РЖнтерполювання функцiй

З
мiст

Вступ

Роздiл I

РЖнтерполювання функцiй

1.1ВаВаВа Постановка задачi

1.2 РЖнтерполяцiйнi формули Ньютона

1.2.1 Перша iнтерполяцiйна формула Ньютона

1.2.2 Друга iнтерполяцiйна формула Ньютона

1.2.3 Оцiнка похибок iнтерполяцiйних формул Ньютона

1.3 РЖнтерполяцiйнi формули Гауса

1.4 РЖнтерполяцiйна формула Бесселя

1.5 РЖнтерполяцiйна формула Стiрлiнга

1.6 Оцiнки похибок центральних iнтерполяцiйних формул

1.7 РЖнтерполяцiйна формула Ньютона для нерiвновiддалених вузлiв

1.8 Приклади застосування iнтерполяцiйних формул

1.8.1 Приклад 1

1.8.2 Приклад 2

1.9 Програмна реалiзацiя

1.9.1 Призначення програми

1.9.2 Основнi процедури

1.9.3 РЖнструкцiя по використанню програми

1.9.4 Перевiрка працездатностi програми

Роздiл РЖРЖ

Лiтература

Додатки

Вступ

У звтАЩязку з розвитком обчислювальноi технiки iнженерна практика наших днiв все частiше i частiше зустрiчаiться з математичними задачами, точний розвтАЩязок яких отримати достатньо важко. В таких випадках зазвичай звертаються до тих чи iнших наближених обчислень. Ось чому наближенi i чисельнi методи математичного аналiзу отримали за останнi роки широкий розвиток i набули виключно важливого значення.

Чисельне розвтАЩязання прикладних задач завжди цiкавило математикiв. Аналiз ускладнених моделей вимагав створення спецiальних, як правило, чисельних або асимптотичних методiв розвтАЩязання завдань. Назви деяких з таких методiв - методи Ньютона, Ейлера, Лобачевського, Гауса, Чебишева, Ермiта, Крилова - свiдчать про те, що iх розробкою займалися найвидатнiшi вченi свого часу.

Чисельнi методи i одним з могутнiх математичних засобiв розвтАЩязання задач. Простi чисельнi методи ми використовуiмо скрiзь, наприклад, при знаходженнi квадратного кореня на листку паперу. РД завдання, де без достатньо складних чисельних методiв не вдалося б отримати вiдповiдi. Класичний приклад тАФ вiдкриття Нептуна по аномалiях руху Урану.

Загалом у курсах чисельних методiв вивчаються питання побудови, застосування i теоретичного обТСрунтування алгоритмiв наближеного розвтАЩязання рiзних класiв математичних задач. У наш час бiльшiсть обчислювальних алгоритмiв орiiнтовано на використання швидкодiючих ЕОМ, що значно впливаi на пiдбiр учбового матерiалу й на характер його викладу. Тiльки обчислювальнiй машинi пiд силу виконувати за короткий час об'iм обчислень в мiльярди, трильйони i бiльше операцii, якi необхiднi для вирiшення багатьох сучасних завдань.

Варто вiдмiтити деякi особливостi предмету чисельних методiв. По-перше, для чисельних методiв характерна множиннiсть, тобто можливiсть розвтАЩязати одну й ту саму задачу рiзними методами. По-друге, природничонауковi задачi i швидкий розвиток обчислювальноi технiки змушують переоцiнювати значення iснуючих алгоритмiв i призводять до створення нових. По-третi, чисельнi методи разом iз можливiстю отримання результату за прийнятний час не повиннi вносити у обчислювальний процес значних похибок.

У данiй курсовiй роботi розглядаiться задача про iнтерполяцiю функцii. Якщо задана функцiя y(x), то це означаi, що будь-якому допустимому значенню х ставиться у вiдповiднiсть значення у. Однак, нерiдко виявляiться, що знаходження цього значення дуже трудомiстке. Наприклад, у(х) може бути визначене як розвтАЩязок складноi задачi, в якiй х виконуi роль параметра, або у(х) вимiрюiться в дорогому експериментi. При цьому можна обчислити невелику таблицю значень функцii, але пряме знаходження функцii при великому числi значень аргументу буде практично неможливо.

Функцiя у(х) може брати участь у будь-яких фiзико-технiчних або чисто математичних розрахунках, де ii доводиться багато разiв обчислювати. У цьому випадку вигiдно замiнити функцiю у (х) наближеною вiдомою функцiiю, тобто пiдiбрати деяку функцiю f(x), яка близька у певному сенсi до у(х) i легко обчислюiться. Потiм при всiх значеннях аргументу вважають, що .

Бiльша частина класичного чисельного аналiзу ТСрунтуiться на наближеннi многочленами, оскiльки з ними легко працювати. Однак для багатьох цiлей використовують i iншi класи функцiй (див. [2]).

Вибравши вузловi точки i клас функцiй, що наближають, ми повиннi також вибрати одну певну функцiю з цього класу за допомогою деякого критерiю - мiри наближення або ВлзгодиВ». Перш, нiж почати обчислення, ми повиннi вирiшити також, яку точнiсть ми хочемо мати у вiдповiдi i який критерiй ми оберемо для вимiрювання цiii точностi.

Все викладене можна сформулювати у виглядi чотирьох питань:

1. Якi вузли ми будемо використовувати?

2. Який клас функцiй для наближення будемо використовувати?

3. Який критерiй згоди ми застосуiмо?

4. Яку точнiсть ми хочемо?

РЖснуi 3 класи або групи функцiй, широко застосовуваних у чисельному аналiзi. Перша група включаi в себе лiнiйнi комбiнацii функцiй 1, х, х2, .., хn, що збiгаiться з класом усiх многочленiв степенi n (або менше). Другий клас утворюють функцii cos aix, sin aix. Цей клас маi вiдношення до рядiв Фур'i та iнтегралу Фур'i. Третя група утворюiться функцiями e-az. Цi функцii зустрiчаються в реальних ситуацiях. До них, наприклад, призводять задачi накопичення i розпаду.

Що стосуiться критерiю згоди, то класичним критерiiм згоди i Влточний збiг у вузлових точкахВ». Цей критерiй маi перевагу завдяки простотi теорii та виконанню обчислень, але також незручнiсть через iгнорування похибки (шуму), що виникаi при вимiрюваннi або обчисленнi значень у вузлових точках. РЖнший вiдносно хороший критерiй - це Влнайменшi квадратиВ». Вiн означаi, що сума квадратiв вiдхилень у вузлових точках повинна бути найменшою можливою або, iншими словами, мiнiмiзована. Цей критерiй використовуi помилкову iнформацiю, щоб отримати деяке згладжування шуму. Третiй критерiй повтАЩязаний з iм'ям Чебишева. Основна iдея його полягаi в тому, щоб зменшити максимальне вiдхилення до мiнiмуму. Очевидно, можливi й iншi критерii. Бiльш конкретно вiдповiсти на поставленi 4 питання можна лише виходячи з умов i мети кожноi окремоi задачi.

Роздiл I
. РЖнтерполювання функцiй

1.1
Постановка задачi

Однiiю з основних задач чисельного аналiзу являiться задача про iнтерполяцiю функцii. Багатьом з тих, хто стикаiться з науковими та iнженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом чи методом випадковоi вибiрки
. Як правило, на пiдставi цих наборiв потрiбно побудувати функцiю, зi значеннями якоi могли б з високою точнiстю збiгатися iншi отримуванi значення. Така задача називаiться апроксимацiiю
кривоi.

РЖнтерполяцiiю називають такий рiзновид апроксимацii, при якiй крива побудованоi функцii проходить точно через наявнi точки даних. РЖснуi також близька до iнтерполяцii задача, що полягаi в апроксимацii якоi-небудь складноi функцii iншою, бiльш простою функцiiю. Якщо деяка функцiя занадто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити ii значення в декiлькох точках, а по них побудувати, тобто iнтерполювати, бiльш просту функцiю. Зрозумiло, використання спрощеноi функцii не дозволяi одержати такi ж точнi результати, якi давала б початкова функцiя. Але, для деяких класiв задач, досягнутий виграш у простотi i швидкостi обчислень може переважити отриману похибку у результатах. Варто також згадати i зовсiм iнший рiзновид математичноi iнтерполяцii, вiдому за назвою Влiнтерполяцiя операторiвВ». До класичних робiт по iнтерполяцii операторiв вiдносяться теорема Рiса-Торина i теорема Марцинкевича
(див. [3]), що i основою для багатьох iнших робiт. В результатi виникаi наступна математична задача.

Нехай функцiя Вазадана таблицею:

Потрiбно побудувати iнтерполянту тАУ функцiю , котра спiвпадаi з функцiiю Вав точках :

Ва(1. 1. 1)

Основна мета iнтерполяцii тАУ отримати швидкий алгоритм обчислення значень Ваi оцiнити похибку . РЖнтерполюючi функцii , як правило, будуються в виглядi лiнiйних комбiнацiй деяких елементарних функцiй:, де - фiксованi лiнiйно незалежнi функцii, Ва- не визначенi поки що коефiцiiнти.

РЖз умов (1. 1. 1) отримуiмо систему п+1 рiвнянь вiдносно коефiцiiнтiв : .

Припустимо, що система функцiй Ватака, що при будь-якому Вавiдмiнний вiд нуля визначник системи:

Тодi по заданим Ваоднозначно визначаються коефiцiiнти . В якостi системи лiнiйно незалежних функцiй Вачастiше обирають: степеневi функцii Ва(в цьому випадку - полiном степенi п); тригонометричнi функцii Ва(f - тригонометричний полiном); використовують також рацiональнi функцii та iн.

В данiй курсовiй роботi розглядаються iнтерполяцiйнi полiноми.

Вiдомо, що будь-яка неперервна на вiдрiзку Вафункцiя Ваможе бути добре наближена деяким полiномом Ва(див. [1], c.50):

Теорема Вейерштрасса: Для будь-якого Ваiснуi полiном Вастепеня , такий, що .

Отже, будемо шукати iнтерполяцiйний полiном в виглядi:

, (1. 1. 2)

де Ва- невизначенi коефiцiiнти. Покладемо , тодi отримаiмо систему лiнiйних рiвнянь:

Визначник даноi системи являiться вiдмiнним вiд нуля визначником Вандермонда (див. [9]):

Звiдси випливаi, що iнтерполяцiйний полiном (1. 1. 2) iснуi i вiн iдиний, хоча форм його запису iснуi багато.

В якостi базису Вами взяли базис iз одночленiв . Для обчислень бiльш зручним являiться базис полiномiв Лагранжа Вастепеня п або коефiцiiнтiв Лагранжа:

Неважко побачити, що полiном степенi п

задовольняi цим умовам. Полином , очевидно, визначаiться iдиним способом. Дiйсно, нехай iснуi ще один полiном , тодi iх рiзниця Ваi полiном степенi п, який перетворюiться в нуль в п+1 точках . Це можливо тiльки при .

Полiном Ваприймаi значення Вав точцi Ваi рiвний нулю у всiх останнiх вузлах Вапри . Звiдси випливаi, що iнтерполяцiйний полiном:

Ва(1. 1. 3)

маi степiнь не вище п i . Формулу (1. 1. 3) називають формулою Лагранжа. Число арифметичних дiй для обчислення по (1. 1. 3) пропорцiйно . Для оцiнки близькостi полiнома Вадо функцii Вапокладають, що iснуi п+1тАУ ша неперервна похiдна . Тодi маi мiсце формула для похибки

При оцiнцi похибки результатiв повиннi враховуватись як похибки методу iнтерполяцii (залишковий член), так i похибка округлення при обчисленнях.

1.2 РЖнтерполяцiйнi формули Ньютона

Часто iнтерполювання ведеться для функцiй, заданих таблицями з рiвновiддаленими значеннями аргументу (тобто такими, що будь-який (вузол iнтерполяцii) можна представити у виглядi Ва- деяка постiйна величина, яка називаiться кроком iнтерполяцii). Для таких таблиць побудова iнтерполяцiйних формул, а також проведення обчислень по ним значно спрощуiться.

Для побудови формули Ньютона необхiдно ввести поняття кiнцевих рiзниць.

Кiнцевими рiзницями називають рiзницi мiж значеннями функцii в сусiднiх вузлах (точках ) iнтерполяцii:

де ВаВаВа Отриманi кiнцевi рiзницi будемо називати кiнцевими рiзницями першого порядку. З рiзниць першого порядку отримаiмо рiзницi другого порядку:

де .

Повторюючи процедуру, отримаiмо кiнцевi рiзницi третього порядку:

Для кiнцевих рiзниць -го порядку:

В результатi отримаiмо таблицю кiнцевих рiзниць:

.......

Залучивши визначення похiдноi, можна виявити певний зв'язок мiж кiнцевими рiзницями i похiдними. А саме, якщо враховувати, що , то можна сказати, що при достатньо малих Вамаi мiсце наближена рiвнiсть Ватобто першi рiзницi характеризують першу похiдну функцii Вапо значенням якоi вони складенi. Скориставшись цим, маiмо для других рiзниць:

тобто , i, взагалi, . (1. 2. 1)

Таким чином, на кiнцевi рiзницi можна дивитись як на деякий аналог похiдних. Звiдси справедливiсть багатьох iх властивостей, однакових зi властивостями похiдних.

Вiдмiтимо лише найпростiшi властивостi кiнцевих рiзниць:

1. кiнцевi рiзницi сталоi дорiвнюють нулю;

2. сталий множник у функцii можна виносити за знак кiнцевоi рiзницi;

3. кiнцева рiзниця вiд суми двох функцiй дорiвнюi сумi iх кiнцевих рiзниць в однiй i тiй же точцi.

Враховуючи роль, яку вiдiграють многочлени в теорii iнтерполювання, подивимось, що представляють собою кiнцевi рiзницi многочленна.

Так як многочлен в своiй канонiчнiй формi i лiнiйна комбiнацiя степеневих функцiй, покладемо спочатку . Використовуючи бiномiальне розвинення п-ого степеня двочлена, отримаiмо:

тобто перша кiнцева рiзниця степеневоi функцii Ваi многочлен степеня п-1 зi старшим членом . Якщо взяти тепер кiнцеву рiзницю вiд функцii

, (1. 2. 2)

то в силу лiнiйних властивостей , можна записати . Перший доданок в цiй сумi, як зтАЩясовано, i многочлен (п-1)-го степеня, другий, аналогiчно, - многочлен степеня п-2, i т. д. отже, перша кiнцева рiзниця многочленна (1. 2. 2) в точцi Ваз короком Ваi многочлен зi старшим членом , друга кiнцева рiзниця тАУ многочлен зi старшим членом , тАж, -та рiзниця тАУ многочлен зi старшим членом .

При Ваотримуiмо постiйну рiзницю п-го порядку Вадля многочлена (1. 2. 2), кiнцевi рiзницi бiльш високих порядкiв дорiвнюють нулю.

Тобто, головний висновок iз попереднiх роздумiв: п-i кiнцевi рiзницi многочленна п-ого степеня постiйнi, а (п+1)-шi i всi наступнi рiвнi нулю.

Однак, бiльш важливим для розумiння сутi полiномiального iнтерполювання i твердження, обернене зробленому вище висновку. А саме, що якщо кiнцевi рiзницi п-го порядку деякоi функцii Вапостiйнi в будь-якiй точцi Вапри рiзних фiксованих кроках , то ця функцiя Ваi многочлен степеня п.

Для функцii , заданоi таблицею своiх значень Вау вузлах , де , кiнцевi рiзницi рiзних порядкiв зручно помiщати в одну загальну таблицю з вузлами i значеннями функцii. Цю загальну таблицю називають таблицею кiнцевих рiзниць.

1.2.1 Перша iнтерполяцiйна формула Ньютона

Нехай для функцii Вазаданi значення Вадля рiвновiддалених значень незалежноi змiнноi: , де Ва- крок iнтерполяцii. Необхiдно пiдiбрати полiном Вастепенi не вище п, який приймаi в точках Вазначення

Ва(1. 2. 3)

Умови (1. 2. 3) еквiвалентнi тому, що . Слiдуючи Ньютону, будемо шукати полiном у виглядi

Використовуючи загальний степiнь, вираз (1. 2. 3) запишемо так:

Наша задача заклечаiться у визначеннi коефiцiiнтiв Ваполiнома . Покладаючи Вау вираз (1. 2. 5), отримаiмо .

Щоб знайти коефiцiiнт , складемо першу кiнцеву рiзницю . Припускаючи в останньому виразi , отримаiмо: ; звiдки . Для визначення коефiцiiнта Васкладемо кiнцеву рiзницю другого порядку . Покладаючи , отримаiмо: ; звiдки . Послiдовно продовжуючи цей процес, ми виявимо, що , де .

Пiдставляючи знайденi значення коефiцiiнтiв Вау вираз (1. 2. 5) отримаiмо iнтерполяцiйний полiном Ньютона

. (1. 2. 6)

Легко побачити, що полiном (1. 2. 6.) повнiстю задовольняi вимогам поставленоi задачi. Дiйсно, по-перше, степiнь полiному Ване вище п, по-друге, Ваi

Замiтимо, що при Ваформула (1. 2. 6) перетворюiться в ряд Тейлора для функцii . Дiйсно, Крiм того, очевидно, . Звiдси при Ваформула (1. 2. 6) приймаi вид полiному Тейлора: .

Для практичного використання iнтерполяцiйну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо перетвореному виглядi. Для цього введемо нову змiнну Ваза формулою ; тодi

пiдставляючи цi вирази у формулу (1. 2. 6), отримаiмо:

, (1. 2. 7)

де Ваявляi собою кiлькiсть крокiв, необхiдних для досягнення точки , виходячи iз точки . Це i i кiнцевий вигляд першоi iнтерполяцiйноi формули Ньютона.

Формулу (1. 2. 7) вигiдно використовувати для iнтерполювання функцii в околi початкового значення , де Вамале за абсолютною величиною.

Якщо у формулi (1. 2. 7) покласти п=1, то отримаiмо формулу лiнiйного iнтерполювання: . При п=2 будемо мати формулу параболiчного або квадратичного iнтерполювання

Якщо дана необмежена таблиця значень , то число Вав iнтерполяцiйнiй формулi (1. 2. 7) може бути довiльним. Практично в цьому випадку число Ваобирають так, щоб рiзниця Вабула постiйною iз заданою точнiстю. За початкове значення Ваможна приймати довiльне табличне значення аргументу .

Якщо таблиця значень функцii скiнчена, то Ва- число обмежене, а саме: Ване може бути бiльше числа значень функцii , зменшеного на одиницю.

Вiдзначимо, що при застосуваннi першоi iнтерполяцiйноi формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю рiзниць, так як потрiбнi значення рiзниць функцii знаходяться у вiдповiдному горизонтальному рядку таблицi.

1.2.2 Друга iнтерполяцiйна формула Ньютона

Перша iнтерполяцiйна формула Ньютона практично незручна для iнтерполювання функцii поблизу вузлiв таблицi. В такому випадку зазвичай застосовують другу iнтерполяцiйну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу.

Нехай маiмо систему значень функцii Вадля рiвновiддалених значень аргументу , де Ва- крок iнтерполяцii. Побудуiмо полiном наступного вигляду:

або, використовуючи узагальнену степiнь, отримуiмо:

. (1. 2. 8)

Наша задача полягаi у визначеннi коефiцiiнтiв Ватаким чином, щоб виконувались умови (1. 2. 3). Для цього необхiдно i достатньо, щоб

Ва(1. 2. 9)

Покладемо Вау формулi (1. 2. 8). Тодi будемо мати: , отже .

Далi беремо вiд лiвоi i правоi формули (1. 2. 8) кiнцевi рiзницi першого порядку

Звiдси, вважаючи Ваi враховуючи вiдношення (1. 2. 9) будемо мати:

. Отже .

Покладаючи Вазнаходимо: . РЖ таким чином .

Характер закономiрностi коефiцiiнтiв Вадостатньо зрозумiлий. Застосовуючи метод математичноi iндукцii, можна строго довести, що

Ва(1. 2. 10)

Пiдставляючи цi значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно

Ва(1. 2. 11)

Формула (1. 2. 11) носить назву другоi iнтерполяцiйноi формули Ньютона.

Введемо бiльш зручний запис формули (1. 2. 11). Нехай , тодi

Ваi т. д.

Пiдставивши цi значення у формулу (1. 2. 11), отримаiмо:

. (1.2.12)

Це i i загальний вигляд другоi iнтерполяцiйноi формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функцii вважають, що .

Як перша, так и друга iнтерполяцiйнi формули Ньютона можуть бути використанi для екстраполяцii, тобто, для знаходження значень функцii Вадля значень аргументiв , котрi лежать за межами таблицi. Якщо Ваi Ваблизько до , то вигiдно використовувати першу iнтерполяцiйну формулу Ньютона, причому тодi . Якщо ж Ваi Ваблизько до , то зручнiше використовувати другу iнтерполяцiйну формулу Ньютона, причому тодi . Таким чином, перша iнтерполяцiйна формула Ньютона використовуiться для iнтерполяцii вперед i екстраполяцii назад, а друга iнтерполяцiйна формула Ньютона, навпаки, тАУ для iнтерполяцii назад i екстраполяцii вперед (див. [8]).

Вiдмiтимо, що операцiя екстраполяцii, взагалi кажучи, менш точна, нiж операцiя iнтерполяцii у вузькому значеннi слова.

1.2.3 Оцiнка похибок iнтерполяцiйних формул Ньютона

Для функцii Вами побудували iнтерполяцiйний полiном Ньютона Ва, який приймаi в точках Вазаданi значення . Виникаi питання, наскiльки близько побудований полiном наближаiться до функцii Вав iнших точках, тобто наскiльки великий залишковий член . Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцiю Вадодатковi обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в областi змiни : , котра мiстить вузли iнтерполювання, функцiя Вамаi всi похiднi Вадо (п+1)-го порядку включаючи.

Введемо допомiжну функцiю

, (1. 2. 12) де Ваi

Ва- постiйний коефiцiiнт, котрий буде обрано нижче.

Функцiя , очевидно, маi п+1 корiнь в точках . Пiдберемо тепер коефiцiiнт Ватаким чином, щоб Вамала (п+2)-ий корiнь в будь-якiй, але фiксованiй точцi вiдрiзка , яка не спiвпадаi з вузлами iнтерполювання (мал. 1). Для цього достатньо покласти

Звiдси, так як , то

Ва(1. 2. 13)

При цьому значення множника Вафункцii Вамаi п+2 кореня на вiдрiзку Ваi буде обертатись в нуль на кiнцях кожного з вiдрiзкiв

. Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного iз цих вiдрiзкiв, переконуiмось, що похiдна Вамаi не менше п+1 кореня на вiдрiзку .

Малюнок 1. Графiк функцii

Застосовуючи теорему Ролля до похiдноi , ми переконаiмося, що друга похiдна Ваперетворюiться в нуль не менше п разiв на вiдрiзку .

Продовжуючи цi роздуми, прийдемо до висновку, що на вiдрiзку Вапохiдна Вамаi хоча б один корiнь, котрий позначимо через , тобто .

РЖз формули (1. 2. 11) так як , маiмо: . При , отримуiмо: ВаЗвiдси . (1. 2. 14)

ВаПорiвнюючи правi частини формул (1. 2. 13) i (1. 2. 14), будемо мати:

, тобто

. (1. 2. 15)

Так як Вадовiльне, то формулу (1. 2. 15) можна записати i так:

, (1. 2. 16)

де Вазалежить вiд Ваi лежить всерединi вiдрiзка .

Вiдмiтимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всiх точок вiдрiзка , в тому числi i для вузлiв iнтерполювання.

На основi формули (1. 2. 16) отримаiмо залишковий член першоi iнтерполяцiйноi формули Ньютона:

, (1. 2. 17)

де Ва- деяка внутрiшня точка найменшого промiжку, що мiстить всi вузли Ваi точку .

Аналогiчно, покладаючи в формулi (1. 2. 17) , отримаiмо залишковий член другоi iнтерполяцiйноi формули Ньютона:

, (1. 2. 18)

де Ва- деяка внутрiшня точка найменшого промiжку, що мiстить всi вузли Ваi точку .

Зазвичай при практичних обчисленнях iнтерполяцiйна формула Ньютона обриваiться на членах, що мiстять такi рiзницi, якi в межах заданоi точностi можна вважати постiйними.

Вважаючи, що Вамайже постiйними для функцii Ваi Вадостатньо малим, i враховуючи, що , наближено можна покласти:

В цьому випадку залишковий член першоi iнтерполяцiйноi формули Ньютона наближено рiвний

При таких самих умовах для залишкового члена другоi iнтерполяцiйноi формули Ньютона отримаiмо вираз

1.3 РЖнтерполяцiйнi формули Гауса

При побудовi iнтерполяцiйних формул Ньютона використовуються лише значення функцii, що лежать з однiii сторони початкового наближення, тобто, цi формули носять одностороннiй характер (див.[3]).

В багатьох випадках виявляються корисними iнтерполяцiйнi формули, що мiстять як наступнi, так i попереднi значення функцii по вiдношенню до ii початкового наближеного значення. Найбiльш вживаними серед них являються тi, що мiстять рiзницi, розмiщенi у горизонтальному рядку дiагональноi таблицi рiзниць даноi функцii, що вiдповiдаi початковим значенням Ваi , або в рядках, що безпосередньо примикають до неi. Цi рiзницi Ваназиваються центральними рiзницями, причому Ваi т. д.