Ряды

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х1;у1) тАУ элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).

Пусть точка (х0;у0)ÎЕ дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

Ö[(х-х0)+(y-y0)]

Точка (х0;у0) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому множеству.

Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.

Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.

Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.

Точка (х0;у0)Î множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.

Фун 2 переменных.

Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.

Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.

Обл опред-я фун 2 переменных тАУ это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).

Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.

Предел фун 2 переменных.

Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при хВох0, уВоу0, М(х;у)ВоМ0. limхВох0 (уВоу0)f(х;у)=A

Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х0)2+(y-y0)2]

Основные теоремы о пределах:

1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (XnВ±Yn)=aВ±b (nВо¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;

Xn В± Yn = (a + an) В± (b + bn) = (a В± b) + (a nВ± bn) => lim(XnВ±Yn)=aВ±b (nВо¥).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (nВо¥).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (nВо¥) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn тАУ a/b = (a+an)/(b+bn) тАУ a/b = (ab+anbтАУabтАУabn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (nВо¥).

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М0(х0;у0) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство limхВох0(уВоу0)f(х;у)=f(х0;у0) или limDхВо0(DуВо0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х0;у0), где х=х0+Dх и у=у0+Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) тАУ опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x0;у0).

Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)тАУ1 род.

Если (х0;у0)тАУ1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) тАУ 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма (разность) f(х;у)=f1(х;у)В±f2(х;у), произведение f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.

Док-во (суммы): По определению получаем, что limхВох0(уВоу0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limхВох0(уВоу0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(XnВ±Yn)=aВ±b (nВо¥), можем написать: limхВох0(уВоу0)f(х;у)=limхВох0(уВоу0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=

=limхВох0(уВоу0)f1(х;у)+limхВох0(уВоу0)f2(х;у)=

=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.В· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0;у0), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х0;у0).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Точки разрыва.

Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие limхВох0(уВоу0)f(х;у)= f(х0;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).

Условие limDхВо0(DуВо0)f(х0+Dх;у0+Dу)=f(х0;у0) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), за исключением самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), но не сущ-ет предела limхВох0(уВоу0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0) и сущ-ет предел limхВох0(уВоу0)f(х;у), но limхВох0(уВоу0)f(х;у)¹f(х0;у0).

Классификация точек разрыва:

Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) тАУ 1 род.

Если (х0;у0) тАУ 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) тАУ 2 рода.

Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.

Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.

Св-ва: 1)Если фун f(x;yтАж) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х0;у0тАж) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х0;у0тАж)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х0;`у0тАж) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х0;`у0тАж)£f(х;утАж). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;yтАж) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m тАУ наиб и наим значения фун f(x;yтАж) в обл, то для любого числа m, удовл усл m

Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x. ∆xz=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ∆yz=f(x,y+∆y)-f(x,y).

Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆xz к приращ-ю ∆x при ∆xВо0.

∂z/∂x=lim(∆xВо0)∆xz/∆x=lim(∆xВо0)(f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y.

∂z/∂y=lim(∆yВо0) ∆yz/∆y=lim(∆yВо0)(f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.

Част диф-л фун: dxz(x;y)=[(В¶z/В¶x)*Dx] и dуz(x;y)=[(В¶z/В¶у)*Dу].

Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).

Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.

Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x0,y0), если её полное приращение ∆z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r), где r=Ö(∆x2+∆y2), т.е. lim(DхВо0,DуВо0,rВо0)0(r)/r=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем r. (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y.

Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0,y+∆y)В»f(x,y)+[В¶f(x,y)/В¶x]*Dx+[В¶f(x,y)/В¶y]*Dy.

Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0,y0), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0, y=y0. A=∂z(х0;у0)/∂x; B=∂z(х0;у0)/∂y.

Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0,y0) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма.

Производные высших порядков.

∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2z/∂x2;z``xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;

∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z``xy;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z``yx; ∂φ/∂y=∂2z/∂y2;z``yy;

Третья производная: ∂3z/∂x3; ∂3z/∂x2∂y; ∂3z/∂x∂yВ¶х; ∂3z/∂y∂x2; ∂3z/∂y∂x∂y; ∂3z/∂y2∂x; ∂3z/∂y3.

Производная сложной ф-ии.

z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство В¶z/В¶x=(∂z/∂u)(В¶u/В¶x)+(∂z/∂v)(В¶v/В¶x); В¶z/В¶y=(∂z/∂u)(В¶u/В¶y)+(∂z/∂v)(В¶v/В¶y).

z=f(x;u;v)=F(x)

Полная производная по х:

dz/dx=В¶z/В¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);

Полная производная по у:

dz/dу=В¶z/В¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);

Экстремумы фун 2 переменных.

Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)> f(x,y) {f(x0,y0)

Определение max и min при предположении, что х=х0+Dх и у=у0+Dу, тогда

f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+Dх;у0+Dу)-f(x0;y0)=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М0(х0;у0); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0);

Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.

Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0, y=y0 или равно нулю или не сущ.

Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0,y0)/∂x=0, ∂f(x0,y0)/∂y=0.

Тогда при x=x0, y=y0:

1)f(x,y) имеет максимум, если

∂2f(x0,y0)/В¶x2*∂2f(x0,y0)/В¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x0,y0)/В¶x2<0

2)f(x,y) имеет максимум, если

∂2f(x0,y0)/В¶x2*∂2f(x0,y0)/В¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x0,y0)/В¶x2>0

3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.

∂2f(x0,y0)/В¶x2*∂2 f(x0,y0)/В¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2<0

4)Если ∂2f(x0,y0)/В¶x2*∂2f(x0,y0)/В¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2=0, то экстремум может быть, а может и не быть.

Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.

Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢x=0, В¶F/В¶x+(В¶F/В¶z)*(В¶z/В¶x) В¶z/В¶x=--[(В¶F/В¶x)/(В¶F/В¶z)];

Продифф. аналогично по у В¶z/В¶y=--[(В¶F/В¶y)/(В¶F/В¶z)]

Двойной интеграл.

Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1,DS2,DS3тАжDSn). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1,P2,P3тАжPn). f(Pi) тАУ значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)DSi. Vn=nåi=1f(Pi)DSi тАУ это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.

Опр: Предел limmax diВо0nåi=1f(Pi)DSi интегральной суммы nåi=1f(Pi)DSi, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек PiÎDi наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.

Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax diВо0nåi=1f(Pi)DSi

т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax diВо0nåi=1f(Pi)DSi=óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/В¶

Св-ва:

1)óóD(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóDf1(x,y)dxdy+óóDf2(x,y)dxdy

2) ó óDa f(x,y)dxdy=aó óD f(x,y)dxdy.

3) Если область D=D1ÈD2, то

ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).

Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.

ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая тАУ соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi. Переходя в равенство

ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi к пределу при DSiВо0, получаем равенство

ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).В·

4) Если фун f(x,y)=1, то ó óD1dxdy=SD

5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть

ó óD f(x,y)dxdy³(£)0

6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то

óóDf1(x,y)dxdy³óóDf2(x,y)dxdy

7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.

вó а ( j2(x)ó j1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.

Док-во: Из соот-я

mS£вóа(j2(x)ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID£MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .

Двукратный интеграл

Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a

Рассмотрим ID=вóаf2(x)óf1(x)f(x,y)dydx=вóаФ(х)dx

-это двукратный интеграл.

Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

óóDf(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=

=óóDf(pcosj;psinj)pdpdj=

=j2ój1 dj p2(j)óp1(j)(pcosj ;psinj)pdp.

Геометрическое приложение двойного интеграла.

Площадь плоской поверхности.

óóD f(x,y)dxdy=SD

2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма

DVi=nåi=1f(xi,yi)*DSi тАУ это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.

limmax diВо0nåi=1f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил

Площадь поверхности.

Sпов.= óó[Ö1+(dz/dx)2+(dz/dy)2dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;yтАЩ;утАЭтАжуn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;yтАЩ;утАЭтАжуn)=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур F(x;y;yтАЩ;утАЭтАжуn)=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;yтАЩ;утАЭтАжуn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)тАЩ;j(х)тАЭтАж j(х)n)=0.

Фун вида у=j(х;С1;С2;тАжСn) наз общим решением ур F(x;y;yтАЩ;утАЭтАжуn)=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;тАжСn; 2) для любых начальных усл х0, у0, утАЩ0, уn0 можно найти конкретную совокупность С1 0;С2 0;С3 0;тАжСn 0 при которых фун у=j(х;С1 0;С2 0;С3 0;тАжСn 0), что эта фун будет удвл начальному условиям.

Соот-е вида j(х;С1;С2;С3;тАжСn)=0 полученная при решении ур F(x;y;yтАЩ;утАЭтАжуn)=0 наз общим интегралом ур F(x;y;yтАЩ;утАЭтАжуn)=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;yтАЩ)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество.

Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.

Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.

Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур.

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:

1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)yтАЩ=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)yтАЩ+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x)

{f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0

∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C тАУ общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. yтАЩ+p(x;y)=Q(x) тАУ общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение yтАЩ+p(x;y)=0.

Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;

2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-∫Pdx

V= C1eтАУ∫Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

V(x)= eтАУ∫Pdx, где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная

V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x)

Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)

yтАЩ+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) тАУ непрерывные фун. от x (или пост.) n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделим на yn с наибольшим значением n, получим

(yтАУn)yтАЩ+P(yтАУn+1)=Q, Сделаем далее замену z=(yтАУn+1), тогда dz/dx=(-n+1)(y-n)yтАЩ. Подставляя эти значения в ур-е

(yтАУn)yтАЩ+P(yтАУn+1)=Q, будем иметь линейное ур-е

dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (yтАУn+1), получим общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида yтАЩ=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)

тАУоднородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t0)f(x;y).

Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл. f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x, yтАЩ=UтАЩx+U подставим в исходное ур-е UтАЩx+U=f(1;U), UтАЩx+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + C Þ вместо U подст. y/x и получим общий инт.

Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;yтАЩ;yтАЩтАЩ)=0. Решением урав. наз. любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);jтАЩ(x);jтАЩтАЩ(x))=0

Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0тАЩ,y0тАЩтАЩ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.

j(x0;С10;С20)=y0 ,

jтАЩ(x0; С10;С20)=y0тАЩ

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка yтАЩтАЩ+P(x)yтАЩ+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно yтАЩтАЩ+P(x)yтАЩ+q(x)y=0 (2)

тАУ линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) тАУ линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е.

y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(eтАУ∫P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий. 0 y2

C1тАЩ(x)y1+ C2тАЩ(x) y2=0 Þ C1тАЩ(x)= f(x) y2тАЩ

C1тАЩ(x)y1тАЩ+ C2тАЩ(x) y2тАЩ=f(x) y1 y2

y1тАЩ y2тАЩ

Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx

y1 0

C2тАЩ(x)= y1тАЩ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx

y1 y2

y1тАЩ y2тАЩ

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: yтАЩтАЩ+pyтАЩ+qy=f(x), p,q тАУ числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1, y2 тАУ два лин-но незав. реш.

(1) yтАЩтАЩ+ pyтАЩ+qy=0 тАУ лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=ekx k2+pk+q=0 тАУ характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k1,2=(-pВ±Ö(p2-4q))/2, k1¹k2 y1=ek1x, y2=ek2x.

Т.к. y1/y2¹const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x.

2. D=0 k1,2=-p/2

y1=e-px/2, y2=y1∫(e--∫pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=aВ±bi, y1=eaxCosbx, y2=eaxSinbx, y1/y2¹const, y=eax(c1Cosbx+c2Sinbx)

Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.

1. f(x)=Pn(x)eax 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия

y*=(A0xn+A1xn-1 ++..+An)=Qn(x)eax.

a - однократный корень y*=xQn(x)eax.

3) a - двукрат. корень y*=x2Qn(x)eax.

2. f(x)=p(x)eaxCosbx+q(x)eaxSinbx

1) a+bi тАУ не корень y*=U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx.

2) a+bi тАУ корень y*=x[U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx].

3. f(x)=MCosbx+NSinbx

1)bi тАУ не корень, y*=ACosbx+BSinbx.

2)bi тАУ корень, y*=x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2..Un,.. Выражение U1+U2+..+Un+.. наз-ся числовым рядом,

U1, U2..Un тАУ члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+..+Un.

Если сущ-ет конечный предел limnВо¥Sn=S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел limnВо¥Sn равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел limnВо¥Sn, то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во: Sn тАУ сумма n первых членов ряда, Ck тАУ сумма k отброшенных членов, Dn-k тАУ сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck тАУ постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn; если сущ-ет lim Sn, то сущ-ет limDn-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+..(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1+ca2+..(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) тАУ через Dn. Тогда Dn=ca1+..+can=c(a1+..+an)=cSn. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+..(5) и b1+b2+..(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1и S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2)+..(7) и (a1тАУb1)+(a2тАУb2)+..(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2 и

S1тАУS2.

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1n и S2n, получим: Dn=(a1+b1)+..+(an+bn)=(a1+..+an)+(b1+..+bn)=S1n+S2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при nВо¥:, получим limDn=lim(S1n+S2n)= limS1n+limS2n=S1n+S2n.

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 nВо¥.

Док-во: пусть ряд U1+U2+..+Un+.. сходится, т.е. limSn=S nВо¥, тогда имеет место равенство limSn-1=S.

limSnтАУlimSn-1=0, lim(SnтАУSn-1)=0. Но SnтАУSn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+..+Un+..(1), S1n; V1+V2+..+Vn+..(2) S2n; Известно,что Vn³Un при n³N0.

если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $ lim S2n=S. S1n=U1+U2+..+UN0+UN0+1+..+Un=SN0+VN0+1+..+Vn. limS1n=lim(SN0+Dn-N0)=SN0+D. S1n тАУ возраст. послед-ть, ограниченная числом SN0+D => $ lim S1n=Sn1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L¹0,¥ при nВо¥, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если $ lim(Un+1/Un)=L(2) при nВо¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L

| Un+1/Un тАУ L|

UN+2

Рассмотрим теперь два ряда:

U1+U2+..+UN+Un+1+.. (1)

UN+qUN+q2UN+.. (1тАЩ). Ряд (1тАЩ) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN+1, меньше членов ряда (1тАЩ), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limnÖUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L

| nÖUnтАУL|1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: nÖUn>1 или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥ån=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.

Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx тАУ сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx тАУ расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3тАж и предел его общего члена при nВо¥ равен 0

(Lim nВо¥ Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1³S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+тАж+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2m имеет предел LimmВо¥S2m=S. Переходя к пределу в неравенстве S2m

=LimmВо¥ S2m+ Lim mВо¥ А2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim nВо¥ Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U1+U2+U3тАж.+Un+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ¥ån=1½Un½; |U1|+|U2|+тАж+|Un|+тАж(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим Sn+ и Sn- суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда Sn1=Sn+-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2= Sn++Sn- . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел LimnВо¥Sn2=S. Последовательности Sn+ и Sn- являются возрастающими и ограниченными (Sn+ ≤ S Sn- ≤ S ), значит существуют пределы

LimnВо¥Sn+ и LimnВо¥Sn-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда

LimnВо¥Sn1=Lim nВо¥Sn+ -Lim nВо¥ Sn- , т.е. ряд (*) сходится.В·

Если ряд |U1|+|U2|+тАж+|Un|+тАжсходиться, то ряд U1+U2+U3тАж.+Un+ наз абс. сходящимся.

Если ряд U1+U2+U3тАж.+Un+ сходиться, а ряд |U1|+|U2|+тАж+|Un|+тАжрасходиться, то ряд U1+U2+U3тАж.+Un+ наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3тАж.+Un+ абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

Степенные ряды.

C0+C1X+C2X2+тАж+CnXn.-степенной ряд (*)

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости LimnВо¥Un=LimnВо¥CnX0n=0. Значит последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |CnX0n|

|С0|+ |C1X0||Х/X0|+тАж+ |CnX0n||X/X0|n+тАж(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0|+тАж+М|X/X0|n+тАж представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0|<1, т.е. при|X|<|X0|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что противоречит условию.В·

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│R тАУ расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.

4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+тАж+аnх2+тАж+аn+1хn+1+тАж и

а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+тАж+аn(х-х0)2+тАж сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U1+U2+.+Un+. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+.+Un(Х)+..(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма ряда Un+1(x)+Un+2(x) +тАж, т.е. rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +тАж В этом случае величина rn(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Limn→∞ rn(x)= Limn→∞[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+.+Un(Х)+. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а1+а2+а3+тАж+аn.(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U1(x)│≤a1,тАж,│Un(x)│≤an ,тАж Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)2/2!]+тАж

тАж+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={[(x-a)n+1]/[(n+1)!]}f(n+1)[a+q(x-a)], где 0

f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+тАж+fn(a)[(x-a)n/n!]+тАж

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x2/2!]+тАж

тАж+fn(0)[xn/n!]+тАж.

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

ex=1+x+x2/2!+тАж+xn/n!+тАж (-¥;¥)

sinX=x-x3/3!+x5/5!+тАж+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+тАж (-¥;¥)

cosX=1-x2/2!+x4/4!-тАж+[(-1)nX2n]/(2n)!+тАж (-¥;¥)

(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+тАж (-1;1)

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-.+[(-1)nxn+1]/(n+1)+. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x2+тАж+xn+.