Нахождение полиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов

Московский Авиационный Институт

(государственный технический университет)

Курсовая работа по

Влтеории вероятностей и математической статистикеВ»

на тему:

Нахождение полиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов

Вариант №2

Выполнила: СтуденткаВа группы 05-202

Андреева Виктория

Принял:ВаВаВаВа Преподаватель кафедры 804

Молчанов Игорь Иванович

Москва

2010 г.

ЗАДАНИЕ (вариант № 2) :Ва Даны результаты измерений случайного процесса в равноотстоящие моменты времени (реализация временного ряда).

13,393 13,207 13,477 11,911 14,311 14,979 14,437 14,957 13,044 12,142

12,000 11,496 12,927 11,849 11,612 10,401 8,755 8,185 9,681 9,644

9,073 8,535 9,062 7,602 9,164 6,913 7,749 5,543 5,901 5,901

6,760 4,593 6,131 3,651 3,796 3,663 3,068 3,008 2,809 0,333

1,730 -0,072 0,479 -3,180 -2,962 -5,849 -6,153 -7,911 -10,134 -11,662

Измерения производятся с шагом по аргументу 0,08

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:Ва Требуется найти полиноминальную аппроксимацию этого процесса методом наименьших квадратов.

Теоретическая часть

Математическая статистика тАУ наука о математических методах, позволяющих по статистическим данным, например по реализацией случайной величины (СВ), построить теоретико-вероятностную модель исследуемого явления. Задачи математической статистики являются, в некотором смысле, обратными к задачам теории вероятностей. Центральным понятием математической статистики является выборка.

Выборка

Однородной выборкой (выборкой) объема n при Ваназывается случайный вектор , компоненты которого , называемые элементами выборки, являются независимыми СВ с одной и той же функцией распределения F(x). Будем говорить, что выборка соответствует функции распределения F(x).

Реализацией выборки называется неслучайный вектор , компонентами которого являются реализации соответствующих элементов выборки .

Из вышеописанных определений вытекает, что реализацию выборки Ваможно также рассматривать как последовательность Ваиз n реализаций одной и той же СВ X, полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Поэтому можно говорить, что выборка порождена наблюдаемой СВ X, имеющей распределение.

Если компоненты вектора независимы, но их распределения Варазличны, то такую выборку называют неоднородной.

Множество S всех реализаций выборки Ваназывается выборочным пространством.

Выборочное пространство может быть всем -мерным евклидовым пространством Ваили его частью, если СВ X непрерывна, а также может состоять из конечного или счетного числа точек из , если СВ X дискретна.

На практике при исследовании конкретного эксперимента распределения ВаСВ Варедко бывают известны полностью. Часто априори (до опыта) можно лишь утверждать, что распределение Васлучайного вектора Вапринадлежит некоторому классу (семейству) .

Пара (S,F) называется статистической моделью описания серии опытов, порождающих выборку .

Если распределение Ваиз класса F определены с точностью до некоторого векторного параметра , то такая статистическая модель называется параметрической и обозначается .

В некоторых случаях выборочное пространство может не зависеть от неизвестного параметра Вараспределения .

В зависимости от вида статистической модели в математической статистике формулируются соответствующие задачи по обработке информации, содержащейся в выборке.

СВ , где Ва- произвольная функция, определенная на выборочном пространстве S и не зависящая от распределения , называется статистикой.

Кривая регрессии.

регрессия вероятность статистический опыт

Условное математическое ожидание ВаСВ Вакак функция параметра Ваназывается регрессией Вана . График функции Ваназывается кривой регрессии Вана .

Точечная оценка.

Точечной (выборочной) оценкой неизвестного параметра распределения Ваназывается произвольная статистика Вапостроенная на выборке Ваи принимающая значения в множестве .

Оценка Вапараметра Ваназывается несмещенной, если ее МО равно , т. е. Вадля любого .

Оценка Вапараметра Ваназывается состоятельной, если она сходится по вероятности к , т. е. Вапри Вадля любого .

Оценка Вапараметра Ваназывается сильно состоятельной, если она сходится почти наверное к , т. е. Вапри Вадля любого .

Очевидно, что если оценка сильно состоятельная, то она является также состоятельной.

Доверительный интервал.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра Ваполучена из опыта несмещенная оценка . Назначим некоторую достаточно большую вероятность Ва(например, Ваили 0,99) такую, что событие с вероятностью Ваможно считать практически достоверным, и найдем такое значение , для которого

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене Вана , будет ; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью

Вероятность Вапринято называть доверительной вероятностью, а интервал - доверительным интервалом. Границы интервала : Ваи Ваназываются доверительными границами.

Интервальные оценки.

Пусть имеется параметрическая статическая модель , и по выборке , соответствующей распределению Ванаблюдаемой СВ , требуется определить неизвестный параметр . Вместо точечных оценок, рассмотренных ранее, рассмотрим другой тип оценок неизвестного параметра .

Интервал Васо случайными концами, ВлнакрывающийВ» с вероятностью , , неизвестный параметр , т. е.

,

называется доверительным интервалом (или интервальной оценкой) уровня надежности Вапараметра .

Число Ваназывается доверительной вероятностью или уровнем доверия.

Уровень значимости.

Уровнем значимости статистического критерия называется вероятность ошибки 1-го рода . Вероятность ошибки 1-го рода Ваможет быть вычислена, если известно распределение .

Ошибки 1 и 2-го рода.

Ошибкой 1-го рода называется событие, состоящее в том, что гипотеза Ваотвергается, когда она верна.

Ошибкой 2-го рода называется событие, состоящее в том, что принимается гипотеза , когда верна гипотеза .

Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой H или просто гипотезой называется любое предположение относительно параметров или закона распределения СВ , проверяемое по выборке .

Проверяемая гипотеза называется основной (или нулевой) и обозначается . Гипотеза, конкурирующая с , называется альтернативной и обозначается .

Статистическая гипотеза Ваназывается простой, если она однозначно определяет параметр или распределение СВ . В противном случае гипотеза Ваназывается сложной.

Статистическим критерием (критерием согласия, критерием значимости или решающим правилом) проверки гипотезы Ваназывается правило, в соответствии с которым по реализации Вастатистики Вагипотеза Вапринимается или отвергается.

Критической областьюВастатистического критерия называется область реализаций Вастатистики , при которых гипотеза Ваотвергается.

Доверительной областьюВастатистического критерия называется область значений Вастатистики , при которых гипотеза Вапринимается.

Практическая часть.

Этап 1 (Вычисление оценок , Ванеизвестных коэффициентов регрессии , ):

;

;

Ва- оценка полезного сигнала (кривая регрессии);

Ва- ошибка;

Формулируем все ошибки:

.

Находим наименьшую ошибку. Для этого продифференцируем уравнение по a и по , приравняем к 0, получив систему:

Ва- система нормальных уравнений.

Решаем систему методом Крамера:

Расчетная схема для оценок Вапо методу наименьших квадратов.