Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине
Курсовая работа
Выполнила студентка II курса группы ПМИ Решоткина Наталья Николаевна
Мурманский Государственный Педагогический Университет
Мурманск 2007
Введение
При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
Цель данной работы: теоретическое обоснование и необходимость практического применения теоремы Коши-Бине:
Пусть ,
-
и
-матрицы соответственно,
и
Тогда
Другими словами, при определитель матрицы
является суммой произведений всевозможных миноров порядка
в
на соответствующие миноры матрицы
того же самого порядка
Работа состоит из четырех глав, содержит заключение, список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе I рассматриваются элементы линейной алгебры тАУ матрицы, операции над матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава II посвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонирование произведения двух матриц. В главе III рассматриваются обратимые и элементарные матрицы. В главе IV вводиться понятие определителя квадратной матрицы, рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательство теоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагается программа показывающая механизм нахождения определителя произведения двух матриц.
Глава I
Вз 1 Определение, обозначения и типы матриц
Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:
Где элементы матрицы aij (1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля .Для наших целей поле
будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы
, где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.
Каждой матрице
с элементами aij соответствует n×m матрица с элементами aji . Она называется транспонированной к
и обозначается через
. Видно, что
=
. Строки матрицы
становятся столбцами в
и столбцы матрицы
становятся строками в
.
Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:
Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0
Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0
Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1
Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы
. Если
-номера выбранных строк и
-номера выбранных столбцов, то субматрица это
В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.
Вз2 Операции над матрицами
Определим следующие операции:
Сумма двух матриц
, и
с элементами
и
есть
матрица С с элементами
, запишем это как
Произведение матрицы на число
поля
есть матрица С с элементами
, запишем как
.
Произведение матрицы
на
матрицу
есть
матрица С с элементами
, запишем
поле скаляров, рассмотрим
, где
элемент матрицы
, расположенный в
-строке
,
-столбце
. Размерность матрицы
.Если
, то
-квадратная матрица порядка
. Множество
-это множество всех
матриц над полем
.
Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами: равна матрице
, т.е
Опр. Пусть -это матрицы одинаковой размерности
. Суммой матриц
и
называется
матрица у которой в
строке,
столбце расположен элемент
, т.е.
. Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:
Пример:
Опр. Пусть ,
,
. Произведение скаляра
на матрицу
называется
у которой в
строке,
столбце расположен элемент
. Другими словами: Чтобы скаляр
умножить на матрицу
нужно все элементы матрицы
умножить на скаляр
.
Определение. Противоположной к матрице называется матрица
Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:
-абелева группа
1) Сложение матриц ассоциативно и коммутативно.
2)
3)
а)
б)
4)
Глава II
Вз1 Умножение матриц
,
,
Опр. Произведением матрицы
на
матрицу
называется
матрица
.
, где
, где
Говорят, что есть скалярное произведение
-строки матрицы
на
-столбец матрицы
.
, где
Пример:
Вз2 Свойства умножения матриц
Умножение матриц ассоциативно:
1) , если определены произведения матриц
и
Доказательство:
Пусть , так как определено
, то
и определено
, то
Определим матрицы:
а)
б)
(1) матрицы, тогда
имеют одинаковую размерность
2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковые элементы
из равенства (1)
(2),
(3). Подставляя (3) в (2) получим:
, тогда
(4),
(5). Подставляя (5) в (4) получим:
Вывод: Матрицы имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
Умножение матриц дистрибутивно :
Доказательство:
так как определено
, то
и определено
, то
размерности
размерности
Матрицы имеют одинаковую размерность, покажем расположение одинаковых элементов:
,
,
Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
3. ,
. Если определены
матрицы, то доказательство проводим аналогично свойству 2.
4. ,
:
, если определена матрица
Доказательство:
. Пусть
,
,
,
5. Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:
, тогда
Вз3 Техника матричного умножения
поле скаляров,
,
Свойства:
Произведение можно рассматривать, как результат умножения столбцов матрицы
на
слева и как результат умножения строк матрицы
на
справа.
Пусть матрица
,
-линейная комбинация столбцов матрицы
коэффициенты которой служат элементы матрицы
Пример
Пусть -матрица
, тогда
-линейная комбинация строк матрицы
коэффициенты которой служат элементы матрицы
Пример:
Столбцы матрицы -линейная комбинация столбцов матрицы
. Строки
-линейная комбинация строк матрицы
.
Вз4 Транспонирование произведения матриц
поле скаляров,
,
,
,
Теорема
если
, то
. Обозначим:
,
Доказательство:
1) Пусть
,
- размерности
,
- размерности
, тогда
и
имеют одинаковую размерность
2) ,
-элемента расположенный в
-строке,
-столбце матрицы
т.е
,
-произведение
-строки транспонированной
на
столбец
,
Глава III
Вз1 Обратимые матрицы
поле скаляров, множество
матриц порядка
Определение. Квадратная матрица порядка
называется единичной матрицей
,
Пусть ,
Теорема 1
, то для
выполняется
Доказательство:
Из этого следует . Матрица
является единичной матрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.
Определение. Квадратная матрица называется обратимой если существует
так, что выполняются условия
Матрица называется обратной к
и обозначается
, тогда если
-это обратная к
, то
обратная к
-это взаимообратные матрицы т.е.
Теорема 2
Если -обратима, то существует только одна матрица обратная к
Доказательство:
Пусть дана матрица
, которая обратима и пусть существуют матрицы
обратные к
т.е.
. Имеем
"Инкарнация" кватернионов
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора