<< Пред.           стр. 24 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу

  (9.8)
 
  При выкупной цене облигации С, отличающейся от номинала, вместо (9.8) получим:
 
 
 
  (9.9)
 
  где - отношение купонного дохода к выкупной цене.
 
  Пример 9.2. Облигация выкупается через 10 лет по номиналу 10 тыс. руб. с доходностью 8% годовых. Рыночная процентная ставка, принятая при оценке, - 11%. Найти величину дисконта и цену продажи.
 
  Расчетные параметры:
 
  n = 10; N = 10 000; g = 0,08; i = 0,11; = 5,889232 .
 
  По (9.8) находим
 
  руб.
 
  P = -16061,54 + 10 000 = - 6061,54 руб.
 
  Дисконт составляет:
 
  10 000 + (- 6061,54) = 3938,45 руб.
 
  Расчет ставки помещения. Для приближенной оценки ставки помещения соотносят годовой доход от облигации со средней ее ценой. Средняя цена определяется на основе номинала и цены приобретения. Для облигаций, приобретенных с дисконтом, ставка помещения равна:
 
 
 
  (9.10)
 
  а для облигаций, купленных с премией:
 
 
 
  (9.11)
 
  где n - число лет, оставшихся до погашения;
 
  g - годовой купонный доход;
 
  P - цена приобретения;
 
  N - номинал облигации.
 
  По данным примера 9.1 рассчитаем ставку помещения для случая продажи облигации с дисконтом:
 
  Значение ставки помещения можно рассчитать более точно с использованием интерполяции.
 
  Формула линейной интерполяции:
 
 
 
  (9.12)
 
  где - некоторые значения процентных ставок, в пределах которых предположительно находится действительная ставка помещения; значения выбираются с учетом того, что i > g, < 100;
 
  - курсы облигаций, рассчитанные с использованием ставок по формулам (9.4)-(9.6).
 
  Метод интерполяции может быть использован и для случая, когда облигации продаются с премией. Здесь выбор значений производится с учетом того, что i < g.
 
  Пример 9.3. По данным примера 9.1 найти показатели доходности.
 
  а) Текущая доходность:
 
 
 
 
  б) Полная доходность.
 
  Так как < 100, то < i, т.е. 10,6 < i.
 
  Для интерполяции выберем ставки и
 
  Согласно (9.4) находим:
 
 
 
 
 
 
 
  Тогда по (9.12)
 
  Для проверки полученного результата найдем расчетный курс облигации, использовав для этого ставку помещения - i = 11,0107:
 
  (0,5887 + 0,3518) 100 = 94,0504.
 
  Курс облигации (94,05), рассчитанный с помощью полученной ставки помещения (11,0107 %), незначительно отличается от курса облигации (94,11), полученного в результате сопоставления рыночной цены и номинала.
 
  Рассмотрим расчет показателя доходности для других видов облигаций.
 
  Облигации без выплаты процентов. Для данного вида облигаций доходом является разность между ценой погашения (номиналом) и ценой приобретения. Приравняем дисконтированную величину номинала облигации к цене облигации, выразив ее через курс облигации, т.е.
 
 
 
 
  откуда
 
 
 (9.13)
 
  где - курс облигации, < 100;
 
  n - срок от момента приобретения до момента выкупа.
 
  Пример 9.4. Коммерческий банк выпустил в 2000 г. облигации без выплаты процентов, погашение которых будет производиться в 2004 г. Курс реализации облигаций в момент их выпуска составил 76,5. Определить доходность облигаций.
 
 
 
 
  Облигации с выплатой процентов в конце срока обращения. Владелец данного вида облигации в конце срока обращения получит ее номинальную стоимость с начисленными процентами. Дисконтировав эту величину и приравняв ее к цене приобретения, получим:
 
 
 
 
  где V = (1 + i ) - дисконтный множитель по ставке i.
 
  Из приведенного равенства находим:
 
 
 
  (9.14)
 
  Пример 9.5. Банк выпустил облигации со сроком погашения через 10 лет. Начисление процентов на номинал - 6% годовых. Выплата процентов и номинальная стоимость выплачиваются при погашении. Определить доходность облигации (ставку помещения), если ее курс при первоначальной реализации составил: а) 108,0; б) 92,0.
 
  а)
 
  б)
 
  Облигации, выкупная цена которых отличается от номинала. В случае когда выкупная цена С отличается от номинала N, прирост капитала составит разность C - N. Величина Р определится по формуле:
 
 P = N g + C (1 + i).
  (9.15)
 
  Величину же ставки помещения можно определить, использовав метод интерполяции.
 
  Для определения доходности облигации иногда используется простая процентная ставка.
 
  В этом случае ставка помещения равна:
 
 
 
  (9.16)
 
  где g - текущий доход облигации в процентах.
 
  Существует определенная взаимозависимость между показателями текущей доходности и ставками помещения, выраженными в виде простых и сложных процентов.
 
  При приобретении облигации с премией: p > 100, i > i > .
 
  Если облигация приобретена с дисконтом, то p < 100, i < i < .
 
  В случае приобретения облигации по номиналу, все показатели доходности равны между собой и равны ставке g.
 
  Пример 9.6. Определить доходность облигации в виде простой ставки, использовав данные примера 9.1.
 
 
 
 
  Текущая доходность составила 10,63%, ставка помещения (сложные проценты) - 11,01% (см. пример 9.3). Как видим, соблюдается неравенство 10,63 < 11,01 < 11,25.
 
 
 9.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЛИГАЦИЙ
 
  Доходность является важнейшим, но не единственным критерием для выбора облигации. Другим показателем привлекательности для инвестора того или иного вида облигации является продолжительность срока до ее погашения. При увеличении последнего растет степень финансового риска для ее владельца. Безусловно, риск приобретения облигаций с купонными доходами значительно ниже риска, связанного с облигациями, выплата процентов по которым производится в конце срока. В связи с этим существует ряд показателей, которые характеризуют в той или иной степени особенности распределения доходов в период времени от момента покупки облигации до момента погашения.
 
  Одним из таких показателей является средний срок облигации. Данный показатель есть средняя взвешенная величина, определяющая средний срок всех выплат по облигациям, при этом весами служат размеры этих выплат. При ежегодных купонных выплатах средний срок выплат определяется как
 
 
 
  (9.17)
 
  где t - 1,2 ..., n - сроки платежей по купонам в годах;
 
  S - сумма платежа;
 
  N - номинальная стоимость облигации;
 
  g - купонный процент;
 
  - средний срок облигации.
 
  Поскольку купонные выплаты производятся ежегодно, то - есть сумма первых n членов арифметической прогрессии. Подставив эту величину в (9.17), получим:
 
 
 
  (9.18)
 
  При наличии купонных выплат
 
  Для облигаций, по которым купонные выплаты не производятся (облигации с "нулевым купоном"),
 
  Формулы (9.17) и (9.18) используются для расчета среднего срока облигаций, если последние погашаются по номиналу. В случае когда выкупная цена (С) отличается от номинала, т.е. C N, средний срок рассчитывается по формуле:
 
 
 
  (9.19)
 
  где t = 1, 2,... n.
 
  При полугодовых купонных выплатах средний срок равен:
 
  где t = 0,5; 1,0; 1,5; ... n.
 
  В этом случае а средний срок облигации
 
 
 
  (9.20)
 
  Пример 9.7. Облигация номиналом 1000 руб. выпущена со сроком погашения через 4 года. Ежегодно по купонам выплачивается 12% от номинала. Определить средний срок облигации.
 
 Срок платежей t (в годах) Платежи S, руб. tS
 (S в рублях) Платежи S,
 % tS
 (S в %) 1 120 120 12,0 12,0 2 120 240 12,0 24,0 3 120 360 12,0 36,0 4 120 + 1000 4480 12,0 + 100,0 448,0 Итого 1480 5200 148,0 520,0
  года, или года.
 
  Так же рассчитаем средний срок облигации по (9.19):
 
  года.
 
  Изменим условия примера: проценты по купонам выплачиваются дважды в год.
 
 Срок платежей t (в годах) Платежи S, руб. t S
 (S в рублях) Платежи S, % t S,
 (S в %) 0,5 60,0 30,0 6,0 3,0 1,0 60,0 60,0 60,0 6,0 1,5 60,0 90,0 6,0 9,0 2,0 60,0 120,0 6,0 12,0 2,5 60,0 150,0 6,0 15,0 3,0 60,0 180,0 6,0 18,0 3,5 60,0 210,0 6,0 21,0 4,0 6,0 + 1000 4240,0 6,0 + 10060 424,0 Итого 1480,0 5080,0 148,0 508,0
  года, или года.
 
  По (9.21)
 
  года.
 
  Очевидно, что увеличение частоты выплат процентных платежей снижает средний срок облигации.
 
  Наряду с показателем среднего срока облигации существует близкий ему по экономическому смыслу показатель, характеризующий среднюю продолжительность платежей. Иногда его называют показателем изменчивости; обозначим его символом D. В отличие от среднего срока облигации при расчете показателя D в качестве весов принимаются не суммы платежей, а адекватные им величины, для расчета которых использовалась действующая рыночная процентная ставка.
 
  Если проценты по облигации выплачиваются ежегодно, то расчет средней продолжительности платежей производится по формуле:
 
 
 
  (9.21)
 
  где V - дисконтный множитель, рассчитанный по рыночной процентной ставке;
 
  P - рыночная цена облигации.
 
  Разделив числитель и знаменатель на N, получим:
 
 
 
  (9.22)
 
  где t = 1, 2 ... , n.
 
  Величину , являющуюся одним из слагаемых в числителе (9.21) и (9.22), после преобразования можно записать в виде:
 
 
  (9.23)
 
  Использование данной формулы упрощает вычисление средней продолжительности платежей. При g > 0 соотношение между средним сроком облигации и средней продолжительностью платежей характеризуется неравенством D < . При увеличении среднего срока облигации увеличивается разница между этими величинами.
 
  Пример 9.8. Облигация выпущена сроком на 4 года. Ежегодно выплачиваются по купонам 12% годовых, рыночная процентная ставка - 12,5%. Курс облигации - 98,5. Определить показатель продолжительности платежей.
 
  Рассчитаем все элементы, входящие в (9.21).
 
 t V S SV tSV 1 0,8889* 12,0 10,6668 10,6668 2 0,7901 12,0 9,4815 18,9630 3 0,7023 12,0 8,4280 25,2840 4 0,6243 112,0 69,9210 279,6842
 
 
  98,4973 334,5980
 
 
 
  По (9.21) находим
 
  ( 3,4 года).
 
  Для расчета величины D используем также (9.22):
 
  = 3,005639384.
 
 
 
 
  ( 3,4 года).
 
  При выплате купонных платежей дважды в год для расчета средней продолжительности платежей можно воспользоваться формулой (9.23). В этом случае порядковый номер полугодия будет t, а V - дисконтный множитель по рыночной ставке, уменьшенной вдвое.
 
  Приведенные выше формулы для расчета величин и D, а также примеры показывают, что величина не зависит от рыночной процентной ставки, в тоже время величина D зависит от ее изменения: с ростом ссудного процента его влияние на отдаленные по времени платежи падает, что, в свою очередь, снижает величину D.
 
  Поэтому основным назначением показателя D является определение эластичности цены по процентной ставке, т.е. измерение степени колеблемости цены облигации при незначительных изменениях величины процентной ставки на денежном рынке.
 
  Решение этой задачи осуществляется с помощью модифицированной величины D, которая в отечественных экономических публикациях получила название модифицированной изменчивости (МД).
 
 
 
  (9.24)
 

<< Пред.           стр. 24 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу