<< Пред. стр. 16 (из 37) След. >>
Список литературы по разделу
(5.14)
При равенстве процентных ставок объединяемых рент и вновь создаваемой i = i =...= i = i выражение (5.13) упрощается и записывается в следующем виде:
Тогда
(5.15)
Пример 5.6. Объединяются три ренты со сроками n = 7; n = 4; n = 9 лет; члены ренты равны между собой - R = 0,5 млн руб., процентные ставки также равны - i = 0,08. Член консолидированной ренты установлен в размере R = 1,5 млн руб.; процентная ставка сохраняется, i = 0,08. Определить срок новой ренты.
По выражению (5.15)
года.
Округляем срок ренты до шести лет, а компенсацию разности предусматриваем в сумме современных величин.
При объединении рент могут быть предложены различные условия, что сопровождается необходимостью расчета характеристик консолидированной ренты. Вывод формул для их вычисления всегда основан на равенстве современных величин.
ГЛАВА VI. ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
6.1. ПОТОКИ С РАЗОВЫМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ ПЛАТЕЖЕЙ
В предыдущих главах мы рассмотрели потоки платежей, в которых члены потока были постоянными величинами. Между тем на практике встречаются потоки платежей, члены которых изменяются по своей величине в течение срока ренты. Это может быть обусловлено рядом факторов. Например, сумма амортизационных отчислений зависит от количества и стоимости имеющихся в наличии основных фондов. Изменяется их количество - соответственно изменяются и их стоимость и величина амортизационных отчислений. То есть ряд производственных или коммерческих факторов могут влиять на изменение величины членов потока платежей.
Поток последовательных платежей, члены которого не являются постоянными величинами, называется переменной рентой. Изменение величины последовательных платежей в ряде случаев может быть описано каким-либо законом. В других случаях их изменение происходит без всяких видимых закономерностей и такая последовательность платежей представляет собой нерегулярный поток платежей.
Рассмотрение переменных дискретных потоков платежей начнем с переменной ренты с разовыми изменениями размера члена ренты.
Предположим, что срок ренты - n лет и он разбит на K - временных отрезков (t = 1, 2... K). Продолжительность временных отрезков n, n,... n; n = n + n +... n . Член ренты R - величина постоянная только в пределах каждого временного отрезка, т.е. R R ... R. Проценты начисляются в каждом временном отрезке по ставкам i , i ,...i в конце года.
При соблюдении данных условий наращенная сумма годовой ренты будет равна:
(6.1)
Коэффициенты наращения годовой ренты S определяются по формуле (4.1), значения этих коэффициентов приведены в Приложении 4.
Современная величина годовой ренты:
(6.2)
Коэффициенты приведения годовой ренты a определяются по формуле (4.11) или по Приложению 5.
Для нахождения наращенной суммы или современной величины в р-срочной ренте используются соответствующие коэффициенты наращения или приведения
Пример 6.1. На модернизацию предприятия получен долгосрочный кредит сроком на 10 лет, погашение которого будет производиться на следующих условиях. В первые пять лет платежи в размере 3,0 млн руб. вносятся каждые полгода под 8% годовых. Следующие три года платежи в размере 5,0 млн руб. вносятся также по полугодиям под 10% годовых. Последние два года платежи в размере 6,0 млн руб. вносятся ежеквартально под 10% годовых. В течение всего срока ренты проценты начисляются раз в году. Определить наращенную сумму.
Параметры ренты:
n = 10; n = 5; n = 3; n = 2 года.
R = 3,0 2 = 6,0; R = 5,0 2 = 10,0; R = 6,0 4 = 24,0 млн руб.
i = 8%; i = 10%; i = 10%;
p = 2; p = 2; p = 4;
m = m = m = 1;
= 6 5,9783 1,4693 + 10 3,3908 1,2 + 24 2,1772 =
= 145,9850 млн руб.
6.2. ПЕРЕМЕННЫЕ РЕНТЫ С ПОСТОЯННЫМ АБСОЛЮТНЫМ
И ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЕЕ ЧЛЕНОВ
Имеется рента, члены которой вносятся в течение n лет в конце года таким образом, что каждый член больше предшествующего на постоянную величину - d, т.е. члены ренты изменяются по закону возрастающей арифметической прогрессии. Одновременно на члены ренты начисляются один раз в конце года сложные проценты по ставке i. Требуется определить наращенную сумму этой ренты.
Обозначим первый член ренты R. Тогда к концу срока ренты, т.е. в конце n-го года, ее члены достигнут величин:
Первый член - R (1 + i ).
Второй член - (R + d) (1 + i ).
Третий член - (R + 2 d) (1 + i )
..................................................................
..................................................................
Предпоследний член - [R + (n - 2) d] (1 + i ).
Последний член - R + (n - 1) d.
Сложив все члены ренты, найдем наращенную сумму к концу ее срока. Для удобства записи введем обозначение (1 + i) = r.
Тогда сумма членов ренты будет равна:
S = R r + (R + d) r + (R + 2 d) r + ...+ [R + (n - 2) d] r + [R + (n - 1) d ].
Преобразуем полученное выражение:
S = R (r + r + r +...+ r + 1) +d [r + 2 r +...+ (n - 2) r + (n - 1)].
В первой скобке правой части полученного выражения мы имеем сумму членов геометрической прогрессии, первый член которой R, а знаменатель r = 1 + i. Следовательно, сумму членов этой прогрессии можно записать в виде:
S' = R S.
Выражение, заключенное во второй скобке, обозначим буквой Q. Тогда наращенная сумма ренты может быть записана в виде:
S = R S + d Q.
Далее умножим величину Q на r и найдем разность:
Q r - Q = r + r +r +...+ r - n
или
Q (r - 1) = S - n.
Подставив вместо r его значение (1 + i ), получим:
Q i = S - n,
откуда определяем значение:
В окончательном виде наращенная сумма рассматриваемой ренты определяется по формуле:
(6.3)
Если члены ренты не увеличиваются, а уменьшаются на постоянную величину d, то наращенная сумма будет определяться как
(6.4)
Пример 6.2. По условиям контракта платежи вносятся в конце года, первый платеж составляет 2,0 млн руб., каждый год его величина возрастает на 0,2 млн руб., срок выплат 4 года, процентная ставка 8%. Определить наращенную к концу срока сумму.
Параметры ренты:
R = 2,0; d = 0,2; n = 4; i = 0,08.
млн руб.
Внесем изменения в условия задачи: часть ренты не увеличивается, а уменьшается на 0,2 млн руб., остальные условия не меняются.
В этом случае наращенная сумма равна:
млн руб.
Для рент пренумерандо, т.е. когда платежи вносятся в начале каждого года, при сохранении условия, что каждый новый платеж увеличивается по сравнению с предыдущим на постоянную величину d, наращенная сумма ренты определяется по формуле:
(6.5)
Приведенная формула справедлива при использовании коэффициентов наращения, рассчитанных для рент постнумерандо.
При использовании коэффициентов наращения, рассчитанных для рент пренумерандо, наращенная сумма определяется по формуле:
(6.6)
Пример 6.3. Выплачиваются рентные платежи на следующих условиях: первый член ренты 1,0 млн руб. вносится в начале года, остальные члены ренты также вносятся в начале года, но ежегодно увеличиваются на 0,1 млн руб., срок ренты 4 года, процентная ставка 5%. Определить наращенную сумму ренты.
R = 1,0 млн руб.; d = 0,1 млн руб.; n = 4 года; i = 5%.
S = S = 5,525631.
5,1769 млн руб.
Для нахождения современной величины переменной ренты с возрастающими на постоянную величину d членами воспользуемся выражением:
S = A (1 + i),
откуда
A = S (1 + i).
(6.7)
При разработке условий платежных контрактов, погашаемых рентой, члены которой изменяются в виде арифметической прогрессии, для определения размера первого платежа R при заданном значении величины постоянного прироста d, процентной ставки i и наращенной суммы S используется формула:
(6.8)
Зная текущую сумму долга, т.е. величину А, можно также определить размер первого платежа:
(6.9)
Из этого выражения находится величина А. Величина абсолютного прироста d определяется по формуле:
(6.10)
Пример 6.4. Фирма получила кредит 15,0 млн руб., который должен быть погашен в течение 5 лет постоянно возрастающими платежами с абсолютным ежегодным приростом, равным 0,5 млн руб. Платежи и начисление процентов на них производятся в конце года, процентная годовая ставка 9%. Определить размер первого платежа, а также общую сумму выплат.
По условию:
n = 5 лет; A = 15,0 млн руб.; d = 0,5 млн руб.; i = 9%;
S = 5,984710.
млн руб.
млн руб.
Проверим полученные результаты расчетом приведенной величины:
A = S (1 + i ) = 23,0776111 1,09 = 14,99886 ( 15,0) млн руб.
Ренты с постоянным относительным изменением платежей
Имеется рента, члены которой вносятся в течение n лет в конце года таким образом, что каждый член больше предшествующего в q раз, т.е. члены ренты изменяются по закону возрастающей геометрической прогрессии. Одновременно на члены ренты начисляются в конце каждого года сложные проценты по ставке i. Если обозначить первый член ренты R, то к концу срока ренты, т.е. в конце n-го года, ее члены образуют ряд:
Первый член - R (1 + i ).
Второй член - R q (1 + i ).
Третий член - R q (1 + i ).
..............................................................
..............................................................
Предпоследний член - R q (1 + i ).
Последний член - R q .
Сумму членов этого ряда определяют по формуле:
(6.11)
Приведенная величина в этой ренте равна:
(6.12)
Современную величину для р-срочной ренты находим по формуле:
(6.13)
Пример 6.5. Получен кредит сроком на 7 лет. Условия погашения следующие: первый платеж 0,2 млн руб., каждый следующий возрастает на 10%, платежи вносятся два раза в году; процентная ставка 8% годовых. Определить размер полученного кредита и сумму, подлежащую выплате.
Параметры ренты:
R = 0,2 млн руб.; q = 1,1; p = 2; n = 7; i = 0,08.
млн руб. - сумма предоставленного кредита.
млн руб.
Проверка:
A = S (1 + i) = 6,85762 1,08 = 6,85762 0,5835 = 4,0 млн руб.
ГЛАВА VII. ПОГАШЕНИЕ СРЕДНЕСРОЧНЫХ И ДОЛГОСРОЧНЫХ КРЕДИТОВ
7.1. СРЕДНЕСРОЧНЫЕ И ДОЛГОСРОЧНЫЕ КРЕДИТЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
В банковской практике западных стран среднесрочным считается кредит, выданный на срок от 2 до 5 лет. Кредиты, выданные на срок свыше 5 лет, являются долгосрочными. Данная градация является достаточно условной и справедлива при стабильной экономике и незначительной инфляции.
Расходы, связанные с погашением займа, т.е. погашением основного займа и выплатой процентов по нему, называются расходами по обслуживанию долга или амортизацией займа.
Существуют различные способы погашения задолженности. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности.
Одним из важнейших элементов плана является определение числа выплат в течение года, т.е. определение числа так называемых срочных уплат и их величины.
Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначенные для погашения как основного долга, так и текущих процентных платежей. При этом средства, направляемые на погашение (амортизацию) основного долга, могут быть равными или изменяющимися по каким-либо законам, а плата за кредит, вычисленная по сложным процентам, будет выплачиваться отдельно. Иногда в течение ряда лет выплачиваются только проценты за кредит, а сам долг погашается в оставшееся время в рассрочку, т.е. несколькими платежами, или разовым платежом.
Погашение кредита может также производиться аннуитетами, т.е. платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом. Величина аннуитета может быть постоянной, а может изменяться в арифметической или геометрической прогрессии.
Величина срочных уплат зависит от величины кредита, его срока, наличия и продолжительности льготного периода, размера процентной ставки и т.п. Однако, как правило, проценты за кредит должны выплачиваться и в льготном периоде. Ниже рассматривается ряд методов разработки планов погашения кредитов.
7.2. ПОГАШЕНИЕ ДОЛГА РАВНЫМИ СРОЧНЫМИ УПЛАТАМИ
Условиями кредитного контракта может предусматриваться погашение долга равными срочными уплатами в конце каждого расчетного периода. Каждая срочная уплата (Y) будет являться суммой двух величин: годового расхода по погашению основного долга R и процентного платежа по займу I, т.е.
Y = R + I.
В этом случае остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, годовой расход погашенного основного долга растет, а срочные уплаты будут являться аннуитетами ренты постнумерандо.
<< Пред. стр. 16 (из 37) След. >>
Список литературы по разделу