<< Пред. стр. 17 (из 37) След. >>
Список литературы по разделу
Величина кредита (D) равна сумме всех дисконтированных аннуитетов, т.е. является современной величиной всех срочных уплат.
Исходя из этого, можно записать:
где Y = Y ...=Y - срочные уплаты;
i - ставка процентов по займу.
Для удобства записи обозначим (1 + i) = r, тогда
Умножим первое выражение на величину r :
Вычтя из второго уравнения первое уравнение, получим:
Тогда
Подставив вместо r его значение, получим:
(7.1)
Из выражения (7.1) определим величину срочной уплаты:
(7.2)
Величина
- коэффициент погашения задолженности.
(7.3)
Пример 7.1. Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 40,0 тыс. долл. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление процентов производится раз в году. Составить план погашения займа.
Параметры займа:
D = 40,0 тыс. долл.; n = 5 лет; i = 0,06; m = 1.
Ежегодная выплата равна:
тыс. долл.
Величина процентного платежа за первый год составит:
I = 40,0 0,06 = 2,400 тыс. долл.
Так как Y = R + I, то выплата основного долга определится величиной:
R = Y - I = 9,4960 - 2,400 = 7,0960 тыс. долл.
Тогда остаток основного долга после первого года
D = 40,0 - 7,0960 = 32,9040 тыс. долл.
Процентный платеж во втором году
I = 32,9040 0,06 = 1,9742 тыс. долл.
Величина выплаты основного долга во втором году
R = 9,4960 - 1,9742 = 7,5218 тыс. долл.
Остаток основного долга после второго года
D =32,940 - 7,5218 = 25,3822 тыс. долл.
Процентный платеж на эту сумму в третьем году
I = 25,3822 0,06 = 1,5229 тыс. долл.
Величина выплаты основного долга в третьем году
R = 9,4960 - 1,5229 = 7,9731 тыс. долл.
Остаток основного долга
D = 25,3822 - 7,9731 = 17,4091 тыс. долл.
Процентный платеж на эту сумму
I = 17,4091 0,06 = 1,0445 тыс. долл.
Величина выплаты основного долга в четвертом году
R = 9,4960 - 1,0445 = 8,4515 тыс. долл.
Остаток долга после четвертого года
D = 17,4091 - 8,4515 = 8,9576 тыс. долл.
Процентный платеж на эту сумму
I = 8,9576 0,06 = 0,5375 тыс. долл.
Величина выплаты основного долга
R = 9,4960 - 0,5375 = 8,9585 тыс. долл.
План погашения долга представим в виде табл. 7.1.
Таблица 7.1
План погашения долга, тыс. долл.
Годы
Остаток долга D
Процентный платеж I
Годовой расход
по погашению основного долга R
Годовая срочная уплата Y
1
40,0000
2,4000
7,0960
9,4960
2
32,9040
1,9742
7,5218
9,4960
3
25,3822
1,5229
7,9731
9,4960
4
17,4091
1,0445
8,4515
9,4960
5
8,9576
0,5375
8,9585
9,4960
Итого
-
7,4791
40,0000
47,4791
Приведенные методы составления плана погашения займа равными платежами не являются единственными. Рассмотрим некоторые другие.
При погашении займа равными платежами остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты. В результате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих на погашение основного долга (см. табл. 7.1). Между двумя последовательными выплатами основного долга существует взаимосвязь. Для ее определения возьмем два последовательных расчетных периода - k и (k + 1).
В k-м расчетном периоде годовая срочная уплата
Y = D i + R ,
а остаток невыплаченного долга соответственно определяется как
Однако для определения Dk необходимо предварительно определить R. В периоде (k+1) остаток основного долга
D = D - R ,
следовательно, срочная уплата в этом периоде может быть записана в виде:
Y = (D - R) i + R.
По условию
Y = Y = ... Y = Y.
Отсюда
D i + R = (D - R) i + R.
Решив это уравнение относительно R, получим:
R + 1 = R (1 + i).
(7.4)
То есть каждая выплата, произведенная в счет погашения основного долга, отличается от предыдущей на величину (1 + i ).
Зная эту зависимость, можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде.
Так
R = R (1 + i); R = R (1 + i);
R = R (1 + i); ... R = R (1 + i). (7.5)
Зная размер кредита D, процентную ставку i и срок погашения кредита n, рассчитаем величину первой выплаты погашения основного долга R.
Величина займа D равна сумме выплат R , т.е.
D = R + R (1 + i) + R (1 + i) +...+ R (1 + i).
После некоторых преобразований данного выражения величину R можно определить по формуле:
(7.6)
Величина
(7.7)
называется ставкой погашения.
Пример 7.2. По данным примера 7.1 рассчитать величину первого платежа для погашения основного долга.
Из выражения (7.5) находим:
Размер платежа основного долга в любом периоде (R) можно определить не только по формуле (7.4), но и другим способом.
Известно, что первая выплата (R) определяется выражением (7.6):
а величина кредита равна
Подставив это значение D в формулу (7.6), получим:
Так как R = R (1 +i), то, подставив в это выражение значение R, получим:
R = Y (1 + i) (1 + i) = Y (1 + i)
или
(7.8)
Используя выражение (7.8), можно рассчитать для любого периода величину процентного платежа I.
Так как Y = I + R ,
то I = Y - R .
Подставим в это выражение значение R , тогда
(7.9)
Пример 7.3. По данным примера 7.1 рассчитать величину процентного платежа на конец последнего года погашения займа.
тыс. долл.
Для расчета остатка невыплаченного основного долга на любой k-й период воспользуемся выражением:
Подставив в это выражение значения Y и R, получим:
(7.10)
Пример 7.3а. По данным примера 7.1 рассчитать остаток основного невыплаченного долга на начало 3-го года погашения.
тыс. долл.
Используя приведенные выше формулы, составим план погашения долга при изменяющихся процентных ставках.
Пример 7.4. Получен кредит в сумме D = 10,0 млн руб. сроком на 7 лет. Процентная ставка изменяется по годам в следующем порядке.
Годы
1-2
3-4
5-7
Процентная ставка
7,0
10
16
Погашение основного долга и проценты выплачиваются в конце года.
1-й год
млн руб.
R = Y - I = 1,8555 - 10,0 0,07 = 1,1555 млн руб.
2-й год
Остаток долга на начало 2-го года:
D = 10 - 1,1555 = 8,8445 млн руб.
млн руб.
R = 1,8555 - 8,8445 0,07 = 1,8555 - 0,6191 = 1,2364 млн руб.
3-й год
D = 8,8445 - 1,2364 = 7,6081 млн руб.
млн руб.
R = 2,0070 - 7,6081 0,1 = 1,2462 млн руб.
4-й год
D = 7,6081 - 1,2462 = 6,3619 млн руб.
млн руб.
R = 2,0070 - 6,3619 0,1 = 1,3708 млн руб.
5-й год
D = 6,3619 - 1,3708 = 4,9911 млн руб.
млн руб.
R = 2,2223 - 4,9911 0,16 = 1,4237 млн руб.
6-й год
D = 4,9911 - 1,4237 = 3,5674 млн руб.
млн руб.
R = 2,2223 - 3,5674 0,16 = 1,6516 млн руб.
7-й год
D = 3,5674 - 1,6516 = 1,9158 млн руб.
млн руб.
<< Пред. стр. 17 (из 37) След. >>
Список литературы по разделу