Вероятность случайного события
ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
Любая наука, которая развивает общую теорию какого-нибудь круга явлений, содержит ряд базовых основных понятий. В геометрии тАУ это понятия точВнки, прямой, линии, в механике - понятия силы, массы скоВнрости, ускорения. Естественно, что не все основные понятия могут быть полностью определены, ибо "определить" понятие - значит свести его к другим, более известным. ОчевидВнно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к коВнторым сводятся все остальные и которые сами не определяютВнся, а только поясняются. Такие понятия существуют и в теоВнрии вероятностей. Рассмотрим некоторые из них
Под экспериментом (испытанием, опытом) мы будем пониВнмать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в коВнторых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что "опыт" не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать незаВнвисимо от него; при этом человек выступает в роли наблюдаВнтеля или фиксатора происходящего от него зависит только решение, что именно наблюдать и какие явления фиксировать
Если результат эксперимента варьируется при его повторении, говорят об опыте со случайным исходом. Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать и добавление "со случайным исходом" для краткости опускать. Тот факт, что при повтоВнрении опыта его основные условия сохраняются, и, значит, мы вправе ожидать устойчивости частот, тоже не будет кажВндый раз оговаривать
Случайным событием ( или, короче, просто событием ) наВнзывается всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обознаВнчать большими буквами латинского алфавита
Для примера рассмотрим несколько событий
1. БросаВнние монеты; событие A - появление герба
2. БросаВнние трех монет; событие B - появление трех гербов
3. Передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них
4. Выстрел по мишени; событие D - попадание
5. Вынимание наугад одной карты из колоВнды; событие Е - появление туза
6. Тот же опыт, что в приВнмере 5; событие F - появление карты червонной масти
Во всех примерах события A,B,C обладают какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них боВнлее, а какое менее возможно. Например, событие A более возВнможно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем Е. Любое случайное событие обладает какой-то степенью возВнможности, которую в принципе можно измерить численно. ЧтоВнбы сравнивать события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больВнше, чем больше возможность события. Это число мы и назовем вероятностью события
Сравнивая между собой по степени возможВнности различные события, мы склонны считать более вероятВнными те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, которые происходят реже; маловероятными - те, котоВнрые вообще не происходят. Например, событие "выпадение дождя в Москве 1-го июня предстоящего года" более вероятВнно, чем "выпадение снега в Москве в тот же день", а событие "землетрясения в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года" крайне мало вероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и стаВнтистика говорит, что подобные события происходят раз в 100 лет). Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты
Характеризуя вероятности событий числами, нужно устаноВнвить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно должВнно произойти. Пример достоверного события - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости. Другой пример достоверного события: "камень, брошенный вверх руВнкой, вернется на Землю, а не станет её искусственным спутВнником"
Противоположностью достоверного события является невозВнможное событие - то, которое в данном опыте вообще не моВнжет произойти. Пример: " выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости "
Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному - равную нулю, то все другие собыВнтия - возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляюВнщими какую то долю единицы
Таким образом, установлены единица измерения вероятносВнти - вероятность достоверного события и диапазон вероятВнностей - числа от нуля до единицы
Какое бы событие A мы бы ни взяли, его вероятность P(A) удовлетворяет условию: 0<P(A)<1
Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события
Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю
В качестве примера рассмотрим следующий опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква заВнписывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку "Евгения Онегина":
"Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать пракВнтически невозможным
Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице
Введем новое важное понятие: противоположное событие. Противоположным событию А называется событие А, состоящее в непоявлении события А
Пример. Опыт: Один выстрел по мишени. Событие А - попаВндание в десятку. Противоположное событие А - непопадание в десятку
Вернемся к практически невозможным и практически достоВнверным событиям. Если какое-то событие А пра к тически неВнвозможно, то противоположное ему событие А практически достоверно и наоборот
Практически невозможные (и сопутствующие им практичесВнки достоверные) события играют большую роль в теории вероВнятностей: на них основана вся её познавательная ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью достоверным; он может быть только практически достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью
В основе применения всех выводов и рекомендаций, добыВнваемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип пракВнтической уверенности, который можно сформулировать следуюВнщим образом:
Если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не рассВнчитывать на его появление
В повседневной жизни мы постоянно (хотя и бессознательВнно) пользуемся этим принципом. Например, выезжая куВнда-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погибВннуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность этого события все же имеется. Отправляясь леВнтом на Кавказ или в Крым, мы не захватываем с собой зимней верхней одежды, хотя какая-то (очень малая) вероятность того, что нас настигнет мороз, всё-таки не равна нулю
Переходим к самому тонкому и трудному вопросу: наскольВнко мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным ?
Ответ на вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических сообВнражений, в соответствии с той важностью, которую имеет жеВнлаемый для нас результат опыта. Чем опаснее для нас возВнможная ошибка предсказания, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его считать практически невозВнможным
Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объВнективно одинаково возможными
Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игВнральной кости. Если кубик выполнен симметрично, "правильВнно" (центр тяжести не смещен ни к одной из граней), есВнтественно предположить, что любая из граней будет выпадать так же часто, как каждая из остальных. Так как достоверное событие "выпадает какая-то из граней" имеет вероятность, равную единице, и распадается на шесть одинаково равных вариантов (1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), то естественно приВнписать каждому из них вероятность, равную 1/6
Для всякого опыта, обладающего симметрией возможных исВнходов, можно применить аналогичный прием, который называВнется непосредственным подсчетом вероятностей
Перед тем как дать способ непосредственного подсчёта вероятностей, введём некоторые вспомогательные понятия
Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них
Примеры событий, образующих полную группу:
1) Появление "1", "2", "3", "4", "5", "6" очков при бросании игральной кости;
2) Два попадания, два промаха и одно попадание, один промах при двух выстрелах по мишени
Несколько событий в данном опыте называются несовместиВнмыми, если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры несовместимых событий:
1) Два попадания и два промаха при двух выстрелах;
2) Выпадение герба и выпадение решки при бросании моВннеты;
3) Выпадение двух, выпадение трех и выпадение пяти очВнков при Ва однократном Ва бросании игральной кости. Несколько событий называются равновозможными, Ва если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является более объективно возможным, чем другое
Заметим, что равновозможные события не могут проявлятьВнся иначе, чем в опытах, обладающих симметрией возможных исходов; наше незнание о том, какое из них вероятнее, не есть основание для того, чтобы считать события равновозВнможными
Примеры равновозможных событий:
1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании симВнметричной, "правильной монеты";
2) Появление карты "червонной", "бубновой", "трефовой" или "пиковой" масти при вынимании карты Ва из Ва колоды
С опытами, обладающими симметрией исходов, связываются особые группы событий: они образуют полную группу, несовВнместимы и равновозможны
События, образующие такую группу, называются случаями. Примеры случаев:
1) Появление герба и решки при бросании монеты;
2) Появление "1", "2", "3", "4", "5" и "6" очков при бросании игральной кости
Если опыт обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой набор его равновозможных и искВнлючающих друг друга исходов. Про такой случай говорят, что он сводится к схеме случаев. Для таких опытов возможен неВнпосредственный подсчет вероятностей, основанный на подсчеВнте доли так называемых благоприятных случаев в общем их числе
Случай называется благоприятным ( или "благоприятствуюВнщим") событию A, если появление этого случая влечет за соВнбой появление данного события
В случае, если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность соВнбытия A в данном опыте можно вычислить как долю благоприВнятных случаев в общем их числе:
P(A)= m / n , где m - число случаев, Ва благоприятных событию A; n тАУ общее число случаев
Эта формула называется "классической формулой" для вычисления вероятностей. Предложенная еще в XVII веке, когда главным полем приложения теории вероятностей были азартные игры (в которых симметрия возможных исходов обеспечивается специальными мерами), она долгое время (вплоть до XIX века) фигурировала в литературе как "определение вероятности"; те задачи, в которых схема случаев отсутсВнтвует, искусственными приемами сводились к ней. В настояВнщее время формального определения вероятности не дается, т. к. это понятие считается первичным и не определяется
Сегодня для вычисления вероятностей применяется закон распределения Пуассона
Оно описывает:
а) показания счетчика, снимаемые через каждый интервал времени Т;
б) число зарегистрированных событий
Многие физические явВнления приводят именно к такому распределению вероятностей Пуассона, поэтому оно играет большую роль в практичесВнком применении теории вероятностей
Вместе с этим смотрят:
Возникновение измерений в древностиВопрос о взаимосвязи математики и философииВопросы по теории вероятностейВыдающиеся личности в математике