<< Пред. стр. 4 (из 8) След. >>
Список литературы по разделу
G - вес жидкости, протекающий через живое сечение потока,
t - время течения жидкости.
Чаще всего используется объёмный расход потока жидкости. С учётом того, что поток складывается из элементарных струек, то и расход потока складывается из расходов элементарных струек жидкости dQ.
Расход элементарной струйки - объем жидкости dW, проходящей через живое сечение струйки в единицу времени. Таким образом:
Если последнее выражение проинтегрировать по площади живого сечения потока можно получить формулу объёмного расхода жидкости, как сумму расходов элементарных струек
Применение этой формулы в расчетах весьма затруднительно, так как расходы элементарных струек жидкости в различных точках живого сечения потока различны. Поэтому в практике для определения расхода чаще пользуются понятием средней скорости потока.
Средняя скорость потока жидкости Vср в данном сечении это не существующая в действительности скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, с которой должна была бы двигаться жидкость, что бы её расход был равен фактическому.
Струйная модель потока
В гидравлике рассматривается струйная модель движения жидкости, т.е. поток представляется как совокупность элементарных струек жидкости, имеющих различные скорости течения u?. Индекс ? означает (напоминает), что в каждой точке живого сечения скорости различны. Элементарные струйки как бы скользят друг по другу. Они трутся между собой и вследствие этого их скорости различаются. Причём, в середине потока скорости наибольшие, а к периферии они уменьшаются. Распределение скоростей по живому сечению потока можно представить в виде параболоида с основанием, равным ?. Высота его в любой точке равна скорости соответствующей элементарной струйки u?. Площадь элементарной струйки равна d?. В пределах этой площади скорость можно считать постоянной. Понятно, что за единицу времени через живое сечение потока будет проходить объём жидкости Wt, равный объёму параболоида. Этот объём жидкости и будет равен расходу потока.
.
С учётом понятия средней скорости, которая во всех точках живого сечения одинакова, за единицу времени через живое сечение потока будет проходить объём жидкости (обозначим его Wtср ), равный:
Wtср =?Vср.
Если приравнять эти объёмы Wtср = Wt=параболоида, можно определить значение средней скорости потока жидкости:
В дальнейшем среднюю скорость потока жидкости будем обозначать буквой V без индекса ср.
При неравномерном движении средняя скорость в различных живых сечениях по длине потока различна. При равномерном движении средняя скорость по длине потока постоянна во всех живых сечениях.
Лекция 8. Уравнения неразрывности
Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости
В технологическом оборудовании чаще всего рассматривают потоки, в которых не образуются разрывы жидкости, т.е. жидкость сплошь заполняет пространство.
Рассмотрим элементарную струйку несжимаемой жидкости при установившемся движении, в которой выделим два произвольных сечения 1-1 и 2-2, расположенные на некотором расстоянии одно от другого. Здесь d?1 и d?2 - площади, u1 и u2 - скорости, dQ1 и dQ2 - расходы элементарной струйки в соответствующих живых сечениях.
Очевидно, что
и
,
причём dQ1 втекает в рассматриваемый участок элементарной струйки, а dQ2 - вытекает.
Учтём, что форма элементарной струйки не изменяется с течением времени, а поперечный приток и отток невозможны, так как скорости на боковой поверхности струйки направлены по касательным к линиям тока, из которых состоит эта боковая поверхность, тогда получаем, что расходы dQ1 и dQ2 равны, т.е.
Вследствие того, что сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, подобные соотношения справедливы для любых сечений элементарной струйки. Следовательно, можно записать:
или
Последнее соотношение называется уравнением неразрывности в гидравлической форме для элементарной струйки несжимаемой жидкости при установившемся движении.
Уравнение неразрывности в гидравлической форме для потока жидкости при установившемся движении
Если просуммировать расходы всех элементарных струек в каждом живом сечении потока, то получится уравнение неразрывности для потока при установившемся движении. Обычно его записывают в следующих видах:
или
или
Из сказанного видно, что для несжимаемой жидкости при установившемся движении жидкости расход во всех живых сечения потока одинаков, несмотря на то, что площади живого сечения и средние скорости в каждом сечении и могут быть разными.
Из уравнения неразрывности вытекает следующее важное соотношение:
т.е. средние скорости в живых сечениях потока обратно пропорциональны их площадям.
Уравнение неразрывности потока жидкости в гидравлической форме очень часто применяется в гидравлике для описания движения жидкости в каналах и трубопроводах.
Дифференциальные уравнения неразрывности движения жидкости
Уравнения, рассмотренные выше, представлены в интегральной форме и не учитывают всех условий движения потока жидкости.
Рассмотрим то же самое движение жидкости, опираясь на важнейший закон механики - закон сохранения массы.
Рассмотрим движение со скоростью u некоторого произвольного объёма W плотностью ?ср. Масса этого объёма равна M = ?срW. Условием сплошности (неразрывности) является:
т.е. масса объёма W не меняется во времени. Однако неизменность массы не означает, что составляющие, определяющие массу тоже должны быть постоянны. Причём, в общем случае изменяются во времени как объём W, так и плотность жидкости ?. Тогда можно записать:
Первое слагаемое в этом уравнении описывает изменение массы за счёт изменения плотности при постоянном объёме, а второе слагаемое описывает изменение массы за счёт изменения объёма при постоянной плотности.
Учитывая то, что и , подставим эти значения в последнее уравнение и преобразуем его к виду:
Разделим это уравнение на M, приведя его тем самым к уравнению для единичной массы:
.
Первое слагаемое показывает изменение плотности во времени, т.е. в процессе движения (по мере перемещения) жидкости. Второе слагаемое - изменение объёма в процессе движения.
Рассмотрим подробно второе слагаемое. Для этого возьмём некоторую произвольную точку А с координатами X,Y,Z. Через неё (и вблизи неё) в момент времени t течёт жидкость со скоростью u. В проекции на оси координат в точке А жидкость имеет скорости ux, uy, uz, соответственно. Выделим вокруг точки А бесконечно малый объём в форме параллелепипеда с размерами dx, dy, dz. Будем считать этот объём неподвижным, а жидкость - протекающей через него. Определим величину объёма жидкости, которая поступает в рассматриваемый объём и вытекает из него за время dt.
В проекции на ось X в точке А горизонтальная составляющая скорости равна ux. В точке А2 (расположенной на грани dy - dz), находящейся на расстоянии от A, горизонтальная составляющая будет:
В точке А1 (расположенной на другой грани dy - dz) горизонтальная составляющая этой скорости будет равна:
В проекции на ось Y в точке А составляющая скорости будет равна uy. В точке, расположенной в центре грани dx - dz, находящейся на расстоянии от A эта составляющая скорости будет:
В точке, расположенной в центре противоположной грани dx - dz и находящейся на расстоянии от A, эта составляющая скорости будет:
Аналогично в проекции на ось Z в точке А составляющая скорости будет равна uz. В точке, расположенной в центре грани dx - dy и находящейся на расстоянии от A, эта составляющая скорости примет вид:
В точке, расположенной в центре противоположной грани dx - dy, и находящейся на расстоянии от A составляющая скорости будет:
В последних выражениях частные производные показывают изменение величин ux, uy и uz соответственно, приходящиеся на единицу длины, измеренную вдоль оси, проходящей через точку А и параллельно соответствующим координатным осям.
Объёмы жидкости W...(вых), вытекющей через соответствующие грани dy - dz, dx - dz, dx - dy, будут равны произведениям соответствующих проекций скоростей на площади граней:
Аналогично объёмы жидкости W...(вх), входящей через соответствующие грани dy - dz, dx - dz, dx - dy будут равны проекциям соответствующих скоростей на такие же по размерам площади граней:
Легко видеть, что изменение объёмов dW... жидкости, проходящей через противолежащие грани за время dt, будут соответственно равны:
Остальные два выражения запишем по аналогии без подробного вывода.
Полный объём жидкости, протекающей за время dt через выбранный произвольным образом неподвижный элементарный объём пространства dx, dy, dz, будет равен сумме объёмов жидкости, протекающей через все три пары противолежащих граней
Подставив в последнее выражение значения соответствующих объёмов , получим:
.
В этом выражении произведение dxdydz ни что иное, как весь объём жидкости W, протекающей через рассматриваемый параллелепипед за время dt. Таким образом, подставив эту формулу в исходное выражение (второе слагаемое - учитывающее изменение объёма в законе сохранения массы), анализом которого мы занимаемся, получим:
Равенство нулю этого выражения называют уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме и записывается следующим образом:
К такому же выводу можно прийти, основываясь на следующих рассуждениях: если считать жидкость несжимаемой, то условием неразрывности (сплошности) потока можно считать равенство втекающих и вытекающих объёмов, т.е. изменение объёма должно равняться 0. В выражении для dW величины обязательно имеют положительные (не нулевые) значения. Тогда для того, чтобы , нужно выполнение следующего условия: которое и есть уже упомянутое выше уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме.
Если в полученное уравнение неразрывности добавить слагаемое, учитывающее изменение плотности жидкости во времени , получим формулу, выражающую изменение единичной массы жидкости протекающей за время dt через объём dx, dy, dz. Приравняв это уравнение к нулю:
получим уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости в дифференциальной форме.
Его физический смысл заключается в том, что изменение плотности во времени обратно изменению объёма жидкости во времени. Объём же меняется из-за изменения скоростей во времени, т.е. вследствие изменения формы потока.
Последнее выражение есть первое уравнение (условие) в системе дифференциальных уравнений, описывающих движение потока жидкости.
Лекция 9. Динамика жидкостей
Главная задача данного раздела, вместе с разделом кинематики жидкостей, заключается в установлении связей между силами, существующими в потоке жидкости и характеристиками движения этой жидкости. Напомним, что эти связи в общем случае представляются уравнениями вида:
,
,
,
.
Нахождение этих функций является весьма сложной задачей. Поэтому для упрощения её решения Л. Эйлер предположил, что жидкость является идеальной, т.е. не имеющей вязкости, а также то, что все перечисленные функции непрерывные и дифференцируемые, хотя физической причиной непрерывности распределения скоростей в движущейся жидкости является именно вязкость.
Дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости
Рассмотрим произвольную точку А в потоке жидкости. Давление в этой точке обозначим буквой P. Выделим вблизи неё прямоугольный объём жидкости размерами dx, dy, dz.
Так же как и в случае вывода дифференциальных уравнений для покоящейся жидкости, систему уравнений, выражающую силы, действующие на выделенный объём, получим в проекциях на оси координат. Определим разность давлений, действующих на противолежащие грани:
,
,
.
Эти уравнения получены с учётом предположения, что давление, как и в статике, действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма, а изменение давления по каждой координате равно частному дифференциалу по соответствующей координате . Тогда разности этих сил в проекциях на оси координат будут:
,
,
.
Кроме сил давления, на выделенный объём будут действовать инерционные силы в общем случае определяемые ускорениями ax, ay, az
,
,
.
Под действием этих сил рассматриваемый объём жидкости движется с ускорением , или в проекциях на оси координат. Тогда получим следующую систему уравнений
,
которая носит название дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости. Эти уравнения справедливы для идеальной жидкости, т.е. для движения без внутреннего сопротивления, и они описывают связь между силами в жидкости и законами её движения.
Преобразование уравнений Эйлера
Так же как и в статике, чтобы избавиться от частных производных, умножим эти уравнения соответственно на dx, dy и dz и сложим их:
Проанализируем полученную функцию.
Первые три слагаемые () по существу являются суммой инерционных сил или веса, действующих в жидкости. Обозначим эту сумму и назовём её силовой функцией или точнее силовой потенциальной функцией.
Вспомним из статики, что - есть полный дифференциал давления dP.
Учтём также, что каждое слагаемое в правой части можно переписать в другом виде. Например, представить как . В свою очередь . И тогда окончательно . Применив такие же преобразования ко всем трём слагаемым, получим:
.
С учётом проведённого анализа преобразуем "сложенные уравнения" к обобщённой форме уравнений Эйлера:
Исследование уравнений Эйлера
В правую часть дифференциальных уравнений Эйлера для движущейся идеальной жидкости входит величина dux. Её можно представить как полный дифференциал функции независимых переменных для dux, который можно записать в виде:
Тогда это уравнение для dux после деления на dt будет выглядеть:
где: - проекция скорости u на ось X.
Тогда окончательно получим:
По аналогии то же самое можно записать и для других осей. С учётом таких преобразований система дифференциальных уравнений Эйлера для движущейся жидкости примет вид:
Физический смысл частных производных в уравнениях Эйлера рассмотрим на примере изменения скорости только по одной координате X.
Слагаемое описывает изменение скорости жидкости во времени, т.е. характеризует неустановившийся режим течения жидкости. Если течение установившееся, то это слагаемое равно нулю.
Величины - прямые частные производные. Они описывают изменение скорости вдоль оси в зависимости от той же координаты.
Члены и - косые частные производные, т.е. производные по смежной координате, показывающие, как изменяется значение скорости в направлении x (в проекции на ось X) в зависимости от изменения координат на перпендикулярных осях Y и Z. Рассмотрим их подробнее. В момент времени t1 скорость жидкости в точке A равна , а в точке B- =. Естественно, что приращение скорости по оси Y в этом случае составит
В момент времени t2 через бесконечно малый промежуток времени dt скорость в точке A станет , а в точке B - = . Тогда тангенс угла d? можно вычислить по формуле:
Учитывая, что при малых углах их тангенсы равны самим углам, можно записать . Тогда . Переписав последнее выражение, окончательно получим:
.
Это соотношение показывает, что рассмотренная частная производная есть ни что иное, как угловая скорость вращения бесконечно малого отрезка ab относительно оси Y (т.е., это соотношение описывает вращение вокруг "третьей" оси).
Таким же образом можно исследовать и остальные частные производные
По аналогии с приведёнными выше рассуждениями можно утверждать, что частная производная, так же как и , описывает вращение частиц жидкости в плоскости XY относительно оси Z, частные производные описывают вращение частиц жидкости в плоскости YZ относительно оси X, а частные производные описывают вращение частиц жидкости в плоскости XZ относительно оси Y.
В заключение можно отметить, что такое движение можно наблюдать, например, в водоворотах, которые часто возникают вблизи сливных отверстий при сливе воды из ванн или раковин или в других похожих условиях.
Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье-Стокса)
До сих пор мы не рассматривали влияние сил вязкого трения на движение жидкости. Попытаемся учесть эти силы. Для простоты рассмотрим движение реальной (вязкой) жидкости в проекции на одну координату. Будем считать, что частица в форме параллелепипеда с размерами dx, dy, dz движется вдоль оси X. За счёт сил вязкого трения на верхнюю и нижнюю поверхности рассматриваемого объёма будут действовать силы трения dTв иdTн соответственно. Эти силы зависят от площади трения dydz и величины касательного напряжения на поверхностях трения ?. На нижней поверхности сила трения будет:
,
на верхней она будет отличаться на величину приращения касательных напряжение вдоль оси Z
.
Равнодействующая этих сил, действующая на рассматриваемый объём будет равна разности сил трения
,
или
,
где - величина рассматриваемого объёма жидкости.
Напряжение внутреннего трения, обусловленного вязкостью, по закону жидкостного трения имеет вид:
,
где - динамический коэффициент вязкости.
После подстановки получим:
.
В уравнениях Эйлера все силы отнесены к единичной массе, поэтому и силы, обусловленные вязким трением, приведём к такому же виду:
,
где - кинематический коэффициент вязкости.
Если подобные рассуждения провести для остальных координат, т.е. перейти к общему случаю пространственного движения, когда составляющие скорости являются функциями трёх координат X, Y, Z. В таком случае проекция силы вязкого трения на ось X в пересчёте к единице массы даёт величину:
Аналогичные выражения можно записать для двух других координат. Если уравнения Эйлера для движущейся жидкости дополнить проекциями сил вязкого трения на оси координат, получатся дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости, которые носят название уравнения Навье-Стокса и имеют следующий вид:
Лекция 10. Интегрирование уравнений Эйлера
Интегрирование уравнений Эйлера рассмотрим на широко распространённом примере движения жидкости под действием силы тяжести. Примерами такого движения могут служить: течение реки, ручья или любого другого потока жидкости, течение жидкости в водопроводе, работающем от водонапорной башни.
Движение жидкости описывается обобщённой формой уравнений Эйлера
.
В рассматриваемом случае, когда движение жидкости осуществляется исключительно под действием силы тяжести, силовая потенциальная функция
принимает вид:
,
где g - ускорение свободного падения.
Подставив это выражение в уравнение Эйлера, и умножив на "-1", для того, чтобы избавиться от знаков "минус" перед каждым слагаемым, получим:
После интегрирования придём к виду:
,
где C - постоянная интегрирования (знак "-" перед ней не имеет
физического значения и поставлен только для удобства последующих математических преобразований).
Разделив последнее равенство на g, придём к окончательному виду:
.
Полученное выражение называется интегралом Бернулли, а постоянная величина H носит название гидродинамический напор или полный напор. Другое название интеграла Бернулли, которое применяется значительно чаще, - уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости.
Уравнение Бернулли
Выше уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости получено строгими математическими методами, использующимися в классической гидромеханике. То же уравнение можно получить (нестрого), используя рассуждения, которые часто применяются в гидравлике.
Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости
Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и 2-2. Площади живых сечений потока обозначим d?1 и d?2. Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0 - 0 характеризуется величинами z1 и z2. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P1, P2 и u1, u2 соответственно.
Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы давления (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма.
За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равное u1dt, а частицы из 2-2 в 2' - 2' на расстояние u2dt.
Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.
Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1-1 и 2-2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1-1 будет положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силы p1d?1 на путь u1dt:
.
Работа сил давления в сечении 2-2 будет отрицательной, т.к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение
.
Полная работа, выполненная силами давления, примет вид:
.
Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1-1 в сечение 2-2. С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса dG:
.
При перетекании от сечения 1-1 в сечение 2-2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (z1 - z2) и работа, произведённая силами тяжести, составит:
.
Проанализируем теперь изменение кинетической энергии рассматриваемого объёма элементарной струйки жидкости.
Приращение кинетической энергии выделенного объёма за dt равно разности его кинетических энергий в сечениях 1-1 и 2-2. Это приращение составит
.
Приравнивая приращение кинетической энергии сумме работ сил тяжести и сил давления, придём к виду:
.
Разделив обе части на вес dG, т.е. приведя уравнение к единичному весу, получим
.
После сокращения и преобразований придём к искомому виду
Если учесть, что сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, можно прийти к выводу, что сумма приведённых выше величин описывающих движение жидкости под действием сил давления и сил тяжести есть величина постоянная для элементарной струйки, т.е.
Таким образом, снова получено то же (ранее полученное интегрированием уравнений Эйлера) уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.
Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли
Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z. Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.
* Как и в гидростатике, величину Z называют нивелирной высотой.
* Второе слагаемое - носит название пьезометрическая высота. Эта величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении, под действием давления P.
* Сумма первых двух членов уравнения ? гидростатический напор.
* Третье слагаемое в уравнения Бернулли называется скоростной высотой или скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость u при отсутствии сопротивления движению.
* Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором и, как уже было сказано, обозначают буквой Н.
Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.
Значения - нивелирную, пьезометрическую и скоростную высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых равны , называется пьезометрической линией. Если к этим высотам добавить скоростные высоты, равные , то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией.
Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.
Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли
Выше было получено уравнение Бернулли с использованием энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор.
С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости.
.
Физический смысл слагаемых, входящих в уравнение следующий:
* Z - потенциальная энергия единицы веса жидкости (удельная энергия) - энергия, обусловленная положением (высотой) единицы веса жидкости относительно плоскости сравнения (нулевого уровня), принимаемой за начало отсчета;
* - потенциальная энергия единицы веса жидкости - энергия, обусловленная степенью сжатия единицы веса жидкости, находящейся под давлением ;
* - полная потенциальная энергия единицы веса жидкости;
* - кинетическая энергия единицы веса жидкости - энергия, обусловленная движением единицы веса жидкости со скоростью u;
* H - полная энергия единицы веса жидкости (полная удельная энергия).
Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости
Поток идеальной жидкости, как указывалось ранее, можно представить совокупностью элементарных струек жидкости. Скорости по сечению потока неодинаковы, причём в середине потока скорости наибольшие, а к периферии они уменьшаются (струйная модель потока). Это означает, что различные струйки в одном сечении имеют различные значения кинетической энергии. Отсюда следует, что кинетическая энергия, посчитанная с использованием скоростей элементарных струек u?, и кинетическая энергия, посчитанная с использованием значения средней скорости потока V, будет иметь разные значения. Выясним, какова эта разница. Кинетическая энергия элементарной струйки равна:
где - масса жидкости плотностью , протекающей через живое сечение элементарной струйки со скоростью за время dt, равная:
.
Проинтегрировав выражение для , получим выражение для кинетической энергии потока идеальной жидкости .
.
Если принять, что t=1, получим:
.
Последняя формула определяет энергию потока с использованием скоростей элементарных струек u?.
Если получить значение кинетической энергии потока с использованием значения средней скорости потока V , получим формулу:
,
где - масса жидкости плотностью , протекающей через живое сечение потока со скоростью за время t, равная:
.
После подстановки при t=1 окончательно получим:
.
Отношение и , равное:
.
Полученная величина ? носит наименование коэффициент а кинетической энергии или коэффициента Кориолиса. Смысл этого коэффициента заключается в отношении действительной кинетической энергии потока в определённом сечении к кинетической энергии в том же сечении потока, но при равномерном распределении скоростей. При равномерном распределении скоростей его значение равно единице, а при неравномерном - всегда больше единицы и для любого потока его значение находится в пределах от 1 до 2 и более.
Учитывая коэффициент кинетической энергии, приведём уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, которое примет вид:
Надо учесть, что в общем случае в разных сечениях потока коэффициент ? будет иметь различные значения.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается. Т.е. напор потока Hпотока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического напора ?h составят:
,
где H1-1- напор в первом сечении потока жидкости,
H2-2 - напор во втором сечении потока,
?h - потерянный напор - энергия, потерянная каждой единицей веса движущейся жидкости на преодоление сопротивлений на пути потока от сечения 1-1 до сечения 2-2.
С учётом потерь энергии уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет выглядеть
Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1-1 и 2-2.
Если учесть, что характеристики потока V и ? зависят от геометрии потока, которая для напорных потоков определяется геометрией трубопровода, понятно, что потери энергии (напора) в разных трубопроводах будут изменяться неодинаково. Показателем изменения напора потока является гидравлический уклон I, который характеризует потери напора на единице длины потока. Физический смысл гидравлического уклона - интенсивность рассеяния энергии по длине потока. Другими словами, величина I показывает, как быстро трубопровод поглощает энергию потока, протекающего в нём
.
Изменение энергии по длине потока удобно проследить на графиках. Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (закона сохранения энергии) видно, что гидродинамическая линия для потока реальной жидкости (с одним источником энергии) всегда ниспадающая. То же справедливо и для пьезометрической линии, но только в случае равномерного движения, когда скоростной напор а уменьшение напора происходит только за счёт изменения потенциальной энергии потока, главным образом за счёт уменьшения давления P.
Лекция 11. Режимы течения жидкостей
Два режима течения жидкости
Возьмём прозрачную трубу, в которой с небольшой скоростью V1 течёт прозрачная жидкость, например, вода. В этот поток поместим небольшие, существенно меньшие, чем диаметр потока, трубки. В трубках под напором находится подкрашенная жидкость, например, цветные чернила, которая может из них вытекать, если открыть краны К. Будем открывать их на короткое время (1-3 секунды) и прекращать подачу чернил через какие-то промежутки времени так, чтобы можно было проследить движение цветной жидкости. В таком случае в потоке будут возникать разноцветные струйки, причём цветная жидкость будет явно показывать распределение скоростей (эпюра скоростей) по сечению потока. Это распределение будет соответствовать рассмотренной ранее струйной модели потока. Если наблюдать за движением жидкости, то можно ясно видеть, что при перемещении от сечения 1 к сечению 2 картина распределения скоростей будет оставаться постоянной, а движение жидкости будет слоистым, плавным, все струйки тока будут параллельны между собой. Такое движение носит название ламинарное (от латинского слова lamina - слой).
Если увеличить скорость основного потока до величины V2 и повторить эксперимент с цветными струйками, то эпюры скоростей как бы вытянутся, а характер движения останется прежним, ламинарным. Попутно заметим, что коэффициент кинетической энергии ?, входящий в уравнение Бернулли и учитывающий отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, посчитанной с использованием средней скорости, при "вытягивании" эпюры скоростей возрастает.
Если еще больше увеличить подачу жидкости до скорости V3, то эпюры скоростей могут вытянуться ещё больше и при этом течение будет спокойным, плавным - ламинарным. Коэффициент ? приближается к значению 2.
Однако до бесконечности увеличивать скорость при ламинарном режиме движения потока невозможно. Обязательно наступит такой момент, когда характер движения жидкости радикально изменится. Цветные струйки начнут сначала колебаться, затем размываться и интенсивно перемешиваться. Течение потока становится неспокойным, с постоянным вихреобразованием. Эпюра распределения скоростей по сечению потока приблизится к прямоугольной форме, а значения скоростей в разных сечениях потока станут практически равны средней скорости движения жидкости. Значение коэффициента кинетической энергии ? приближается к 1.
Такое течение жидкости называется турбулентным (от латинского слова turbulentus - возмущённый, беспорядочный).
Если снова уменьшить скорость течения жидкости, восстановиться ламинарный режим движения. Переход от одного режима движения к другому будет происходить примерно при одной и той же скорости, которую называют критической скоростью и обозначают Vкр. Эксперименты показывают, что значение этой скорости прямо пропорционально кинематическому коэффициенту вязкости жидкости и обратно пропорционально диаметру трубопровода d (для наиболее часто применяемых труб круглого сечения) или гидравлическому радиусу потока R (для других типов труб и русел).
или
В этих выражениях коэффициенты и - безразмерные величины, одинаковые (близки по данным различных экспериментов) для всех жидкостей (и газов) для любых размеров труб и сечений потока. В дальнейшем мы будем рассматривать только напорные потоки в трубах круглого сечения.
Безразмерный коэффициент называется критическим числом Рейнольдса по фамилии английского ученого - физика, исследовавшего в 1883г. два режима течения жидкости. Этот коэффициент обозначается:
Опытным путём установлено, что критическое число Рейнольдса для круглых труб - 2320 для круглых труб, а для других сечений 580.
<< Пред. стр. 4 (из 8) След. >>
Список литературы по разделу