млн руб., выплачиваемых ежеквартально равными долями по 2,5 млн руб.
 
  Определим сумму, полученную фирмой в банке (современную величину):
 
 млн руб.
 
  Смешанные ренты. Финансовая практика знает случаи, когда для р-срочных рент применяется смешанный метод начисления процентов. Суть этого метода заключается в том, что в течение года на вносимые платежи начисляются простые проценты, а за целые годовые периоды - сложные проценты. При наличии подобных рент процесс расчета наращенной суммы разбивается на два этапа:
 
  а) Расчет наращенной суммы в пределах года:
 
 
 
 (4.47)
 
  б) Так как величина S является членом годовой ренты, выплачиваемой в течение n лет, то наращенная сумма за весь срок ренты составит:
 S = S S.
 (4.48)
 
  Пример 4.20. Страховая компания заключила договор с коммерческим банком на следующих условиях. Компания в начале каждого месяца вносит в банк 2,0 млн руб., на которые в течение года начисляются простые проценты по ставке 10%, а за целые годовые периоды - сложные проценты по ставке 8%. Определить накопленную за 4 года сумму.
 
  Параметры ренты:
 
  R = 2,0; p = 12; n = 4; i = 10%; i = 8%.
 
  млн руб.
 
  S = S S = 25,1 4,506112 = 113,10341 млн руб.
 
  Теоретически могут встречаться ренты с периодом, превышающим один год. Например, рентные платежи вносятся один раз в два или три года и т.п. Вероятность возникновения на практике подобных рент крайне незначительна, в силу чего в данный работе они не рассматриваются.
 
  Вечная рента. В начале данной главы мы рассматривали случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, т.е. она является вечной рентой. Как пример вечной ренты приводился выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения, доходы по которым выплачиваются через определенные промежутки времени, т.е. эти доходы являются членами ренты.
 
  Формально наращенная сумма является бесконечно большой величиной, а следовательно, и современная величина также является большой величиной. Однако при внимательном рассмотрении расчет современной величины производится достаточно просто и имеет прикладное значение. Выше было показано, что при неограниченном возрастании величины n коэффициент приведения ренты достигает значения Откуда для вечной ренты находим приведенную величину:
 
  (4.49)
 
  Следовательно, современная величина вечной ренты зависит от величины члена ренты и принятой ставки процентов. Величина годового платежа:
 
 R = A i.
 (4.50)
 
  В ограниченной ренте, т.е. ренте с конечным числом членов, современная величина А зависит не только от значения годового платежа, но и от коэффициента приведения a , при этом с ростом срока ренты n увеличение значения a все время замедляется и, как ранее указывалось, при неограниченном возрастании величины n коэффициент приведения достигает значения
 
  Для сравнения коэффициентов приведения обычной ренты с большим сроком n и вечной ренты рассмотрим данные, помещенные в табл. 4.2. В ней приведены значения a и a для процентной ставки i = 5% и различной продолжительности ренты.
 
  Таблица 4.2
 
 Коэффициенты приведения
 годовой ренты для различных сроков
 
 Продолжительность ренты, лет 10 15 20 25 50 100 Вечная Коэффициент приведения 7,7217 10,3797 12,4622 14,0939 18,2559 19,8479 20,0
  Как видно из приведенных данных, при сроке ренты в 50 лет коэффициент приведения незначительно отличается от коэффициента приведения вечной ренты.
 
  Для общего случая вечной ренты, когда p > 1, современная величина будет равна:
 
 
 
  (4.51)
 
  Если p = m, то
 
 
 
 
 
  (4.52)
 
  Пример 4.21. Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере 2 тыс. руб. дважды в год - в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определить сумму, подлежащую выплате на каждую облигацию.
 
  Для решения задачи необходимо найти приведенную величину:
 
 
 
 
  Отложенная рента. Рассмотрим расчет современной величины для отложенных (отсроченных) рент, т.е. таких, срок реализации которых откладывается на время, указанное в контракте.
 
  Современная величина отложенной ренты является дисконтированной величиной современной величины немедленной ренты по принятой для нее процентной ставке. Период отсрочки выплаты рентных платежей и процентная ставка служат основанием для определения величины дисконтного множителя. Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:
 
 A = A V,
 (4.53)
 
  где A - современная величина отложенной ренты;
 
  А - современная величина немедленной ренты;
  V - дисконтный множитель за t лет.
 
  Пример 4.22. Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 2,5 млн руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.
 
  а) Современная величина немедленной ренты:
 
 A = R a = R a = 2,5 2,4869 = 6,21725 млн руб.
 
  б) Современная величина отложенной ренты:
 
 A = A V = 6,21725 1,1 = 5,138223 млн руб.
 
  в) Выигрыш заказчика:
 
 6,21725 - 5,138223 = 1,079027 млн руб.
 
  Рента пренумерандо. Рассмотрев методы расчета основных параметров обычных рент, т.е. таких, в которых рентные платежи производились в конце периода (ренты постнумерандо), перейдем к рассмотрению методов расчета этих же параметров для рент пренумерандо, т.е. рент, в которых платежи производятся в начале каждого периода. Отличие между этими рентами сводится к числу периодов начисления процентов.
 
  Предположим, мы имеем ренту пренумерандо с параметрами:
 
 R; i; n = 4 .
 
  Тогда рентные платежи с начисленными в конце срока процентами образуют ряд:
 
  1-й взнос - R (1 + i) = R (1 + i)
 
  2-й взнос - R (1 + i) = R (1 + i)
 
  3-й взнос - R (1 + i) = R (1 + i)
 
  4-й взнос - R (1 + i) = R (1 + i) .
 
  Переписав этот ряд в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию, первый член которой равен R (1 + i), а знаменатель (1 + i ). Сумма членов этой прогрессии определяется по формуле:
 
 
 
  (4.54)
 
  То есть сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1 + i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:
 
 S' = S (1 + i),
 (4.55)
 
  где S - наращенная сумма ренты постнумерандо.
 
  Для годовой ренты пренумерандо с m-разовым и непрерывным начислением процентов расчет наращенных сумм производится по формулам:
 
 
 
 
 (4.56)
 
 S = S e.
 (4.57)
 
  Для р-срочной ренты:
 
 
 
  (4.58)
 
 
 
  (4.59)
 
 
 

<< Пред.           стр. 14 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу