Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех
1. Вводные замечания
2. Модели сигналов и помех
3. Вероятностные характеристики случайных процессов
4. Энергетические характеристики случайных процессов
5. Узкополосные случайные процессы
6. Временные характеристики случайных процессов
7. Особенности нестационарных случайных процессов
8. Классификация случайных процессов
Библиографический список
1. Вводные замечания
В процессе приема сигналов на вход приемного устройства поступает либо смесь сигнала и помехи, либо помеха. Оптимальное приемное устройство обнаружения на первичном этапе обработки должно наилучшим образом вынести решение о принятом сигнале, т.е. определить, присутствует или отсутствует сигнал, какой тип сигнала присутствует (на втором этапе обработки), оценить значение того или иного параметра (амплитуды, длительности, времени прихода, направление прихода и т.д.). Сформулированная задача может решаться при априорно неизвестных моделях сигналов и помех, при неизвестных (мешающих) параметрах или неизвестных распределениях сигналов и помех. Основная цель заключается в синтезе оптимальной структуры приемного устройства. Синтезированная структура чаще всего практически нереализуема, однако ее эффективность является потенциальной и дает верхнюю границу эффективности любых практически реализуемых структур.
Синтез оптимальных процедур обработки сигналов и помех может производиться с использованием различных методов оптимизации:
1. Использование корреляционной теории:
а) критерий максимума отношения сигнал/помеха;
б) критерий минимума среднеквадратической ошибки.
2. Использование теории информации для максимизации пропускной способности системы. Главное направление тАУ построение наилучших методов кодирования.
Применение теории статистических решений.
Задача оптимизации может быть решена только при наличии критерия, который задается разработчиком системы.
Чтобы воспользоваться теорией статистических решений при синтезе оптимальных приемных устройств, необходимо иметь математические модели сигналов и помех. Эти модели должны включать описание формы сигнала (если она известна). Статистические характеристики и характер взаимодействия сигнала и помехи вплоть до n-мерных плотностей вероятностей.
Теория статистических решений имеет следующие составные части:
1) теорию проверки статистических гипотез:
а)ВаВаВаВаВа двухальтернативные задачи обнаружения или распознавания сигналов;
б)ВаВаВаВаВа многоальтернативные задачи при различении многих сигналов на фоне помех;
2) теорию оценки параметров, если эти параметры составляют счетное множество;
3) теорию оценки процесса, который необходимо выделить из входной смеси с минимальной ошибкой.
Постановка задачи синтеза оптимального приемного устройства и ее решение существенным образом зависят от объема априорных (доопытных) сведений о характеристиках сигналов и помех. По объему априорных данных различают задачи с полной априорной определенностью (детерминированный сигнал и помеха с полностью известными вероятностными характеристиками), с частичной априорной определенностью (имеются известные параметры сигнала и помехи) и с априорной неопределенностью (известны лишь некоторые сведения о классах сигналов и помех) [5]. Следует заметить, что эффективность разработанных обнаружителей и измерителей параметров существенно зависит от объема априорной информации.
Следует заметить, что, если о сигналах и помехах ничего неизвестно (полностью отсутствует информация о них), то такая задача не может быть решена.
Сигнал тАУ это процесс, служащий для передачи информации или сообщения. Остальные процессы, воспринимаемые приемным устройством вместе с сигналом, являются помехами.
Сигналы классифицируются по объему априорных сведений:
а)ВаВаВаВаВа детерминированные сигналы (неслучайные);
б) детерминированные по форме сигналы со случайными параметрами (квазислучайные);
в) псевдослучайные, шумоподобные сигналы (они близки по свойствам к случайным процессам, но генерируются детерминированным образом и при воспроизведении полностью повторяются);
г) случайные сигналы.
В зависимости от характера изменения во времени сигналы подразделяются на дискретные и непрерывные. Дискретные сигналы используются в цифровых устройствах, в радиолокации. Непрерывные (континуальные) тАУ в телефонии, радиовещании, телевидении и т.д. В последнее время дискретные сигналы используются и в цифровом телевидении и радиовещании.
Каждый сигнал может быть охарактеризован по степени сложности в зависимости от величины, называемой базой сигнала: B = F∙T, где F тАУ эффективная ширина спектра сигнала; Т тАУ эффективная длительность сигнала. Если B В» 1, то сигнал называется простым, при B >> 1 тАУ сложным сигналом. Сложные сигналы получают либо из совокупности простых сигналов, либо с помощью модуляции. К сложным сигналам могут быть отнесены шумовые и шумоподобные сигналы. У таких сигналов 
, где Т тАУ эффективная длительность сигнала (когда сигнал эквивалентен по энергии сигналу с прямоугольной формой); 
ВатАУ интервал корреляции процесса.
В различных системах, как правило, излучают радиосигналы, отличающиеся по виду модуляции: амплитудно-модулированные, частотно-модулированные, фазомодулированные, сигналы с импульсными видами модуляции; манипулированные (по амплитуде, частоте, фазе и совмещенные) сигналы.
В радиолокации чаще всего излучается последовательность радиоимпульсов.
Упрощенная структура РЛС представлена на рис. 1, где использованы следующие обозначения: РПУ тАУ радиопередающее устройство; РПрУ тАУ радиоприемное устройство; АП тАУ антенный переключатель; s0(t) тАУ зондирующий сигнал; s(t) тАУ отраженный сигнал; А тАУ антенна; О тАУ обнаруживаемый объект; V тАУ скорость сканирования антенны. Облучение пространства производится периодическим зондирующим сигналом.
Импульс отражается от объекта обнаружения и возвращается с задержкой к антенне РЛС. Задержка определяется расстоянием между РЛС и объектом. Интенсивность отраженного сигнала зависит от эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) объекта и условий распространения радиосигнала. В РЛС одна и та же антенная система используется при передаче и приеме сигналов. Интенсивность облучения объекта зависит от формы диаграммы направленности антенны и угла между направлением на объект и направлением максимального коэффициента направленного действия. При сканировании антенной системы (механическом или электронном вращении диаграммы направленности) огибающая пачки импульсов отраженного сигнала повторяет форму диаграммы направленности (рис. 1). В режиме сопровождения объекта огибающая пачки импульсов может иметь прямоугольную форму.
Рис. 1
Рис 1
При обзоре время облучения ограничено, и принимаемый сигнал представляет собой ограниченную по времени пачку радиоимпульсов. Модуляция по амплитуде импульсов в пачке определяется не только формой диаграммы направленности, но и скоростью V обзора, от нее зависит и число импульсов в пачке. Обычно огибающая пачки тАУ детерминированная функция, поскольку вид диаграммы направленности и скорость обзора известны.
Запаздывание отраженного сигнала зависит от дальности r до объекта тАУ 
, где c тАУ скорость распространения радиоволны в пространстве. При распространении сигнал ослабляется относительно излученного в 106 тАУ 1010 раз по напряжению. Кроме того, изменение угла между направлением максимума диаграммы направленности антенны и объектом и поворот объекта за время облучения приводит к случайным изменениям амплитуды импульсов принимаемого сигнала. За счет радиальной скорости объекта Vr изменяется и частота отраженного сигнала (доплеровский эффект), при этом приращение частоты несущего колебания 
. Изменяются параметры сигнала в канале связи и во входных трактах приемной системы.
При отражении сигнала от объекта происходит изменение поляризации падающей волны. Эти изменения зависят от формы объекта и могут быть использованы при распознавании объектов.
Построить модель сигнала, которая учитывала бы все эти влияния и изменения сложно, поэтому учитывают только часть рассмотренных изменений.
Основные модели сигналов
а) Детерминированный сигнал:
.
Все параметры сигнала: амплитуда А, закон ее изменения во времени S0(t), частота w0 и закон изменения начальной фазы 
Ваво времени известны, т.е. огибающая S(t) и фаза Ваявляются детерминированными функциями времени.
б) Одиночный сигнал со случайной амплитудой и фазой
,
где А, j, t тАУ случайные параметры.
Случайные параметры задаются плотностями вероятности. Распределение амплитуд А чаще всего полагают релеевским
,
где s2 тАУ дисперсия флюктуаций амплитуды.
Начальная фаза j и задержка t распределены равномерно, т.е.
,
где Т тАУ период зондирования, определяемый максимальной однозначной дальностью действия РЛС.
Функции s0(t) и ВатАУ детерминированные.
Для движущихся объектов локации к несущей частоте w0 добавляется доплеровский сдвиг 
, где 
ВатАУ случайная величина, знак которой зависит от направления перемещения объекта в радиальном направлении относительно РЛС.
в) Нефлюктуирующая пачка радиоимпульсов
,
где 
; функция H2(t) тАУ функция, обусловленная формой диаграммы направленности (рис. 2б); Т0 тАУ период следования импульсов в пачке; К = const.
г) Флюктуирующая пачка импульсов:
тАУ дружно-флюктуирующая пачка тАУ амплитуды радиоимпульсов в пачке неизменны, но изменяются независимо от пачки к пачке, что соответствует медленному изменению ЭПР отражающего объекта во времени или изменению параметров канала распространения электромагнитной волны и т.д. (рис. 2);
тАУ быстро-флюктуирующая пачка тАУ амплитуды радиоимпульсов изменяются в пачке от импульса к импульсу независимо (рис. 3).
В зависимости от характера изменения начальной фазы колебаний от импульса к импульсу в пачке различают когерентные и некогерентные пачки радиоимпульсов. Когерентная пачка может быть образована путем вырезания импульсов из непрерывного стабильного гармонического колебания. Начальные фазы в этом случае или одинаковы во всех радиоимпульсах пачки, или изменяются по известному закону. Некогерентная пачка состоит из радиоимпульсов с независимо-изменяющейся начальной фазой.
Рис. 2
Рис. 3
Помехи разделяются на естественные (неорганизованные) и искусственные (организованные), внутренние и внешние.
По способу образования помехи могут быть пассивными и активными. Естественные пассивные помехи создаются отражениями от местных предметов (в радиолокации) и земной поверхности, растительности и т.д.; отражениями от метеорных следов и атмосферных неоднородностей (в радиосвязи на УКВ).
Активные помехи имеют самостоятельный источник, в то время как пассивные помехи обусловлены излучением зондирующего сигнала. По характеру изменения во времени помехи бывают флюктуационные (гладкие) и импульсные.
В качестве помех могут быть случайные, шумоподобные или детерминированные процессы. Из всех помех наибольшее воздействие на подавляемую РЛС оказывает белый (широкополосный) шум с нормальным распределением, поскольку он имеет наибольшую информационную емкость.
Чаще всего в качестве моделей помех используется их описание с помощью статистических характеристик. Наиболее полной характеристикой является n-мерная плотность вероятности. Однако в некоторых частных, но очень важных случаях помеха может быть охарактеризована одномерной или двумерной плотностями вероятности.
Сигналы и помехи могут быть представлены в виде некоторых множеств в частотно-временной системе координат (рис. 4).
Каждый сигнал или помехи занимают по осям w и t определенные отрезки, зависящие от полосы частот Dw и длительности t. Чем больше Dw и t, тем эффективнее помеха с точки зрения подавления сигнала. Наилучшей помехой является белый шум, который заполняет всю плоскость w, t, и обладает наибольшими дезинформационными свойствами. Если шум узкополосный, то он занимает ограниченную площадь, поскольку имеет неравномерную спектральную плотность мощности. От такой помехи можно избавиться, перестроив несущую частоту w0 сигнала.
Для пространственно-временных сигналов и помех используются дополнительные координаты: угол места и азимут. И тогда источники помех могут быть точечными по угловым координатам или распределенные в конкретных секторах.
Рис. 4
Геометрическое представление сигналов и помех связано с введением многомерного пространства выборок и широко используется в теории сигналов [7, 8]. Пусть имеется реализация x(t) случайного процесса X(t). В соответствии с теоремой Котельникова эта реализация может быть представлена в виде дискретных отсчетов xi = x(iDt). Число этих отсчетов (единичных измерений) тАУ N, совместно они образуют выборку X размером N тАУ 
, i тАУ номер измерения в выборке X. Если представим n-мерное пространство, в котором на каждой оси координат отложим соответствующие по номеру измерения, то вся выборка будет соответствовать точке этого пространства или вектору, конец которого лежит в этой точке. Длина вектора в данном пространстве может быть представлена так:
.
Эта величина называется нормой вектора в эвклидовом пространстве. В пространстве Хемминга норма выражается иначе:
.
Если 
Ваи 
, то в пределе переходим к бесконечному пространству 
, в котором норма определяется так
.
Для реальных процессов 
Ваи имеет размерность величины x.
Все указанные пространства линейны, и для них определены операции сложения элементов множества и умножения элемента на число. Причем обе эти операции удовлетворяют условиям коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Среди линейных пространств можно выделить метрические пространства, для которых существует метрика 
, т.е. норма разности векторов, которая больше или равна нулю. Метрика (расстояние) обладает следующими свойствами:
а) 
; б) 
; в) 
,
где x, y, z тАУ элементы пространства.
Для эвклидова конечно-мерного пространства 
ВатАУ
,
для непрерывного пространства Вааналогично
.
Важным является понятие скалярного произведения. Оно характеризует собой проекцию одного вектора на другой и определяется в Ватак:
,
т.е. сумма произведений одноименных проекций векторов на оси координат. В непрерывном пространстве : 
, причем скалярное произведение 
Вавсегда не больше произведения норм векторов (неравенство Шварца).
Угол между векторами определяется так
.
Если определить норму через скалярное произведение, то говорят, что норма порождена скалярным произведением, а пространство, отвечающее такому произведению, называется гильбертовым.
Введем понятие случайного вектора. Случайный вектор тАУ это такой вектор, координаты которого есть случайные величины. Этот вектор 
Вав пространстве выборок не занимает какого-либо фиксированного положения. Его конец может оказаться в той или иной области пространства с известной вероятностью, которую можно подсчитать, зная совместное распределение случайных величин 
. Конец вектора можно представить себе не как определенную точку, а как облако, переменная плотность которого выражает вероятность нахождения конца вектора в данном элементе объема пространства. Геометрически это облако отображается гиперсферой в n-мерном пространстве (рис. 5).
Рис. 5
Элементарный объем в пространстве выборок 
. Вероятность попадания конца вектора в этот объем будет равна
,
где 
ВатАУ плотность вероятности случайного процесса X(t).
Если гиперсфера имеет размеры W, то попаданию точки в эту гиперсферу соответствует вероятность
,
где 
ВатАУ проекции гиперсферы W на оси координат системы.
Это выражением может быть записано в векторной форме
.
Если 
Вараспределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией каждой их независимых компонент, то вероятность попасть в элементарный объем 
Вапространства выборок равна
,
где 
ВатАУ расстояние от начала системы координат до элемента .
В данном случае облако имеет сферическую форму. При различных дисперсиях облако вытягивается вдоль тех осей, которым соответствуют единичные измерения с большей дисперсией.
Если даны два случайных процесса x и h, то косинус угла между их векторами соответствует нормированному коэффициенту взаимной корреляции. Геометрически он характеризует проекцию единичных векторов одного на другой. Если x = h, то 
ВатАУ линейная зависимость, если же они перпендикулярны, то 
ВатАУ показывает полное отсутствие коррелированности. В этом случае векторы ортогональны, а процессы некоррелированы.
Для нормальных процессов некоррелированность означает и независимость, поскольку для них иной случайной зависимости, кроме линейной, не существует. Доказывается такое утверждение подстановкой коэффициента корреляции, равного нулю, в двумерную нормальную плотность вероятности. В результате такой подстановки плотность вероятности преобразуется к произведению одномерных плотностей вероятности, что является необходимым и достаточным условием статистической независимости двух случайных величин, входящих в систему.
3. Вероятностные характеристики случайных процессов
1. Наиболее полными вероятностными характеристиками случайных процессов (СП) являются различные виды распределений вероятностей мгновенных значений, среди которых основное применение получили интегральная функция распределения вероятностей и плотность вероятности.
Для ансамбля реализаций СП (рис. 6) одномерная интегральная функция распределения определяется как вероятность того, что мгновенные значения реализаций не превысят некоторый фиксированный уровень x в момент времени t.
Аналогично определяется n-мерная интегральная функция распределения как вероятность совместного выполнения неравенств:
. (1)
Виды одномерной интегральной функции распределения для различных процессов показаны на рис. 8.
.
В отличие от интегральных функций распределения случайных величин, эта характеристика СП в общем случае (для нестационарных СП) зависит от времени.
Рис. 6
Так же как и для случайных величин, 
Ва(положительная определенность), 
Вапри x2 > x1 (интегральная функция является неубывающей), 
Ва(ограниченность).
Рис. 7
Хотя интегральная функция распределения вероятности определена и для непрерывных, и для дискретных процессов, большее распространение получила плотность вероятности, определенная только для непрерывных СП.
Одномерная плотность вероятности определяется как производная от интегральной функции по аргументу x:
.
Для n-мерной плотности в соответствии с (1) имеем:
.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (2)
Из представления производной в виде предела отношения конечных приращений 
Ваможно сделать вывод, что плотность вероятности характеризует относительную частоту пребывания мгновенных значений в элементарном интервале Dx.
На рис. 7 приведены графики плотности вероятности для реализаций различной формы.
Аналогичное рассмотрение n-мерной плотности вероятности позволяет интерпретировать ее как вероятность того, что значение функции находятся в пределах n коридоров Dx или, иначе, что реализация примет заданную форму (рис. 8).
Рис. 8
Свойства плотности вероятности:
тАУ положительная определенность тАУ 
;
тАУ свойство симметрии тАУ значения плотности вероятности не меняются при перестановке аргументов;
тАУ свойство нормировки 
;
тАУ свойство согласованности (число интегралов в правой части равно n тАУ m)
тАУ плотность вероятности меньшего порядка вычисляется путем интегрирования по ВллишнимВ» аргументам;
тАУ размерность плотности вероятности обратна размерности случайной величины.
Наиболее широко в радиотехнике используются следующие распределения.
1. Нормальной (гауссово) распределение (рис. 9):
Рис. 9
,
где m тАУ математическое ожидание; s тАУ среднеквадратическое отклонение (СКО).
Для нормального распределения характерна симметрия относительно математического ожидания и большие значения случайной величины встречаются значительно реже малых:
.
2. Равномерное распределение (рис. 10):
Рис. 10
Экспоненциальное распределение (рис. 11):
Рис. 11
4. Распределение Рэлея (распределение огибающей узкополосного нормального СП):
Рис. 12
2. Распределения вероятностей, хотя и является наиболее употребимыми в теории характеристиками, не всегда доступны для экспериментального определения и во многих случаях слишком громоздки в теоретических исследованиях. Более простыми являются числовые характеристики СП, определяемые как некоторые функционалы от плотности вероятности. Наиболее широко из них используются моментные функции, определяемые как среднее значение различных степенных преобразований СП.
Начальные одномерные моменты определяются в виде
. ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Ва(3)
Особое значение имеют первый начальный момент тАУ математическое ожидание 
Ваи второй начальный момент
.
сигнал случайный помеха прием
Физический смысл этих характеристик: среднее значение и средняя мощность СП, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом, соответственно (если СП есть напряжение, стационарное по постоянной составляющей и мощности). Второй начальный момент характеризует степень разбросанности случайной величины относительно начала координат. Размерность математического ожидания совпадает с размерностью величины x (для x в виде напряжения тАУ вольты), а размерность m2 тАУ с размерностью квадрата величины x.
В случае стационарных СП моменты не зависят от времени, для нестационарных могут быть функциями времени (в зависимости от типа не-стационарности), что поясняется рис. 13.
Рис. 13
Центральные моменты определяются аналогично начальным моментам, но для центрированного процесса 
:
.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (4)
Поэтому всегда 
.
Второй центральный момент тАУ дисперсия СП тАУ определяется в виде
и характеризует степень разбросанности значений относительно математического ожидания или, иначе, среднюю мощность переменной составляющей процесса, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом. Очевидна связь между начальными и центральными моментами:
, в частности 
.
Отметим, что третий центральный момент (p = 3 в (4)) характеризует асимметрию распределения вероятностей (для симметричных плотностей вероятности 
), а четвертый (p = 4) тАУ степень остроты вершины плотности вероятности.
Рассмотрим пример вычисления одномерных моментов распределения.
ПРИМЕР 1. Процесс с треугольной симметричной плотностью вероятности виден на экране осциллографа в виде шумовой дорожки с размахом от -2 до +4 В. При выключенной развертке яркость вертикальной линии в центре экрана равномерна. Оценить математическое ожидание и дисперсию процесса.
Решение примера 1. Сведения о форме распределения и его границах позволяет записать аналитическое выражение для плотности вероятности (рис. 14).
При этом максимальное значение плотности вероятности fm, достигаемое при x=1 В, определяется из условия нормировки, т.е. равенства площади треугольника единице:
,
откуда 
.
Рис. 14
Такое симметричное треугольное распределение называют также законом Симпсона.
В соответствии с определениями математическое ожидание и дисперсия равны
Ва= 1 В;
.
Однако удобнее вычислить вначале второй начальный момент
Ва= 7 В2,
тогда 
Ва= 6 В2.
Смешанные начальные моменты определяются соотношением
.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (5)
Смешанные центральные моменты определяются аналогично, но с заменой x в формуле (5) на центрированное значение 
.
Ввиду того, что значения x в смешанных моментах определяются в различные моменты времени, появляется возможность оценки статистической взаимозависимости значений процессов, разделенных заданными интервалами. Наиболее важным является простейший из смешанных моментов, отображающий линейную статистическую взаимозависимость и называется корреляционной и ковариационной функцией:
;
.ВаВаВаВа (6)
Как видно из определения, размерность корреляционной функции определяется размерностью квадрата величины x (для напряжения тАУ В2).
Для стационарного СП корреляционная функция зависит только от разности 
:
.
Следует заметить, что при t = 0 максимальное значение K(0) = s2.
На рис. 15 приведены примеры реализаций процессов с разными корреляционными функциями.
Кроме функционалов на основе степенных функций (моментов) возможны и другие типы функционалов в качестве статистических характеристик СП. Важнейшим среди них является функционал, основанный на экспоненциальном преобразовании и называемый характеристической функцией
.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (7)
Нетрудно заметить, что данное выражение представляет преобразование Фурье от плотности вероятности, отличающееся от обычного лишь знаком в показателе экспоненты.
Поэтому можно записать и обратное преобразование, позволяющее по характеристической функции восстановить плотность вероятности:
.
Соответственно для n-мерного случая имеем
. (8)
Рис. 15
Основные свойства характеристической функции состоят в следующем:
тАУ свойство нормировки 
;
тАУ свойство симметрии 
;
тАУ свойство согласованности
;
тАУ определение характеристической функции суммы независимых случайных величин
.
Как видно из анализа перечисленных свойств, различные преобразования характеристической функции проще плотности вероятности. Простая связь также между характеристической функцией и моментами плотности вероятности.
Пользуясь определением характеристической функции (7), продифференцируем ее k раз по аргументу u:
.
Отсюда
.
Можно заметить, что операция дифференцирования намного проще, операция интегрирования при определении моментов плотности вероятности.
ПРИМЕР 2. Может ли существовать процесс с характеристической функцией прямоугольной формы?
Решение примера 2. На рис. 16 представлена характеристическая функция прямоугольной формы (а) и соответствующая ей плотность вероятности (б).
Рис. 16
Так как характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности вероятности, то ее обратное преобразование Фурье должно обладать всеми свойствами плотности вероятности. В данном случае
.
График плотности вероятности представлен на рис. 16б.
Как видно из выражения для f(x) и рисунка, полученная плотность вероятности не удовлетворяет условию положительной определенности (
), следовательно, процесс с заданной характеристической функцией не может существовать.
К энергетическим характеристикам СП относят корреляционную функцию, спектральную плотность мощности и непосредственно связанные с ними параметры СП.
В разделе 2 было дано определение корреляционных функций как смешанных центральных моментов второго порядка соответственно автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций, т.е.
.
Основные свойства автокорреляционной функции:
тАУ свойство симметрии 
, для стационарных процессов тАУ четность 
;
тАУ свойство ограниченности 
, для стационарных процессов 
;
тАУ свойство неограниченного убывания с ростом аргумента (для эргодических процессов) 
;
тАУ свойство положительной определенности интеграла
;
тАУ размерность соответствует квадрату размерности случайного процесса.
Это свойство следует из определения спектральной плотности мощности (для случайных напряжений и тока через сопротивление 1 Ом), которое будет приведено ниже.
Для взаимнокорреляционной функции аналогично можно записать:
; 
;
; 
.
Ввиду ограниченности корреляционной функции частот используют нормированные корреляционные функции
; 
,
причем 
; 
.
Для более компактного описания свойств случайного процесса вводят понятие интервала корреляции, определяющего интервал времени, на котором существует связь между значениями процесса.
Основные определения интервала корреляции:
тАУ интегральный (для положительно определенных корреляционных функций) 
. Геометрически он характеризует ширину основания прямоугольника, равновеликого по площади функции k(t) при t > 0 (рис. 17а);
тАУ абсолютный интервал корреляции 
Ва(в отличие от предыдущего может использоваться для знакопеременных функций 
) (рис. 17б);
тАУ квадратичный интервал корреляции 
;
тАУ максимальный интервал корреляции (на уровне a) (рис. 18)
.
Рис. 17
Рис. 18
Обычно уровень a выбирается исходя из рассматриваемой задачи и имеет значения 1/e; 0,1; 9,05; 0,01 и т.д.
Последнее определение не является более произвольным, чем предыдущие, так как выбор конкретного вида функционала протяженности произволен и определяется удобством математического решения конкретной задачи. Практически этот интервал корреляции используется в радиоизмерениях для определения интервала, вне которого случайные величины в сечениях случайного процесса можно считать некоррелированными. Достоверность такого предположения определяется выбором уровня a.
Большое значение в статистической радиотехнике имеют спектральные характеристики СП. При этом используются различные интегральные преобразования процесса вида
.
При исследовании линейных систем с постоянными параметрами особое значение имеет ядро преобразования вида 
, так как отклик линейных систем на гармоническое воздействие также является гармоническим.
Преобразование Фурье от k-й реализации СП дает также случайную функцию частоты, зависящую от номера реализации:
.
В условиях реального наблюдения можно получить лишь текущий спектр реализации за интервал наблюдения T
.
Приведенные выражения в существенной степени формальны, так как для многих СП условия применимости преобразования Фурье не выполняются, и интеграл не сходится к какому-либо определенному пределу.
Определим квадрат модуля спектральной плотности k-й реализации
.
Предполагая процесс стационарным и центрированным, заменяя 
Ваи производя статистическое усреднение по множеству реализаций, определим:
.
Разделив обе части полученного равенства на T и беря предел 
, получим
.
Поясним физический смысл этой характеристики. Учитывая теорему Релея
,
определим 
; 
;
![]()
Вместе с этим смотрят:
GPS-навигация
IP-телефония. Особенности цифровой офисной связи
РЖсторiя звтАЩязку та його розвиток
Автоматика, телемеханика и связь
Анализ режимов автоматического управления