Комплексные числа и действия с ними
Министерство Образования Российской Федерации
Отдел образования Ленинского района
Техничестая школа-лицей.
Д О К Л А Д
Комплексные числа и действия с ними.
Ученика 9 тАЬатАЭ класса
Князева Вячеслава.
г. Владивосток
1998
1. История развития комплексных чисел.
Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.
И до этого открытия при решении квадратного уравнения x2 + + = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)2 - q, где величина (p/2)2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались тАЬложнымитАЭ) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.
Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер тАУ один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.
2.О комплексных числах.
Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными.
Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b тАУ действитель-
ные числа , а i тАУ число нового рода, называемое мнимой единицей.
тАЬМнимыетАЭ числа составляют частный вид комплексных чисел
(когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).
Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b тАУ ординатой комплексного числа
a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе-
ние i*i равно тАУ1, т.е.
i2= -1. (1)
Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами тАУ в частности правилу (1). Отсюда названия: тАЬмнимая единицатАЭ, тАЬмнимое числотАЭ и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.
Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.
Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.
3. Соглашение о комплексных числах.
- Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a тАУ 0i).
П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись тАУ2 + 0i означает тАУ2.
- Комплексное число вида 0 + bi называется тАЬчисто мнимымтАЭ. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi.
- Два комплекных a + bi, aтАЩ + bтАЩi считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если
a = aтАЩ, b = bтАЩ. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:
2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.
З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i.
4.Сложение комплексных чисел
О п р е д е л е н и е. Суммой комплексных чисел a + bi и aтАЩ + bтАЩi называют комплексное число (a + aтАЩ) + (b + bтАЩ)i.
Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами.
Пример 1. (-3 + 5i) + (4 тАУ 8i) = 1 - 3i
Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).
Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i
Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 тАУ 3i) = - 4
В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.
З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.
4.Вычитание комплексных чисел.
О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и aтАЩ + bтАЩi (вычитаемое) называется комплексное число (a тАУ aтАЩ) + (b тАУ bтАЩ)i.
Пример 1. (-5 + 2i) тАУ (3 тАУ 5i) = -8 + 7i
Пример 2. (3 + 2i) тАУ (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6
5.Умножение комплексных чисел.
Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и aтАЩ + bтАЩi можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2ВнВнВнВнВн= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(aтАЩ + bтАЩi) должно равняться aaтАЩ + (abтАЩ + baтАЩ)i + bbтАЩi2ВнВнВн Вн, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aaтАЩ тАУ bbтАЩ) + (abтАЩ + baтАЩ)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.
О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и aтАЩ + bтАЩi называется комплексное число
(aaтАЩ тАУ bbтАЩ) + (abтАЩ + baтАЩ)i.
З а м е ч а н и е 1. Равенство i2ВнВнВнВнВнВнВнВнВнВнВн = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 ВнВнВнВнВнВнВнВнВнВнВнВн, т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, aтАЩ = 0, bтАЩ = 1 Имеем aaтАЩ тАУ bbтАЩ = -1, abтАЩ + baтАЩ = 0, так что произведение есть тАУ1 + 0i, т. е. тАУ1.
З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2ВнВнВнВн = -1.
Пример 1. (1 тАУ 2i)(3 + 2i) = 3 тАУ 6i + 2i тАУ 4i 2 Вн = 3 тАУ 6i + 2i + 4 = 7 тАУ 4i.
Пример 2. (a + bi)(a тАУ bi) = a2 + b 2
Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.
6. Деление комплексных чисел.
Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число aтАЩ + bтАЩi тАУ значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.
Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.
Пример 1. Найти частное (7 тАУ 4i):(3 + 2i).
Записав дробь (7 тАУ 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 тАУ 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:
((7 тАУ 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 тАУ 2i)) = (13 тАУ 26i)/13 = 1 тАУ 2i.
Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку.
Пример 2. (-2 +5i)/(-3 тАУ4i) = ((-2 + 5i)(-3 тАУ 4i))/((-3 тАУ 4i)( -3 + 4i)) = (-14 тАУ23i)/25 = -0,56 тАУ 0.92i.
Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:
Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на aтАЩ + bтАЩ. Получим a + bi.
З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления.
З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (aтАЩ + bтАЩi)(x + yi) = a + bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:
aтАЩx тАУ bтАЩy = a; bтАЩx + aтАЩy = b.
Эта система имеет единственное решение:
если aтАЩ/bтАЩ = -bтАЩ/aтАЩ, т. е. если aтАЩ2 + bтАЩ2 = 0.
Остается рассмотреть случай aтАЩ2 + bтАЩ 2 = 0. Он возможен лишь тогда, когда aтАЩ = 0 и bтАЩ = 0, т. е. когда делитель aтАЩ + bтАЩi равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).
7. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг.1, где точка А изображает число ; а точка В тАУ число тАУ5. Эти же числа можно изображать также
отрезками ОА,ОВ, учитывая не только их длину, но и направление.
Каждая точка М тАЬчисловой прямойтАЭ изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим ). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места для комплексных чисел.
Но комплексные числа можно изобразить на числовой плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг.2). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х ( на фиг.2 х=ОР=
=QM) равна абсциссе а комплексного, а ордината у (OQ=РM) равна ординате b комплексного числа.
П р и м е р ы. На фиг. 3 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В изображает комплексное число тАУ2 + 6i; точка С тАУ комплексное число тАУ 6 тАУ 2i; точка D тАУ комплексное число 2 тАУ 6i.
Действительные числа ( в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси Х, а чисто мнимые тАУ точками оси У.
П р и м е р ы. Точка К на фиг. 3 изображает действительное число 6, точка L тАУ чисто мнимое число 3i; точка N тАУ чисто мнимое число тАУ 4i . Начало координат изображают число 0.
Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и СтАЩ на фиг. 3 изображают сопряжённые числа тАУ6 тАУ 2i и - 6 + 2i.
Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОВ; комплексное число тАУ6 тАУ 2i изображается вектором ОС и т. д.
З а м е ч а н и е. Давая какому тАУ либо отрезку наименование тАЬвектортАЭ, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.
8. Модуль и аргумент комплексного числа.
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r. Из чертежа видно, что
r = | a + bi | = a2 + b2
Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a тАУ bi имеют один и тот же модуль.
9. Геометрический смысл сложения и вычитания
комплексных чисел.
Пусть векторы ОМ и ОМтАЩ (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yi u zтАЩ = xтАЩ + yтАЩi. Из точки М проведем вектор МК, равный OMтАЩ. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.
Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМтАЩ.
Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.
Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому
||z| - |zтАЩ|| < |z + zтАЩ| < |z| + |zтАЩ|.
Равенствоимеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМтАЩ имеют одинаковые (фиг.5) или противоположные (фиг.6) направления. В первом случае |OM| + |OMтАЩ| = |OK|, т. е. |z +zтАЩ|=|z| + + |zтАЩ|. Во втором случае |z + zтАЩ|=||z| - |zтАЩ||.
10. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и агрумент q. Формулами
a = r cos q; b = r sin q.
Поэтому всякое комплексное комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0.
Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Вн
Материал иснользовался из книги
М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике: -
- Государственное издательство физикотАУматематической литературы; Москва; 1960
Вместе с этим смотрят:
Конус и все, что с ним связаноКорифей математики XIX века - Пафнутий Львович ЧебышевКорни многочленов. Производные и кратные корниКривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента