Разностные аппроксимации
1.Примеры разностных аппроксимаций.
Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек
w h={xi=ih, i=0, В± 1, В± 2,тАж}.
Пусть u(x) тАУ достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [xi-1, xi+1]. Обозначим
Разностные отношения
называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке xi , т.е. при фиксированном xi и при hВо 0 (тем самым при iВо ТР ) пределом этих отношений является uтАЩ(xi). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим
ux,i тАУ uтАЩ(xi) = 0,5huтАЩтАЩ(xi) + O(h2),
ux,i тАУ uтАЩ(xi) = -0,5huтАЩтАЩ(xi) + O(h2),
ux,i тАУ uтАЩ(xi) = O(h2),
Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют uтАЩ(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная тАУ со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная
аппроксимирует uтАЩтАЩ(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение
Рассмотрим дифференциальное выражение
(1)
с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением
(2)
где a=a(x) тАУ функция, определенная на сетке w h. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (kuтАЩ)тАЩ в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения
где uiтАЩ = uтАЩ(xi), получим
С другой стороны, Lu = (kuтАЩ)тАЩ = kuтАЩтАЩ + kтАЩuтАЩ,
т.е.
Отсюда видно, что LhuтАУLu = O(h2), если выполнены условия
(3)
Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) тАУ дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:
Заметим, что если положить ai = k(xi), то получим только первый порядок аппроксимации.
В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа
(4)
Введем на плоскости (x1, x2) прямоугольную сетку с шагом h1 по направлению x1 и с шагом h2 по направлению x2, т.е. множество точек
w h = {(xi1, xj2) | xi1 = ih1, xj2 = jh2; i, j = 0, В± 1, В± 2,тАж},
и обозначим
Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение
(5)
аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. Lhuij тАУ Lu(xi1, xj2) = O(h21) + O(h22). Более того, для функций u(x1, x2), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение
Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x1, x2) в пяти точках сетки, а именно в точках (x1i, x2j), (x1iВ± 1, x2j), (x1i, x2 jВ± 1). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек.
2. Исследование аппроксимации и сходимости 2.1. Аппроксимация дифференциального уравнения.
Ранее рассматривалась краевая задача
(k(x) uтАЩ(x))тАЩ тАУ q(x) u(x) + f(x) = 0, 0 < x < l,(1)
тАУ k(0) uтАЩ(0) + b u(0) = m 1, u(l) = m 2,(2)
k(x) i c1 > 0, b i 0,
для которой интегро-интерполяционным методом была построена разностная схема
(3), (4)
где
(5)
(6)
Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через Lhyi тАУ левую часть уравнения (3), т.е.
Пусть u (x) тАУ достаточно гладкая функция и u (xi) тАУ ее значение в точке xi сетки
w h = {xi = ih, i = 0, 1, тАж,N, hN = l}(7)
Говорят, что разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=xi, если разность Lhu i тАУ Lhu (xi) стремится к нулю при hВо 0. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1).
Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=xi значения u iВ± 1 = u (xi В± h), входящие в разностное выражение Lhu i. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях
(8)
выполняется соотношение
Если кроме того, докажем, что
di = q(xi) + O(h2), j i = f(xi) + O(h2)(9)
то тем самым будет установлено, что оператор Lh аппроксимирует L со вторым порядком по h, т.е.
Lhu i тАУ Lu (xi) = O(h2), i = 1, 2,тАж, NтАУ1(10)
Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k-1(x), получим
следовательно,
Аналогично
Отсюда получим
т.е. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того, что замена интегралов (6) значениями qi, fi соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования.
2.2. Аппроксимация граничного условия.
Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим lhu (0) = тАУa1u x, 0 + b u 0. Если u (x) тАУ произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно
lhu (0) = тАУk(0) u тАЩ(0) + b u (0) + O(h),
т.е. имеет место аппроксимация первого порядка по h. Однако если u =u(x) тАУ решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.е.
Докажем последнее утверждение. Используя разложение
ux, 0 = (u1 тАУ u0)/h = uтАЩ(x1/2) + O(h2), x1/2 = 0,5h,
a1 = k1/2 + O(h2)
получим
Отсюда имеем
Учитывая граничное условие (2), получаем
lhu(0) = 0,5h [тАУ (kuтАЩ)тАЩ(0) + d0u0 тАУ j 0] + O(h2).
Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учитывая уравнение (1), к виду
тАУ (kuтАЩ)тАЩ(0) + d0u0 тАУ j 0 = тАУ (kuтАЩ)тАЩ(0) + q(0)u(0) тАУ f(0) +
+ (d0 тАУ q(0))u0 тАУ (f(0) тАУ j 0) = (d0 тАУ q(0))u0 тАУ (f(0) тАУ j 0).
Из соотношений
получаем
что и требовалось доказать.
Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов k(x), q(x), f(x) и решения u(x) разностная схема (10) аппроксимирует исходную задачу (2) со вторым порядком по h.
При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точно. Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность O(h2) и выше. Например, в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты: ai = k(xi тАУ 0,5h), di = q(xi), j i = f(xi).
Применяя формулу трапеций, получим
Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k(x), q(x), f(x).
2.3. Уравнение для погрешности.
Решение yi = y(xi) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки, y(xi) = yh(xi). По существу, мы имеем семейство решений {yh(xi)}, зависящее от параметра h. Говорят, что решение yh(x) разностной задачи сходится к решению u(x) исходной дифференциальной задачи, если при hВо 0 погрешность yh(xi) тАУ u(xi), i = 0, 1,тАж, N, стремится к нулю в некоторой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C(w h), т.е. положим
Говорят, что разностная схема имеет m-й порядок точности (или сходится с порядком m), если
где m>0, M>0 тАУ константы, не зависящие от h.
Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность zi = yi тАУ u(xi). Поставим yi = zi + u(xi) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения
(11), (12)
где обозначено
Функция y i, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.1 было доказано, что y i = O(h2) при hВо 0, i=1, 2,тАж, NтАУ1. Аналогично, величина n 1 является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем n 1=O(h2). Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части.
Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11), (12) через правые части y i, n 1, т.е. получим неравенство вида
(13)
с константой M1, не зависящей от h. Из этого неравенства и будет следовать, что
Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой
для разностной схемы (3), (4) при m 2 = 0. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям j и m 1.
2.4. Разностные тождества и неравенства.
Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим
Справедливо следующее разностное утверждение:
(y, u x) = тАУ(u , yx) + yNu N тАУ y0u 1.(14)
Действительно,
что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям.
Подставляя в (14) вместо u выражение azx и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина
(15)
Здесь
В частности, если zN = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим
(16)
Обозначим
и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zN = 0, справедливо неравенство
(17)
Для доказательства воспользуемся тождеством
и применим неравенство Коши-Буняковского
Тогда получим
Откуда сразу следует неравенство (17).
2.5. Доказательство сходимости.
Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность zi = yi тАУ u(xi). Для этого умножим уравнение (11) на hzi и просуммируем по i от 1 до NтАУ1. Тогда получим
Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим
Далее, согласно (12) имеем
следовательно, справедливо тождество
(18)
Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13).
Заметим прежде всего, что если
k(x) i c1 > 0, b i 0, q(x) i 0,
то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам
ai i c1 > 0, b i 0, di i 0.(19)
Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6).
Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:
Тогда придем к неравенству
(20)
Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь
Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим
т.е.
Окончательно
(21)
Посколькуиз неравенства следует,
что погрешность zi = yi тАУ u(xi) также является величиной O(h2) при hВо 0. Итак, справедливо следующее утверждение.
Пусть k(x) тАУ непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) тАУ непрерывные функции при xО [0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при hВо 0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка
где M тАУ постоянная, не зависящая от h.
3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 3.1. Исходная задача.
Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0 < x < 1, 0 < t РИ T} требуется найти решение уравнения
(1)
удовлетворяющее начальному условию
u(x, 0) = u0(x)(2)
и граничным условиям
u(0, t) = m 1(t), u(1, t) = m 2(t).(3)
Здесь u0(x), m 1(t), m 2(t) тАУ заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)тАУ(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) тАУ (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.
3.2. Явная схема.
Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е.
w h = {xi = ih, i = 0, 1,тАж, N, hN = 1}
и сетку по переменному t с шагом t , которую обозначим
w t = {tn = nt , n = 0, 1,тАж, K, Kt = T}
Точки (xi, tn), i = 0, 1,тАж, N, n = 0, 1,тАж, K, образуют узлы пространственно-временной сетки w h, t = w h x w t . Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0 = {0 РИ x РИ 1, t = 0}, I1 = {x = 0, 0 РИ t РИ T}, I2 = {x = 1, 0 РИ t РИ T}, называются граничными узлами сетки w h, t , а остальные узлы тАУ внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние тАУ кружочками.
Слоем называется множество всех узлов сетки w h, t , имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов
(x0, tn), (x1, tn),тАж, (xN, tn).
Для функции y(x, t), определенной на сетке w h, t , введем обозначения yni = y(xi, tn),
(4)
Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая 
Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xiВ± 1, tn), (xi, tn), (xi, tn+1). Производную В¶ u/В¶ t заменим в точке (xi, tn) разностным отношением ynt, i, а производную В¶ 2u/В¶ 2x тАУ второй разностной производной ynxx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией j ni, в качестве j ni можно взять одно из следующих выражений:
В результате получим разносное уравнение
(5)
которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi, tn) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность j ni тАУ f(xi, tn) имеет тот же порядок малости.
Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия тАУ в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид
(6)
Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y0i = u0(xi), i = 0, 1,тАж, N. Если решение yni, i = 0, 1,тАж, N, на слое n уже найдено, то решение yin+1 на слое n+1 находится по явной формуле
(7)
а значениядоопределяются из граничных
условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yin+1 при заданных yin требуется решать систему уравнений.
Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zin = yin тАУ u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) тАУ (3). Подставляя в (6) yin = zin + u(xi, tn), получим уравнение для погрешности
(8)
где 
тАУ погрешность аппроксимации разностной
схемы (6) на решении задачи (1) тАУ (3), y in = O(t + h2). Можно оценить решение zin уравнения (8) через правую часть y in и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым тАУ по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t РИ 0,5h2, означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.
Рассмотрим уравнение
(9)
т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид
yjn (j ) = qneijhj ,(10)
где i тАУ мнимая единица, j тАУ любое действительное число и q тАУ число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на eijhj , получим
откуда найдем
(11) 
Начальные условиясоответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при nВо ТР . В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| РИ 1 для всех действительных j , то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.
Для уравнения (9) неравенство |q| РИ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g РИ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t РИ 0,5h2. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t /h2 РИ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10-2. Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10-4, и для того чтобы вычислить решение yjn при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t -1 i 2 * 104, т.е. провести не менее 2 * 104 вычислений по формулам (7).
3.3. Неявные схемы.
Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (xi, tn), (xiВ± 1, tn+1), (xi, tn+1) и имеющая вид
(12)
Здесь j ni = f(xi, tn+1) + O(t + h2). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй тАУ по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения yin+1 по известным yin требуется решить систему уравнений
(13)
где g = t /h2, Fin = yin + t j in. Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.
Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения
имеющие вид (10). Тогда получим
следовательно, |q| РИ 1 при любых j , t , h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг t слишком малым, можно взять, например, t = h = 10-2. Величина шагов сетки t , h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.
Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема
(14)
для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке.
Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему
(15)
При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 тАУ чисто неявную схему и при s = 0,5 тАУ симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) тАУ (3). Представим решение задачи (15) в виде yin = u(xi, tn) + zin, где u(xi, tn) тАУ точное решение дифференциальной задачи (1) тАУ (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений
(16)
i = 1, 2,тАж, N тАУ 1, n = 0, 1,тАж, K тАУ 1,
z0n+1 = zNn+1 = 0, n = 0, 1,тАж, K тАУ 1, zi0 = 0, i = 0, 1,тАж, N.
Сеточная функция y in, входящая в правую часть уравнения (16) и равная
(17)
называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) тАУ (3). Получим первые члены разложения функции y in по степеням h и t . Будем разлагать все функции, входящие в выражение для y in, по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0,5t ). Учитывая разложения
где
получим
Отсюда, проводя разложение в точке (xi, tn+1/2) и обозначая u = u (xi, tn+1/2), будем иметь
и, перегруппировывая слагаемые, получим, что
Учитывая уравнение (1) uтАЩтАЩ тАУ u = тАУ f и следствие из него uIV тАУ uтАЩтАЩ = тАУfтАЩтАЩ, окончательно можно записать, что
(18) 
Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если
то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый тАУ по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если
то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при j in i 0 в виде (10), то получим
и |q| РИ 1 при всех j , если
(19)
Отсюда видно, в частности, что все схемы с s i 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s *) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.
При s № 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yin+1 по заданным yin требуется решать систему уравнений
(20)
где
Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s № 0 сводятся к неравенству
|1 + 2s g | i 2 |s | g
и выполнены при s i тАУ 1/(4g ). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.
3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами
(21)
где r (x, t), k(x, t), f(x, t) тАУ достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям
0 < c1 РИ k(x, t) РИ c2, r (x, t) i c3 > 0.(22)
Дифференциальное выражениепри каждом
фиксированном t аппроксимируем в точке (xi, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением
где разностный коэффициент теплопроводности a(xi, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации
Наиболее употребительны следующие выражения для a(xi, t):
Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид
(24)
Здесь в качестве t можно взять любое значение t О [tn, tn+1], например t = tn + 0,5t . Если в уравнении (24) t = tn + 0,5t , s = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй тАУ по h.
При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с s = 0 и f(xi, t) i 0, т.е. схему
(25)
Предположим, что коэффициенты r (xi, t), a(xi, t) тАУ постоянные, r (xi, t) i r = const, a(xi, t) i a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде
или
Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при t тАЩ РИ 0,5h2, т.е. при
(26)
Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(xi, t), r (xi, t), т.е. если при всех x, t выполнены неравенства
(27)
Если известно, что 0 < c1 РИ a(xi, t) РИ c2, r (xi, t) i c3 > 0, то неравенство (27) будет выполнено при
Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2.
Если параметр s i 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).
Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности
(28)
В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно yin+2, i = 1, 2,тАж, N тАУ 1, имеет вид
(29)
где ai = 0,5 (k(yni) + k(yni-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй тАУ по h. Решение yin+1, i = 1, 2,тАж, N тАУ 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде
где ki = k(yin).
Часто используется нелинейная схема
(30)
Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:
(31)
Здесь s тАУ номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для yin+1 выбирается yin. Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг t . Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) i c1 > 0 часто бывает достаточно провести две тАУ три итерации. Значения yi(S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29).
Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор тАУ корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге тАУ Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений
из которой находятся промежуточные значения yin+1/2, i = 0, 1,тАж, N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = yin+1/2, т.е. схема
Вместе с этим смотрят:
"Инкарнация" кватернионов
*-Алгебры и их применение
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнженерна графiка