Математическое моделирование
Постановка задачи и анализ исходных данных
Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов.
Данный курсовой проект ставит перед собой цель выяснить насколько эффективна деятельность фирмы в долгосрочном периоде при выборе вектора х=(х1,х2) затрат из пространства затрат.
Поэтому задача максимизации прибыли в долговременном промежутке имеет следующий вид;
PR=p(x1,x2)*f(x1,x2)-c(x1,x2) max (х1,х2 > 0),где
p(х1,х2) - функция спроса;
f(х1,х2) - производственная функция выпуска;
с(х1,х2) - функция затрат.
Будут использоваться данные:
КАПИТАЛ | ТРУД | ВЫПУСК | ЦЕНА | ЗАТРАТЫ |
1,05 | 1,03 | 1,50 | 25,44 | 5,10 |
2,00 | 2,90 | 4,20 | 15,11 | 10,20 |
3,00 | 6,00 | 7,43 | 10,60 | 19,40 |
4,00 | 9,00 | 9,60 | 8,57 | 27,00 |
5,00 | 12,00 | 12,15 | 7,34 | 36,00 |
6,00 | 15,30 | 15,75 | 6,45 | 42,60 |
7,00 | 18,00 | 18,45 | 5,87 | 50,00 |
8,00 | 21,00 | 21,45 | 5,39 | 58,00 |
9,00 | 24,00 | 24,30 | 5,00 | 66,00 |
10,00 | 27,00 | 26,85 | 4,67 | 74,00 |
11,00 | 30,00 | 30,15 | 4,40 | 82,00 |
12,00 | 33,00 | 33,00 | 4,17 | 90,00 |
13,00 | 36,00 | 36,75 | 3,97 | 99,00 |
14,00 | 39,00 | 41,28 | 3,79 | 107,00 |
15,00 | 42,00 | 42,30 | 3,63 | 120,00 |
Зависимые переменные : выпуск, цена, затраты.
Независимые переменные: капитал (х1) и труд (х2), которые удовлетворяют выше приведенным условиям.
Исходя из заданных данных необходимо определить вид и параметры функций спроса, затрат и производственной функции выпуска.
Определение вида и параметров функции спроса, достоверности параметров, качества регрессии. | |
| | | | | | | | |
Функция спроса - функция цены выпускаемой продукции в зависимости от объемов затрачиваемых ресурсов. |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
КАПИТАЛ | ТРУД | ЦЕНА | | LN x1 | LN x2 | LN y | | |
1,05 | 1,03 | 25,44 | | 0,05 | 0,03 | 3,24 | | |
2,00 | 2,90 | 15,11 | | 0,69 | 1,06 | 2,72 | | |
3,00 | 6,00 | 10,60 | | 1,10 | 1,79 | 2,36 | | |
4,00 | 9,00 | 8,57 | | 1,39 | 2,20 | 2,15 | | |
5,00 | 12,00 | 7,34 | | 1,61 | 2,48 | 1,99 | | |
6,00 | 15,30 | 6,45 | | 1,79 | 2,73 | 1,86 | | |
7,00 | 18,00 | 5,87 | | 1,95 | 2,89 | 1,77 | | |
8,00 | 21,00 | 5,39 | | 2,08 | 3,04 | 1,68 | | |
9,00 | 24,00 | 5,00 | | 2,20 | 3,18 | 1,61 | | |
10,00 | 27,00 | 4,67 | | 2,30 | 3,30 | 1,54 | | |
11,00 | 30,00 | 4,40 | | 2,40 | 3,40 | 1,48 | | |
12,00 | 33,00 | 4,17 | | 2,48 | 3,50 | 1,43 | | |
13,00 | 36,00 | 3,97 | | 2,56 | 3,58 | 1,38 | | |
14,00 | 39,00 | 3,79 | | 2,64 | 3,66 | 1,33 | | |
15,00 | 42,00 | 3,63 | | 2,71 | 3,74 | 1,29 | | |
| | | | | | | | |
12,62 | -38,59 | 50,48 | | -0,36 | -0,23 | 3,26 | 26,00 | |
3,19 | 9,51 | 8,90 | | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 1,00 | |
0,83 | 2,60 | #Н/Д | | 1,00 | 0,00 | #Н/Д | | |
29,14 | 12,00 | #Н/Д | | 8736032,75 | 12,00 | #Н/Д | | |
393,61 | 81,06 | #Н/Д | | 4,35 | 0,00 | #Н/Д | | |
| | | | | | | | |
значение распределения Стьюдента | | | значение распределения Стьюдента | | |
3,95 | -4,06 | 5,67 | | -280,59 | -132,26 | 7866,80 | 25,99 | |
Критическое значение Стьюдента | | | критич. Знач. Стьюдента=стьюдраспобр | | |
2,18 | | | | 2,18 | | | | |
Достоверен | достоверен | достоверен | | достоверен | достоверен | | достоверен | |
| | | | | | | | |
Критическое распределение Фишера | | | критическое распределение Фишера | | |
| | | | | | | | |
0,00002 | | | | 1,04959E-37 | | | | |
29,14>0,00002 | | | | 8736032,75>1,04959Е-37 | | | |
R2-достоверен | | | | R2-достоверен | | | | |
| | | | | | | | |
Выбираем степенную ф-ю т.к. у степенной ф-ции три достоверных параметра. Коэф. Детерминации равен 1 (1>0,83), Fстатистика больше, чем у линейной (8736032,75>29,14). |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
p(x1,x2)=P=b0*x1-b1*x2-b2 | | | Параметры: | b0 | b1 | b2 | |
| | | | | 26,00 | -0,23 | -0,36 | |
Определение вида и параметров функции затрат, достоверности параметров, качества регрессии. |
| | | | | | | |
Функция затрат - функция от двух переменных - факторов производства - капитала и труда. |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| КАПИТАЛ | ТРУД | ЗАТРАТЫ | | | | |
| 1,05 | 1,03 | 5,10 | | | | |
| 2,00 | 2,90 | 10,20 | | | | |
| 3,00 | 6,00 | 19,40 | | | | |
| 4,00 | 9,00 | 27,00 | | | | |
| 5,00 | 12,00 | 36,00 | | | | |
| 6,00 | 15,30 | 42,60 | | | | |
| 7,00 | 18,00 | 50,00 | | | | |
| 8,00 | 21,00 | 58,00 | | | | |
| 9,00 | 24,00 | 66,00 | | | | |
| 10,00 | 27,00 | 74,00 | | | | |
| 11,00 | 30,00 | 82,00 | | | | |
| 12,00 | 33,00 | 90,00 | | | | |
| 13,00 | 36,00 | 99,00 | | | | |
| 14,00 | 39,00 | 107,00 | | | | |
| 15,00 | 42,00 | 120,00 | | | | |
| | | | | | | |
| 1,96 | 2,21 | 0,00 | | | | |
| 0,30 | 0,82 | #Н/Д | | | | |
| 1,00 | 1,54 | #Н/Д | | | | |
| 3818,56 | 13,00 | #Н/Д | | | | |
| 18116,82 | 30,84 | #Н/Д | | | | |
| | | | | | | |
| значение распределения Стьюдента | | | | |
| 6,54 | 2,70 | #Н/Д | | | | |
| критическое значение Стьюдента | | | | |
| 2,16 | | | | | | |
| достоверен | достоверен | | | | | |
| | | | | | | |
| критическое распределение Фишера | | | | |
| | | | | | | |
| 9,92626E-19 | | | | | | |
| 3818,56>9,92626Е-19 | | | | | |
| R2-достоверен | | | | | |
| | | | | | | |
| Функция затрат имеет вид линейной функции. | | c(x1,x2)=C=c1*x1+c2*x2 |
| | | | | | | |
| Параметры: | c1 | c2 | | | | |
| | 2,21 | 1,96 | | | | |
Оптимизация | | | | | | | | |
Общая постановка задачи: | | | | | | | |
Определив вид и параметры функций спроса, производственной функции и функции затрат ,мы можем преобразовать уравнение прибыли соответственно с нашим решением. |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
a0 | 1,54 | b0 | 26,00 | | | КАПИТАЛ | ТРУД | f(x1,x2)=F |
a1 | 0,43 | b1 | -0,23 | c1 | 2,21 | 1,05 | 1,03 | 1,60 |
a2 | 0,57 | b2 | -0,36 | c2 | 1,96 | 2,00 | 2,90 | 3,81 |
| | | | | | 3,00 | 6,00 | 6,86 |
PR=p(x1,x2)*f(x1,x2)-c(x1,x2) | | прибыль (1) | | | 4,00 | 9,00 | 9,78 |
Найденные уравнения регрессии: | | | | 5,00 | 12,00 | 12,68 |
p(x1,x2)=P=b0*x1-b1*x2-b2 | | ф-я спроса (5) | | | 6,00 | 15,30 | 15,75 |
f(x1,x2)=F=a0*x1a1*x2a2 | | произв. ф-я (6) | | | 7,00 | 18,00 | 18,47 |
c(x1,x2)=C=c1*x1+c2*x2 | | ф-я затрат (7) | | | 8,00 | 21,00 | 21,36 |
из этого следует, что | | | | | 9,00 | 24,00 | 24,24 |
PR=a0*b0*x1(a1+b1)*x2(a2+b2)-c1x1-c2x2 | | | 10,00 | 27,00 | 27,13 |
далее решим систему уравнений | | | | 11,00 | 30,00 | 30,01 |
qPR/qx1=0 | (2) | | | | | 12,00 | 33,00 | 32,89 |
qPR/qx2=0 | | | | | | 13,00 | 36,00 | 35,78 |
| | | | | | 14,00 | 39,00 | 38,66 |
Решение : | | | | | | 15,00 | 42,00 | 41,54 |
| | | | | | | | |
a0*b0*(а1+в1)*x1(a1+b1-1)*x2(a2+b2)-c1=0 | | | | | |
a0*b0*x1(a1+b1)*(а2+в2)*x2(a2+b2-1)-c2=0 | | | | | |
| | | | | | | | |
При упрощении выражения получается уравнение вида: | | | | |
| | | | | | | | |
x2/x1=(c1*(a2+b2))/(c2(a1+b1)) | | | | | | | |
| | | | | | | | |
Обозначим правую часть уравнения через коэффициент К: | | | | |
| | | | | | | | |
| x2/x1=K | | К= | 1,18 | | | | |
| | | | | | | | |
Cледовательно: | | | | | | | | |
| x2/x1=1,18 | | | х1=х2/1,18 , х2=х1*1,18 | | |
| | | | | | | | |
Выразив х1 через х2 и решив систему уравнений получаем оптимальные значения х1опт и х2опт | |
| | | | | | | | |
| | x1o= | 9,48 | | | | | |
| | x2o= | 11,20 | | | | | |
Для проверки правильности нахождения экстремума необходимо произвести расчет по формулам ( 3) и ( 4 ): |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| q2PR(x1,x2)/qx12<0 | | для оптимальных значений х1,х2 | ( 3 ) | |
| | | | | | | | |
Подставив свои значения получаю формулу: | | | | | |
| а0*в0*(а1+в1)*(а1+в1-1)*х1(а1+в1-2)*х2(а2+в2)<0 | | -0,19 | <0 |
| | | | | | | | |
| (q2PR(x1,x2)/qx12)*(q2PR(x1,x2)/qx22)-(q2PR(x1,x2)/qx1х2)2>0 | | ( 4 ) |
| | | | | | | | |
Представим формулу в виде: | | | А*В-D2>0 | | | | |
| | | | | | | | |
А=а0*в0*(а1+в1)*(а1+в1-1)*х1(а1+в1-2)*х2(а2+в2) | | | | | |
В=а0*в0*(а2+в2)*(а2+в2-1)*х1(а1+в1)*х2(а2+в2-2) | | | | | |
D=а0*в0*(а1+в1)*(а2+в2)*х1(а1+в1-1)*х2(а2+в2-1) | | | | | |
| | | | | | | | |
Найдем значения А,В и D: | | | | | | | |
| | | | | | | | |
А = | -0,19 | | | | | | | |
B = | -0,14 | | | | | | | |
D = | 0,04 | | | | | | | |
| | | | | | | | |
Подставим эти значения в формулу: | 0,024 | >0 | | | |
| | | | | | | | |
Вывод: | Найденные значения х1опт и х2опт являются оптимальным решением системы уравнений . |
| | | | | | | | |
При подстановке этих значений мы получим максимум прибыли(1) и максимум выпуска (5) | 61,37 | |
| | | | | | | 6,50 | |
| | | | | | | | |
График прибыли от двух переменных | | | | | |
| | | | | | | | |
| | PR=f(х1,х2) | | | | | |
| Построение графиков изоквант и изокост. | | | | | |
| | | | | | | | |
Капитал | Труд | Изокванта | Изоклиналь | Изокоста | Параметры | | | |
1,05 | 1,03 | 58,90 | 1,24 | 20,71 | | | | |
2,00 | 2,90 | 36,23 | 2,36 | 19,63 | а0 | 1,54 | | |
3,00 | 6,00 | 26,68 | 3,54 | 18,51 | а1 | 0,43 | | |
4,00 | 9,00 | 21,47 | 4,73 | 17,38 | а2 | 0,57 | | |
5,00 | 12,00 | 18,15 | 5,91 | 16,25 | с1 | 2,21 | | |
6,00 | 15,30 | 15,82 | 7,09 | 15,12 | с2 | 1,96 | | |
7,00 | 18,00 | 14,08 | 8,27 | 14,00 | yо | 16,05 | | |
8,00 | 21,00 | 12,73 | 9,45 | 12,87 | | | | |
9,00 | 24,00 | 11,65 | 10,63 | 11,74 | g опт | 0,89 | | |
10,00 | 27,00 | 10,76 | 11,81 | 10,61 | | | | |
11,00 | 30,00 | 10,01 | 13,00 | 9,49 | с0 | 42,90 | | |
12,00 | 33,00 | 9,38 | 14,18 | 8,36 | | | | |
13,00 | 36,00 | 8,83 | 15,36 | 7,23 | х1опт | 9,48 | | |
14,00 | 39,00 | 8,35 | 16,54 | 6,10 | х2 опт | 11,20 | | |
15,00 | 42,00 | 7,92 | 17,72 | 4,98 | в0 | 26,00 | | |
| | | | | в1 | -0,23 | | |
| | | | | в2 | -0,36 | | |
| Для построения графиков используются расчеты по следующим формулам: | | | |
| Изокванта | | х2(х1)=(у0/(а0*х1a1)^(1/a2) | | | | |
| Изоклиналь | | x2(x1)=gопт.*(a2/a1)*x1 | | | | |
| Изокоста | | x2(x1)=(c0-c1*x1)/c2 | | | | |
| а также: | | | | | | | |
| Оптимальный выпуск | Вместе с этим смотрят:
"Инкарнация" кватернионов
*-Алгебры и их применение
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнженерна графiка
|