Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Общеобразовательная муниципальная

средняя школа №5

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА

Автор работы:

Андреева Елена Валерьевна

ученица 11 ВлбВ» класса

Научный руководитель:

Солдаткина Клавдия Дмитриевна

Учитель математики

Город Кузнецк, 2004 год

ПЛАН.

РЖ. Объект исследования.

РЖРЖ. Цель исследования.

РЖРЖРЖ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

РЖV. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра.

V. Использованная литература.

РЖ. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе впервые вводится понятие ВлПрямоугольный тетраэдрВ». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1) Трёхгранный угол- фигура, образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину) (рис 2) [1,2].

О О

А В

С С

Рис. 1 Тетраэдр. Рис. 2 Трёхгранный угол.

Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами, лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным, если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).

А А

В В

О О

Рис. 3 Схема прямого Рис. 4 Схема прямоугольного

трёхгранного угла, тетраэдра.

Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани, катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра. Прямоугольный тетраэдр содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы (рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр, катеты которого равны, назовем равнокатет-ным.

РЖРЖ. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра

Актуальность темы: прямоугольный тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию абстрактного и логического мышления у учащихся.

РЖРЖРЖ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА.

I. Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

SОАВ= S1 SABC= S

SOBC= S2 SOAC= S3 В

Доказать: О

SВІ=S1ВІ+S2ВІ+S3ВІ

Доказательство.

Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из вершины А, ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС (обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BC⋅AD

SOBC=1/2 BC⋅OD

SOAB =1/2 OA⋅OB

SOAC=1/2OA⋅OC

SВІ OBC+S ВІOAB +S ВІAOC= 1/4(BCВІ⋅ODВІ+OAВІ⋅OBВІ+OAВІ⋅OCВІ)=

=1/4(BCВІ⋅ODВІ+OAВІ(OBВІ+OCВІ))=1/4(BCВІ⋅ODВІ+OAВІ⋅BCВІ), т.к.

ОВВІ+ОСВІ=ВСВІ (по теореме Пифагора)

SВІOBC+SВІOAB+SВІOAC=1/4 BCВІ(ODВІ+OAВІ)=1/4 BCВІ⋅ADВІ , т.к.

ODВІ+OAВІ=ADВІ (по теореме Пифагора)

т.е. SВІOBC+SВІOAB+SВІOAC=SВІABC

SВІ1+SВІ2+SВІ3=SВІ, что и требовалось доказать.

II. Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.

Дано: А

ОАВС- прямоугольный тетраэдр

где а , b , с - катеты. В

АВ, ВС и АС- гипотенузы а

Доказать: b

АВВІ+ВСВІ+АСВІ=2(аВІ + b ВІ +сВІ)

Доказательство. О

АВВІ = аВІ + b ВІ с С ВСВІ = b ВІ + сВІ (по теореме Пифагора)

АСВІ = аВІ + сВІ

АВВІ + ВСВІ + АСВІ =2аВІ + 2 b ВІ +2сВІ , что и требовалось доказать.

III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

а , b , с - катеты. В

Доказать: а b

V=(1/6) а В· b В· с

Доказательство. О С

Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём

V=(1/3 )Sосн В· h

Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет а будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.

V=(1/3) SOBCВ· а , т.к.SOBC=(1/2) b В·.с

Имеем V=(1/6) а В· b В· с, что и требовалось доказать.

Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:

_______________

h = (aЫ°bЫ°c)/тИЪaВІВ·bВІ + bВІВ·cВІ + aВІВ·cВІ

где a, b, c тАУ катеты тетраэдра

Дано: А ОАВС- прямоугольный тетраэдр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с катеты Д

ОД = h тАУ перпендикуляр к грани

АВС а

h В

Доказать: b

____________ О

h = (aВ·bВ·c) / тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ с С

Доказательство.

Объем тетраэдра:

V = (1/3)SАВСВ·h

C другой стороны: V = (1/6)abc (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).

Следовательно,

h = (abc) / (2SАВС)

Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:

___________________

SАВС = тИЪРЕВІОАВ + SВІОВС + SВІ ОАС

____________

т.е. SАВС = (1/2)тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ

Следовательно,

____________

h = (abc) / тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ , что и требовалось доказать.

Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:

____________

cos О± = h / a= (bc) / тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ

____________

сos ОІ = h / b = (ac) / тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ

____________

cos Оі = h / c= (ab) / тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ

где a, b, c тАУ катеты тетраэдра;

О± тАУ угол между катетом а и нормалью

ОІ тАУ угол между катетом b и нормалью

Оі тАУ угол между катетом с и нормалью.

h тАУ нормаль

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр.

ОА = а, ОВ = b, ОС = с - катеты

ОД = h тАУ нормаль к грани АВС А

Доказать: Д ____________

cos О± = (bc) / тИЪaВІbВІ +bВІcВІ +aВІcВІ h

____________ а В

cos ОІ = (ac) / тИЪaВІbВІ +bВІcВІ +aВІcВІ О± b

____________ ОІ

cos Оі = (ab) / тИЪaВІbВІ +bВІcВІ +aВІcВІ Оі

О с

Доказательство.

Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД

cos О± = ОД/ОА = h/a

____________

Поскольку h = (abc) / тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ

____________

cos О± = (bc)/тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ , что и требовалось доказать.

Аналогично:

____________

cos ОІ = ОД/ОВ = d/b = (ac)/тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ

____________

cos Оі = ОД/ОС = d/c = (ab)/тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ

Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

________

R = ( ВЅ) В· тИЪaВІ+bВІ+cВІ

где a, b, c тАУ катеты тетраэдра

К L

Дано:

ОАВС- прямоугольный тетраэдр А М

ОА = а, ОВ = b, ОС = с тАУ катеты

R тАУ радиус сферы, описывающей

тетраэдр.

Доказать: а

_______ В Д

R = (1/2)тИЪaВІ+bВІ+cВІ b

Доказательство. с С

На базе прямоугольного тетраэдра

ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:

_______ _____ ________

КС = D = тИЪaВІ+bВІ+cВІ (ВС = тИЪbВІ+cВІ , ВК = а, КС = тИЪВСВІ+ВКВІ )

Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный

тетраэдр, имеем:

_______

R = (1/2)D = (1/2)тИЪaВІ+bВІ+cВІ,

что и требовалось доказать.

VII. Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

abc

r = ____________ ,

тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ + ab + bc + ac

где a, b, c - катеты тетраэдра.

Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с тАУ катеты. О1 тАУ центр вписанной сферы

r - радиус вписанной сферы

Доказать:

r = h / (1 + cosО± + cosОІ + cosОі)

Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О1Д перпендикулярна гипотенузной грани и О1Д = r.

_ _

Пусть do - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |dо| = 1

Координаты этого единичного вектора (cos О±; cos ОІ; cos Оі) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.

Найдем проекцию вектора ОО1 с координатами (r; r; r) на вектор нормали:

___ __

ОК = |ОО1|cosОґ , где Оґ тАУ угол между вектором ОО1 и вектором нормали.

___ __ _ __ _

|OO1|cosОґ = (OO1В·do) = rВ·cosО± + rВ·cosОІ + rВ·cosОі , где (ОО1В·dо) тАУ скалярное произведение двух векторов.

Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,

тогда h = OK + KH, т.е.

h = |OO1|cosОґ + r, т.к. КН = r

(поскольку КНДО1 является прямоугольником).

Имеем

h = r cosО± + r cosОІ + r cosОі + r

т.е.

r = h / (1 + cosО± + cosОІ + cosОі)

С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:

____________

(abc)/тИЪВаaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ abc

r = ____________ = ____________ ,

1 + (bc + ac + ab) / тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ тИЪaВІbВІ+bВІcВІ+aВІcВІ + ab + bc + ac

Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.

Дано:

ОАВС -прямоугольный тетраэдр

ОА = ОВ = ОС = а тАУ а

катеты В

Доказать, что гипотенузная а

грань является правильным

треугольником и косинусы О Д

двугранных углов между

гипотенузной гранью и катетными а

гранями равны С

___

тИЪ1/3

Доказательство.

Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:

_________ __

АС = тИЪ ОАВІ +OCВІ = тИЪ2 а

_________ __

АВ = тИЪ ОАВІ +OBВІ = тИЪ2 а

_________ __

ВС = тИЪ ОВВІ + ОСВІ = тИЪ2 а

т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.

Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС

Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:

_ _ _ ___

АД = (тИЪ3/2)АВ = (тИЪ3/2)тИЪ2 а = тИЪ3/2 а

ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:

ОД = а/тИЪ2

Косинус двугранного угла: __

сos _ОДА = ОД/АД = 1/тИЪ3 , что и требовалось доказать.

Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.

Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.

РЖV. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА

Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам ВлПирамидаВ» и ВлПрямоугольный параллелепипедВ» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.

Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.

Дано:

ОАВС- пирамида,

основанием является прямоугольный H

треугольник ОВС с катетами а и b В

ОА = Н, высота.

Найти: b

S полн. О Д

1) Решение по традиционной схеме:

S полн. = SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС

SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;

Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:

______ ________

ВС = тИЪ аВІ +bВІ ; АД = тИЪ ОДВІ +НВІ , где ОД тАУ проекция высоты АД на основание ВОС.

Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:

______

ОД/ b = а/ВС или ОД = (аb)/ВС = (аb)/ тИЪ аВІ +bВІ

Следовательно, _______________ ________________________

АД = тИЪ (аb)/( аВІ +bВІ) + НВІ = тИЪ[(аb)ВІ +(bH)ВІ + (аH)ВІ]/( аВІ +bВІ)

_________________

В результате получаем SАВС= (1/2) тИЪ (аb)ВІ +(bH)ВІ + (аH)ВІ

_________________

Cледовательно, S полн.= (1/2) [тИЪ (аb)ВІ +(bH)ВІ + (аH)ВІ + аН + bН + аb]

2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:

S полн.= SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС

SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;

___________________ _________________

SАВС= тИЪ SАОС ВІ + SАОВВІ + SВОС ВІ = (1/2)тИЪ (аb)ВІ +(bH)ВІ + (аH)ВІ

_________________

Cледовательно, S полн.= (1/2)(тИЪ (аb)ВІ +(bH)ВІ + (аH)ВІ + аН + bН + аb)

Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.

Ребро куба равно а. Найти площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней

К L

Дано:

ОВДСАКLM - куб А М

ОА = а, ОВ = b, ОС = с тАУ ребра

ОФАВС тАУ сечение куба плоскостью, прохо-

дящей через диагонали смежных а

граней. В Д

Найти: а

SАВС О

а С

1) Решение по традиционной схеме:

Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:

______ __

АС = АВ = ВС = тИЪ аВІ + аВІ = тИЪ2 а

Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:

_ _ _

SАВС= (тИЪ3/4)(АС)2 , т.е. SАВС= (тИЪ3/4)(2а2) = (тИЪ3/2)а2

2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:

SАОС = SАОВ = SВОС = (1/2)а2 (поскольку тетраэдр равнокатетный);

___________________

SАВС= тИЪ SАОС ВІ + SАОВВІ + SВОС ВІ

_________ _

Cледовательно, SАВС= (1/2) тИЪ аВІ + аВІ + аВІ = (тИЪ3/2)а2

V. Список использованной литературы:

М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е, Гостехиздат, М.-Л., 1952.
А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.: Учпедгиз 1951.
Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для средней школы.-М.: Просвещение, 1994.

Вместе с этим смотрят:

Исследование элементарных функций
Исторические сведения о развитии тригонометрии
Исторические сведения о тригонометрии
История математики